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1 E-Learning: superfici matematiche in 3D E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica.

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1 1 E-Learning: superfici matematiche in 3D E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica XVI ciclo Università degli Studi di Napoli Federico II 29 Settembre 2004

2 E-Learning e modelli matematici in 3D2

3 Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del 900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e sono accessibili allesperimento. Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate. I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione. Tutto ebbe inizio da...

4 E-Learning e modelli matematici in 3D4 Come riutilizzare quei vecchi modelli dellOttocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D. The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush, As we may think, 1945 Come renderle facilmente reperibili ? Come riusarle nel contesto dellE-Learning ?

5 E-Learning e modelli matematici in 3D5 - decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva - le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto -Problema Ipercomplessità tecnologica - reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser ci diventa inessenziale de-territorializzazione Perché LE-Learning E-LEARNING Soluzione

6 E-Learning e modelli matematici in 3D6 Obiettivo: Dai concetti di decostruzione e apprendimento enattivo nasce lidea dello sviluppo di tool per ricontestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici, e di creare le basi per la costruzione di un corso in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita nellambito dellE-Learning. G. Minichiello, Didattica ed Ipertesti, Bibliopolis, Napoli, 1994

7 E-Learning e modelli matematici in 3D7 Capitolo Primo: L'E-Learning I Learning Object Un Learning Object per la classificazione delle quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Secondo: algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici Estensione di un LMS con unapplet 3D La tesi è il risultato di unattività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dellE-Learning.

8 E-Learning e modelli matematici in 3D8 Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce lOntologia e costruisce le risorse didattiche. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea lambiente esterno, popola lontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa lontologia preparata dallinstructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti; Studente: costruisce le proprie conoscenze con laiuto del tutor che gli fornisce i Learning Object ed uninterpretazione personalizzata dellOntologia costruita dallInstructor. Entropia Mediatore didattico Studente Learning Management System Ontologia Instructor

9 E-Learning e modelli matematici in 3D9 Vettore Spazio Vettoriale Combinazione Lineare Dimensione Sottospazio Somma Diretta Spazio Unione Formula di Grassmann Base Ortogonale Prodotto Scalare Norma Ortogonalità Omomorfismi Kernel Immagine Automorfismi Cambiamento di base Teorema fondamentale Ortogonalizzazione Di Grahm-Schmidt Disuguaglianza Di Holder Disuguaglianza di Schwartz Frammento di Ontologia per la Geometria

10 E-Learning e modelli matematici in 3D10 Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano riutilizzabili. Learning Object LE-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente laccessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.

11 E-Learning e modelli matematici in 3D11 Learning Object Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object; I Learning Object sono gli strumenti che popolano le ontologie; I Learning Object sono rappresentati con metadata; I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato sembra essere lo standard SCORM. I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.

12 E-Learning e modelli matematici in 3D12 Definizione: Un Learning Object è unentità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante lapprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, The Instructional Use of Learning Objects, pp , AIT Editions, Learning Object

13 E-Learning e modelli matematici in 3D13 Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno Sviluppo cognitivo e qualità della formazione, Ravello, Ottobre Learning Object Strutture molecolari dotate di diversi gradi di granularità I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file- 2) altri Learning Object più semplici

14 E-Learning e modelli matematici in 3D14 Content Provider Learning Service Provider Learning Community LE-Learning in the large Modelli di E-Learning

15 E-Learning e modelli matematici in 3D15 LE-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. Cè la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory -http://murl.microsoft.com/ -Repository multimediale di seminari e corsi on-line -The Geometry Center Modelli di E-Learning

16 E-Learning e modelli matematici in 3D16 Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP) I fornitori di servizi di e-learning p ossono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per lE- Learning prodotti con le risorse fornite dai content provider. Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge distributed virtual university GRID –Arendal servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera servizi di E-Learning just in time per le società del gruppo Wind

17 E-Learning e modelli matematici in 3D17 Sono lestensione del core business delle università tradizionali new university = old university + learning community Esempi: OCW: estende il MIT ai paesi dellamerica latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale

18 E-Learning e modelli matematici in 3D18 Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Ricerca dellinformazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dellinformazione: ad oggi, lestrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione manuale e la lettura dei documenti; Manutenzione dellinformazione: aggiornare documenti è unattività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.

19 E-Learning e modelli matematici in 3D19 Nel World Wide Web linformazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati. Soluzione: il Web Semantico Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico linformazione diventa machine-processable.

20 E-Learning e modelli matematici in 3D20 Il Web Semantico: lRDF Tutti i livelli sono codificati in XML. La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è lRDF (Resource Description Framework). E un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… LURI è in corrispondenza biunivoca con la locazione della risorsa

21 E-Learning e modelli matematici in 3D21 Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, secondo modalità standardizzate che mirano all'interoperabilità del formalismo di rappresentazione. Il Web Semantico: lRDF I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array. LRDF è costituito da due componenti: RDF Data Model, che fornisce un modello per descrivere le risorse; RDF Schema, che definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse.

22 E-Learning e modelli matematici in 3D22 Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D = (R,T) tali che R T =. R e T sono, rispettivamente le relazioni e i termini del dominio D. Associamo ad R una funzione : R N + chiamata arità. Un elemento r R tale che (r)= 1 si chiama classe. Chiamiamo C linsieme delle classi. Un elemento r R tale che (r)= 2 si chiama relazione binaria. Chiamiamo RDF DATA Model di D linsieme dei termini del dominio D. LRDF schema di D è un grafo G = (V, E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classe e delle relazioni binarie in D. LRDF di D è un grafo G = (V,E) in cui V ed E sono, rispettivamente, sottoinsiemi di C T e delle relazioni binarie, e tutti i nodi terminali, detti istanze di classe, sono elementi di T in relazione E con una classe in C Il Web Semantico: lRDF

23 E-Learning e modelli matematici in 3D23 Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica mediante effettiva manipolazione, usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza … NellE-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e lapprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente. Un Learning Object

24 E-Learning e modelli matematici in 3D24 Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed allaccuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale. u,v [0,1] con Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado h N sul vettore dei nodi U=(u 0,…,u p ), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente

25 E-Learning e modelli matematici in 3D25 Dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le N i,h (u) e le N j,k (v) sono le funzioni di base B-Spline. I p ij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v: p=m+h+1 e q=n+k+1 Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Assegnati m n punti p i,j R 3, dei pesi w ij R, un vettore di nodi U=(u 0,…,u p ), un vettore di nodi V=(v 0,…,v q ), un grado h ed un grado k, si definisce superficie NURBS una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da

26 E-Learning e modelli matematici in 3D26 Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: di gradi h e k, con punti di controllo opportuni p ij =(x ij, y ij, z ij ) R 3, pesi associati w ij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u 0,…,u p ) e V=(v 0,…,v q ), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Q ij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori s i e t j dei parametri. Assegnati m n punti Q ij =(a ij, b ij, c ij ) R 3, e m n pesi r ij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

27 E-Learning e modelli matematici in 3D27 Lalgoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R 2 è con u [0,1] parametro della rappresentazione parametrica; p i =(x i, y i ) R 2, i=0,…,n sono i punti di controllo; N i,h (u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u 0,…,u m ). Una relazione lega il grado della curva B- Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi: m=n+h+1.

28 E-Learning e modelli matematici in 3D28 Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni m n costituita dai punti Q ij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Q i,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi P i,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti P i,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati p i,j. Lalgoritmo

29 29 Lalgoritmo Ad ogni approssimazione, lalgoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare N T NP=N T Q dove Dato un insieme di n punti Q i =(a i,b i ) R 2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo p i =(x i,y i ) R 2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Q i e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u 0,…,u n+h+1 ) per opportuni valori t j del parametro.

30 E-Learning e modelli matematici in 3D30 4. Calcola il prodotto N T N (matrice simmetrica definita positiva); 5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice N T N ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che N T N=LL T ; 6. Calcola i prodotti N T a, N T b, N T c; 7. Risolve i tre sistemi finali LL T x=N T a, LL T y=N T b, LL T z=N T c mediante forward e back substitution. Lalgoritmo 1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s 0,s 1,…,s m ), (t 0,t 1,…,t n ); 2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u 0,u 1,…,u m+h ) e V=(v 0,v 1,…,v n+k ) ; 3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Q ij ), dai parametri (s 0,s 1,…,s m ), dai nodi U=(u 0,u 1,…,u m+h ), costruisce la matrice dei coefficienti N=(N j,h (s i )) i,j=0,…,m-1; Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Q ij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, lalgoritmo

31 E-Learning e modelli matematici in 3D31 Lalgoritmo 8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori p ij =(x ij,y ij,z ij ) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1; 9. Su ogni riga della matrice P=(p ij ) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t 0,t 1,…,t n ), dai nodi V=(v 0,v 1,…,v n+k ), effettua lapprossimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(M j,k (t i )) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto M T M (matrice simmetrica definita positiva); 11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice M T M ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che M T M=LL T ; 12. Calcola i prodotti M T x, M T y, M T z; 13. Risolve i tre sistemi finali LL T x=M T x, LL T y=M T y, LL T z=M T z mediante forward e back substitution; 14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo p ij =(x ij,y ij,z ij ) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.

32 E-Learning e modelli matematici in 3D32 Risultati dellalgoritmo File di input Gradi della NURBS 3 Dimensioni della griglia 5 Punti appartenenti al modello da costruire (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) PesiTutti uguali ad 1 Paraboloide parabolico

33 E-Learning e modelli matematici in 3D33 Risultati dellalgoritmo Paraboloide parabolico

34 E-Learning e modelli matematici in 3D34 Risultati dellalgoritmo Iperboloide iperbolico Sfera

35 E-Learning e modelli matematici in 3D35 Resource Discovery Un Learning Object composto da un insieme di asset; Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO; I due mostri introducono linatteso necessario nellapprendimento enattivo (Minichiello 94, Varela & Maturana, 79 )

36 E-Learning e modelli matematici in 3D36 3D Resource discovery con Shape Descriptor Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente Esistono diverse metriche di insiemi di R 3 in grado di confrontare oggetti 3D Nessuna di queste è efficiente per luso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web. Invece di indicizzare lintero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor

37 E-Learning e modelli matematici in 3D37 3D Resource discovery con Shape Descriptor Intuitivamente, lo shape descriptor è unastrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni. 3D Shape descriptor di un ellissoide Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D

38 E-Learning e modelli matematici in 3D38 3D Resource discovery con Shape Descriptor Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptr di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.

39 E-Learning e modelli matematici in 3D39 Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S a dimensione finita IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y); 2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico. In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel database e usato nel linguaggio di query come una stringa XML. Shape Descriptor e Web Semantico

40 E-Learning e modelli matematici in 3D40 Soluzione: 1) Come linguaggio di query consideriamo un linguaggio sufficientemente potente per esprimere un insieme di punti S (SQL); 2) Rappresentiamo linsieme S con un RDF; 3) Come shape descriptor (S) consideriamo la NURBS generata con lalgoritmo di approssimazione. Calcoliamo la distanza –che è anche il grado di similarità -tra (S) e lo shape descriptor (S) della risorsa sul web S. Nel caso delle NURBS, sia (S) che (S) possono essere espressi con una semplice RDF. Resource Discovery

41 E-Learning e modelli matematici in 3D41 RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO NURBS -based Shape descriptor NURBS -based Shape descriptor Resource broker 3D repository Learning Object Resource Discovery Mondo web Componenti del Learning Object

42 42 Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object 1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF ) Si mette questo file nel URL che è l'URI del "namespace" delle quadriche. 3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:

43 E-Learning e modelli matematici in 3D43 4) Quando il broker prende il file superficie_ xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova 5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra questa matrice e la matrice dello shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS. Se la distanza è minore di una certa soglia, allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito oppure vengono attivati dei metodi remoti per interagire con esso a distanza Resource Discovery

44 Quadrica Piano Tangente Intersezione C det(Quadrica) det=0 det>0 C immaginaria C reale non degenere C degenere C 2 rette reali C 1 retta C 2 rette immaginarie det<0 Cono Reale Cono Immaginario Ellissoide Cilindro Iperbolico Cilindro Parabolico Cilindro Ellittico Iperboloide Ellittico Iperboloide Iperbolico det 0 Paraboloide Ellittico Paraboloide Iperbolico Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche 3x 2 +4y 2 +2xy+9z 2 -1=0 det=-99<0 Iperboloide Ellittico C reale non degenere

45 45 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0

46 E-Learning e modelli matematici in 3D46 Stato dellarte della Ricerca Ho definito un modello di e-learning in the large in cui riusare le collezioni matematiche. Ho costruito un Learning Object in base alle didattiche eleborate per le-learning. Ho sviluppato un algoritmo di approssimazione di superfici con NURBS Ho costruito un 3D-resource broker con lalgoritmo di approssimazione mediante NURBS.

47 E-Learning e modelli matematici in 3D47 3 contributi essenziali: Un nuovo ambiente di apprendimento 3D, il web semantico per la grafica 3D, la Nurbs approximation si può fare 1) una prima parte in cui ai problemi risolti si aggiungono quelli non risolti 2) una seconda parte in cui si descrivono le soluzioni proposte nella tesi PUNTI: 1)Il LO 3D 2)Dove siamo partiti? Dallidea della Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli 3)I modelli matematici. 4)Una cosa va evidenziata: la completezza della geometria euclidea che permette di esprimere in modo visuale le proposizioni dimostrabili. Il LO è basato su questa proprietà. La completezza della geometria euclidea-Tarski. 5) Il modello SCORM. Questo è uno dei problemi: attenersi al modello scorm. risposta nostra: abbiamo scritto una RDF per il LO e una RDF -che è anche metadata- per gli asset, perché lo SCORM non permette di specificare i componenti di un LO e quindi non ne consente il riuso. 6)Ricapitolando:1. E-learning 1.2 Un ambiente di apprendimento 3D 1.3 Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli Storicizzazione Completezza della geometria 1. 4 E-learning 1.4.2Learning Object Lo standard SCORM. 7) Semantic web Semantic Web per i modelli matematici

48 E-Learning e modelli matematici in 3D48 1. E-learning 1.1 I Learning Object 1.2 Un learning object 3D? 1.3Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli? Storicizzazione Completezza della geometria Lo standard SCORM 1.5. Semantic Web Un RDF per l'ambiente 3D Una RDF per i modelli matematici 1.6 L'algoritmo NURBS riuso dei modelli matematici con NURBS approximation Il paraboloide a sella NURBS riusato per l'ambiente 3D

49 E-Learning e modelli matematici in 3D D shape descriptors Il smapling set come shape descriptor Una RDF per il sampling set Una RDF per le NURBS Proposta: Le NURBS come resource brokers Nuovi scenari per la didattica con il riuso NURBS- based dei modelli matematici Il 4D Modelling Il filtraggio collaborativo 1.8 Concusioni


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