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Università di Torino - Facoltà di Economia A.A. 2009/ MICROECONOMIA Corso C Prof. Davide Vannoni Prof. Massimiliano Piacenza

ESERCITAZIONE 2 CAPITOLI 6-7
Esercizi Esercizio sulla produzione e sul prodotto marginale Esercizio sui costi di produzione, dimensione efficiente e rendimenti di scala: l’impresa WWW Esercizio: i personal computer della DISK e della FLOPPY Esercizio: dalla funzione di produzione Cobb-Douglas alle curve di costo Analisi formale della teoria della produzione La minimizzazione del costo Il saggio marginale di sostituzione tecnica La dualità nella teoria della produzione e del costo

Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2
ESERCIZIO n. 1 Consideriamo la seguente Funzione di produzione: N. lavoratori 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Qtà prodotta totale 25 40 50 59 61 62 60 Prodotto marginale Disegnare la funzione di produzione. Calcolare il Prodotto marginale. Quando il prodotto marginale inizia a diminuire? Quando il prodotto marginale diventa negativo? Confrontare i due casi in termini di effetto sulla quantità prodotta totale. D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

59 9 = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 4 a 5 lavoratori impiegati 15 = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 1 a 2 lavoratori impiegati D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

N. lavoratori 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Qtà prodotta totale 25 40 50 59 61 62 60 Prodotto marginale 15 -2 Il prodotto marginale inizia a decrescere con l’impiego del 4° lavoratore. Quando il prodotto marginale inizia a decrescere, la quantità prodotta totale continua a crescere, però a un tasso ridotto. (produttività marginale decrescente ma ancora positiva) Il prodotto marginale, con l’impiego del 10° lavoratore, diventa negativo, questo comporta una diminuzione della quantità prodotta totale. (produttività marginale decrescente e negativa) D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

crescente decrescente D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

ESERCIZIO n. 2 L’impresa WWW presenta la seguente tabella di costi di produzione, in relazione alla quantità prodotta. Calcolare: CT CM CMeV CMeF CMeT Q.tà prodotta Costi fissi Costi variabili 46 € 0 € 1 30 € 2 50 € 3 58 € 4 64 € 5 84 € 6 114 € 7 150 € 8 190 € 9 240 € Disegnare le curve dei costi medi e del costo marginale D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Qtà CF CV CT CM CMeV CMeF CMeT 46 1 30 76 2 50 96 20 25 23 48 3 58 104 8 19,3 15,3 34,7 4 64 110 6 16 11,5 27,5 5 84 130 16,8 9,2 26 114 160 19 7,7 26,7 7 150 196 36 21,4 6,6 28 190 236 40 23,8 5,8 29,5 9 240 286 5,1 31,8 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

CM CMeT CMeV CMeF D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Osservando le curve di costo disegnate dire da che punto inizia a decrescere il prodotto marginale. Prodotto Marginale: l’incremento della quantità prodotta causato da un incremento unitario dei fattori di produzione. Il prodotto marginale inizia a decrescere al livello di quantità prodotta al quale inizia a crescere il costo marginale. E’ la diminuzione del prodotto marginale che causa la crescita dei costi marginali. D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Qual è la relazione tra: Costi medi Totali e Costi Marginali e tra: Costi medi Variabili e Costi Marginali? La curva dei Costi Marginali interseca nel loro punto di minimo sia la curva dei Costi medi Totali che la curva dei Costi Medi Variabili. In entrambe i casi i valori medi, dei costi totali o dei costi variabili, sono influenzati dal valore del costo marginale, in particolare: CMeT Se MC > CMeT CMeV Se MC > CMeV Se MC < CMeT CMeT Se MC < CMeV CMeV D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Qual è la dimensione efficiente per la WWW? La dimensione produttiva efficiente e quella che minimizza i costi medi totali. Osservando sia la tabella dei costi calcolati, che i grafici delle curve di costo si può individuare la quantità “5” come quella efficiente. Per quantità sia minori che maggiori, i costi medi totali risultano superiori a quelli associati al livello di produzione di 5 unità. D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Quali sono i rendimenti di scala per la WWW? Se i costi medi sono crescenti (rispettivamente decrescenti, costanti) i rendimenti di scala sono decrescenti (rispettivamente crescenti, costanti) Nel caso specifico vi sono economie di scala (rendimenti crescenti fino a Q = 5 e diseconomie di scala per quantità superiori D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

ESERCIZIO n. 3: i personal computer della DISK e della FLOPPY La funzione di produzione per i personal computer della DISK è data da Q = 10 K0.5 L0.5, dove Q è il numero di computer prodotti al giorno, K è il numero di ore-macchina e L è il numero di ore-lavoro. La società concorrente della DISK, la FLOPPY, usa la funzione di produzione Q = 10 K0.6 L0.4. Se entrambe le imprese usano le stesse quantità di capitale e lavoro, quale delle due genererà più prodotto? D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Se definiamo: Q = numero di computer prodotti al giorno dalla società DISK Q2 = numero di computer prodotti al giorno dalla società FLOPPY X = numero di ore-macchina società DISK = numero di ore-macchina società FLOPPY = numero di ore-lavoro società DISK = numero di ore-lavoro società FLOPPY Le due imprese producono rispettivamente: Q = 10X0.5X0.5 = 10X( ) = 10X Q2 = 10X0.6X0.4 = 10X( ) = 10X Q = Q2 Le due imprese producono lo stesso numero di computer al giorno D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Si noti che se le due imprese usassero lo stesso numero di ore-macchina e lo stesso numero di ore-lavoro, MA se il numero di ore-macchina fosse DIVERSO dal numero di ore-lavoro usato dalle due imprese, allora le due imprese NON produrrebbero lo stesso numero di computer al giorno. In particolare, se K > L Q2 > Q Supponete che, mentre il capitale è limitato a 9 ore-macchina, il lavoro sia in offerta illimitata. In quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro? Spiegate. D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Se il capitale è limitato a 9 ore-macchina, la funzione di produzione delle due imprese diventa: Q = 30L0.5 Q2 = 37.37L0.4 Per determinare in quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro, si consideri la seguente tabella: D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

L Q PML DISK Q2 FLOPPY - 1 30 37.37 2 42.43 12.43 49.31 11.94 3 51.96 9.53 58 8.69 4 60 8.04 65.07 7.07 Per tutte le unità di lavoro > 1, il PML della società DISK è maggiore del PML della società FLOPPY D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

ESERCIZIO n. 4: Dalla funzione di produzione alla funzione di costo Una impresa adopera fattori variabili (S e L) dai quali dipende la quantità prodotta (Y) secondo la funzione di produzione: Y = S1/5L3/10 I loro prezzi sono: PS = 2 e PL = 3; oltre ai costi variabili ciascuna unità deve sostenere costi fissi per 20. 1) Si determini la funzione di costo dell’impresa D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (pari al rapporto tra le produttività marginali dei fattori) deve essere pari al rapporto tra i prezzi dei fattori (condizione di ottimo per l’impresa): D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Possiamo dunque sostituire L ad S nell’espressione che fornisce il costo variabile dell’impresa (isocosto): CTV = PS*S + PL*L = 2S + 3L = 5L Ma se operiamo la stessa sostituzione nella funzione di produzione possiamo ottenere L in funzione di Y: Y = L1/5L3/10 = L1/2 L = Y2 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Sostituendo L in CTV otteniamo: CTV = 5Y2 Aggiungendo i costi fissi otteniamo infine la funzione di costo totale dell’impresa: CT = 5Y2 + 20 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

2) Si illustri in un grafico l’andamento del costo medio, del costo medio fisso, del costo medio variabile e del costo marginale D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

CM CMeT CMeV CMeF D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

ESERCIZIO n. 5: ANALISI FORMALE DELLA TEORIA DELLA PRODUZIONE
a) La minimizzazione del costo Sia F(K,L) la funzione di produzione dell’impresa, che dipende da capitale K e lavoro L e siano dati i prezzi del lavoro w e del capitale r. Il problema di minimizzazione dei costi dell’impresa può essere rappresentato in termini matematici: D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Come già visto nell’esercitazione 1, i problemi di max/min in presenza di vincoli possono essere risolti utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, cioè: Fase 1: scriviamo la Lagrangiana: Fase 2: Deriviamo la Lagrangiana rispetto a L, K, λ e poniamo le derivate pari a 0: con PM K = dF(K,L)/dK con PM L = dF(K,L)/dL D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Fase 3: risolviamo queste equazioni e otteniamo i valori di L, K, λ. In questa fase finale, possiamo derivare due significative condizioni di ottimalità. In particolare, combinando le prime due equazioni otteniamo: Se ciò non fosse vero e se, per esempio, il membro a sinistra dell’uguaglianza fosse maggiore di quello di destra, l’impresa potrebbe sostituire capitale a lavoro, e continuare ad ottenere la stessa produzione ad un costo minore. Tale uguaglianza deve quindi necessariamente essere verificata nel punto di ottimo. D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

b) Il saggio marginale di sostituzione tecnica Ricordiamo che un isoquanto è una curva che rappresenta tutte le combinazioni dei fattori produttivi L e K che consentono all’impresa di produrre una data quantità di prodotto Q*: F(K,L)=Q* rappresenta quindi un isoquanto di produzione. Lungo tale curva vale quindi necessariamente: Da cui possiamo ottenere il saggio marginale di sostituzione tecnica fra lavoro e capitale: D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Poiché la prima equazione mostrata nella fase 3 può essere riscritta come: possiamo concludere che nel punto di tangenza fra l’isoquanto e l’isocosto il saggio marginale di sostituzione tecnica (che rappresenta la pendenza dell’isoquanto) eguaglia il rapporto fra i prezzi dei fattori di produzione (che rappresenta la pendenza dell’isocosto). D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

c) La dualità nella teoria della produzione e del costo Il problema della scelta ottimale di K e L può essere visto in modo duale come quello di: Scegliere la curva di isocosto più bassa tangente ad un dato isoquanto di produzione problema di “minimizzazione dei costi” Scegliere la curva di isoquanto più alta tangente ad un dato isocosto di produzione problema di “massimizzazione del prodotto” Consideriamo infatti la seguente formalizzazione matematica del secondo problema: D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Scriviamo la funzione Lagrangiana, la deriviamo rispetto L, K, e λ, e poniamo le derivate pari a 0 (fasi 1 e 2 come già visto in precedenza). Otteniamo quindi: Dove μ rappresenta il moltiplicatore di Lagrange D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

Risolvendo il sistema delle prime due equazioni otteniamo la seguente condizione di ottimo: che infatti coincide con la condizione che abbiamo derivato nel problema della minimizzazione del costo di produzione! D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2

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