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MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook.

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook

2 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Un operatore A presta ad un operatore B una somma C (ammontare del prestito) che B si impegna a restituire in n anni (durata) Loperatore B si impegna a pagare con modalità prestabilita gli interessi sulla somma C al tasso dinteresse i (tasso di remunerazione) La restituzione del prestito può avvenire in molti modi: – C può essere restituito tutto dopo n anni – C può essere restituito in rate uguali alla fine di ogni anno – Più in generale con il pagamento di n rate diverse C 1, C 2, … C n-1, C n alla fine del primo, del secondo … delln–esimo anno

3 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Linteresse viene pagato al tasso annuo i Generalmente linteresse viene pagato con pagamenti periodici (a parte il caso in cui il rimborso viene effettuato tutto a scadenza) La quota dinteresse viene calcolato in base al capitale non ancora restituito (debito residuo) tenendo quindi conto dei rimborsi parziali. Insieme delle specifiche relative ai tempi di rimborso del capitale e dellinteresse prende nome di piano di rimborso o piano di ammortamento

4 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Generalmente viene presentato in forma di tabella con una struttura simile alla seguente: AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 1C1C1 CiQ 1 =C 1 +CiC (1) =C-C 1 2C2C2 C (1) iQ 2 =C 2 +C (1) iC (2) =C (1) -C 2 3C3C3 C (2) iQ 3 =C 3 +C (2) iC (3) =C (2) -C 3 … nCnCn C (n-1) iQ n =C n +C (n-1) iC (n) =0

5 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI La quota capitale sta ad indicare quella parte di capitale che viene restituita ogni anno. Labbiamo indicata con C k. Vale la relazione: Notiamo che posso essere anche tutte nulle tranne lultima

6 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Abbiamo indicato con C (k) il debito ancora da restituire (debito residuo). Vale la relazione Ovviamente per poter restituire tutto il capitale alla fine delln-esimo anno la quota capitale C n deve essere uguale al debito residuo C (n-1) – e quindi il debito residuo alla fine delln-esimo anno deve essere nullo C (n) = 0

7 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il debito residuo è uguale alla somma delle quote capitali ancora da pagare => Se supponiamo i tasso annuo dinteresse e pagamenti dellinteresse alla fine di ogni anno la quota interesse sarà data dal debito residuo per il tasso dinteresse i => per il primo anno Ci, secondo anno C (1) i ……

8 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI La somma tra quota capitale e quota interessi si chiama annualità o rata Lammortamento è detto immediato se decorre da subito, altrimenti viene detto differito Vediamo ora alcuni tipi di ammortamento

9 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Prestito di un capitale rimborsabile a scadenza – È il caso più semplice => il capitale viene rimborsato tutto a scadenza dopo n anni – Il piano di ammortamento ha questa forma: AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 10Ci C 20 C 30 C … nC Ci + C0

10 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il caso più generale di quote capitali C 1, C 2 … C n può essere visto come n prestiti elementari come quello appena visto di ammontare C 1, C 2 … C n e scadenze dopo 1 anno, 2 anni … n anni => 1 anno C 1 AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 1C1C1 C1iC1iC 1 + C 1 i0

11 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI 2 anno, C 2 …… n-esimo anno, C n AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 10C2iC2iC2iC2iC2C2 2C2C2 C2iC2iC 2 + C 2 i0 AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 10CniCniCniCniCnCn 20CniCniCniCniCnCn 30CniCniCniCniCnCn … nCnCn CniCniC n i + C n 0

12 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI E quindi se sommiamo tutti i piani abbiamo quello generale (C=C 1 +C 2 +…+C n ) AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 1C1C1 CiC 1 +CiC (1) =C 2 +…+C n 2C2C2 C (1) iC 2 +C (1) iC (2) =C 3 +…+C n 3C3C3 C (2) iC 3 +C (2) iC (3) =C 4 +…+C n … nCnCn C (n-1) iC n +C (n-1) i0

13 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Il valore attuale, nellistante iniziale del prestito, di tutte le annualità previste dal piano calcolato nel regime dellinteresse composto e in base al tasso annuo i coincide con il valore C del capitale prestato Nel caso di rimborso a scadenza

14 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Notiamo che se linvestitore riesce ad investire il capitale C preso in prestito al tasso i (quindi allo stesso tasso di remunerazione) allora loperazione finanziaria è in pareggio. In qualunque istante, il montante (sempre al tasso i) del capitale ricevuto in prestito, meno quello delle rate già pagate, uguaglia il valore attuale delle rate ancora da pagare.

15 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento progressivo con rate costanti (ammortamento alla francese) – Le rate sono tutte uguali e valgono R – Il debitore deve pagare una rendita immediata annua posticipata costante t=0 t=n 0 t=1t=2 R RR

16 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese – Se i è il tasso del prestito è facile trovare il valore della rata, infatti => – Allo stesso modo il debito residuo alla fine dellh- esimo anno sarà

17 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese – Vediamo cosa succede alln-esimo anno – Quindi la quota capitale delln-esimo anno è uguale al valore della rata scontato

18 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese – Poiché le rate sono costanti dobbiamo anche avere: – E quindi, poiché il debito residuo al (k-1)-esimo anno è uguale al debito residuo al k-esimo anno più la quota capitale dello stesso anno, abbiamo

19 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento francese – E quindi la quota capitale può essere scritta – Riassumendo tutto in un piano di ammortamento AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 1Rv n R(1-v n )R 2Rv n-1 R(1-v n-1 )R 3Rv n-2 R(1-v n-2 )R … nRvR(1-v)R0

20 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con quote capitali costanti (italiano) – In questo piano di ammortamento il prestito viene restituito con quote capitali costanti => C/n AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 1C/nCiC/n+Ci=(1+ni)C/nC-C/n=(n-1)C/n 2C/ni(n-1)C/n(1+(n-1)i)C/n(n-2)C/n 3C/ni(n-2)C/n(1+(n-2)i)C/n(n-3)C/n … nC/niC/n(1+i)C/n0

21 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) – Gli interessi vengono corrisposti allinizio di ogni periodo => non è un piano diverso ma una variante di quelli precedenti – Si può usare sia per il rimborso a scadenza che per quello francese che per quello italiano

22 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) – Vediamolo nel caso di rimborso a scadenza – La prima rata sarà uguale al valore della rata nel caso posticipato ma anticipato di un periodo => – Da cui segue facilmente il piano

23 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) AnnoQuota capitale Quota interessi RataDebito residuo 00Cd C 10 C 20 C n-10Cd C nC0C0

24 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Ammortamento con interessi anticipati (Tedesco) – Lammortamento con interessi anticipati equivale a quello con interessi posticipati se si considera di ricevere in prestito in capitale C-Cd

25 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Estinzione anticipata – Supponiamo che passati un numero di anni t, degli n previsti dal rimborso di un prestito, si voglia terminare il piano estinguendo il debito – Se t non coincide con il pagamento di una rata il debitore dovrà pagare gli interessi sul debito residuo dallultima scadenza fino a t – Per quanto riguarda la quota capitale non è detto che sia sufficiente restituire semplicemente il debito residuo: vediamo perchè

26 AMMORTAMENTO DEI PRESTITI Estinzione anticipata – Vanno distinti due casi in funzione del tasso dinteresse j valido al momento dellestinzione che in generale sarà diverso dal tasso i di remunerazione. ij la restituzione conviene al debitore e non al creditore


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