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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 6 Metodo del Simplesso Dinamico Esempio: Progetto di Rete ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza.

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1 Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 6 Metodo del Simplesso Dinamico Esempio: Progetto di Rete ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma,

2 Progetto di rete (semplificato) DATI s t Grafo G(V,E) TROVARE Insieme di archi F* di lunghezza totale minima che contenga un cammino tra s e t e che abbia un costo totale inferiore a un valore D Lunghezza (es. ritardo di trasferimento) dellarco l uv (3,(3, (1,(1, (2,(2, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, Costi di realizzazione degli archi c uv 3)3) 10) 2)2) 7)7) 3)3) 9)9) 1)1) 6)6) c uv uv F Costo totale di un insieme F : c(F) = l uv uv F Lunghezza totale di un insieme F : l(F) =

3 Progetto di rete semplificato - Formulazione Due componenti che conosciamo: A) s-t connessione B) vincolo di budget A) x e 1 K taglio s-t 1> x e e E P = e B) c e x e D e S = { vettori di incidenza di insiemi di archi s-t connessi che rispettano il vincolo di budget}

4 Progetto di rete semplificato - Formulazione e x e 1 K taglio s-t 1 x e e E x P = c e x e D e l e x e e

5 Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico x s1 + x s2 > 1 x t3 + x t4 > 1 l e x e e 3x s1 + 2x s2 +10x x 14 +7x 23 + x 34 +3x t4 + 6x t3 < 14 1 > x e > 0 e E (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t Soluzione ottima: x* s2 =x* t4 = 1 x* s1 = x* 12 =x* 23 = x* 14 =x* 34 =x* t3 = 0 z*=3 Definizione del problema core: (3,(3, (1,(1, (2,(2, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, 3)3) 10) 2)2) 7)7) 3)3) 9)9) 1)1) 6)6) s t D=14

6 Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Oracolo di Separazione: Taglio s-t di peso minimo x* s1 +x* 12 +x* 23 =0 2)2)(2,(2, (1,(1,3)3) s t x* vettore delle capacità x s1 +x 12 +x 23 > 1 Capacità del taglio minimo < 1 Vincolo violato

7 Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Soluzione ottima: x* s1 =x* 23 =x* t4 = 1 x* s2 = x* 12 = x* 14 =x* 34 =x* t3 = 0 z*=4 (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t (1,(1,7)7) 1 > x e > 0 e E x s1 + x s2 > 1 x t3 + x t4 > 1 l e x e e 3x s1 + 2x s2 +10x x 14 +7x 23 + x 34 +3x t4 + 6x t3 < 14 Nuovo problema (3,(3, (1,(1, (2,(2, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, 3)3) 10) 2)2) 7)7) 3)3) 9)9) 1)1) 6)6) s t D=14 x s1 +x 12 +x 23 > 1

8 Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Oracolo di Separazione: Taglio s-t di peso minimo (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t x* vettore delle capacità Capacità del taglio minimo < 1 x 14 +x 34 +x 3t > 1 Vincolo violato x* 14 +x* 34 +x* 3t =0

9 x 14 +x 34 +x 3t > 1 x s1 + x s2 > 1 x t3 + x t4 > 1 l e x e e 3x s1 + 2x s2 +10x x 14 +7x 23 + x 34 +3x t4 + 6x t3 < 14 1 > x e > 0 e E (3,(3, (1,(1, (2,(2, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, (1,(1, 3)3) 10) 2)2) 7)7) 3)3) 9)9) 1)1) 6)6) s t D=14 x s1 +x 12 +x 23 > 1 Soluzione ottima: x* s2 =x* 23 = 1 x* 34 = x* t3 =x* t4 = 1/2 z*=4.5 x* s1 =x* 14 =x* 12 =0 Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t (1,(1,7)7) (1,(1, (1,(1, 1)1) 6)6)

10 Progetto di Rete semplificato: Conclusione (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t (1,(1,7)7) (1,(1, (1,(1, 1)1) 6)6) Soluzione ottima del rilassamento z*=4.5 (2,(2, (1,(1, 2)2) 3)3) s t (1,(1,7)7) (1,(1,1)1) Soluzione intera z*=5 Soluzione ottima


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