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Università di Torino - Facoltà di Economia A.A. 2009/2010 MICROECONOMIA Corso C Prof. Davide Vannoni Prof. Massimiliano Piacenza.

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1 Università di Torino - Facoltà di Economia A.A. 2009/2010 MICROECONOMIA Corso C Prof. Davide Vannoni Prof. Massimiliano Piacenza

2 ESERCITAZIONE 2 CAPITOLI Esercizio sulla produzione e sul prodotto marginale 2.Esercizio sui costi di produzione, dimensione efficiente e rendimenti di scala: limpresa WWW 3.Esercizio: i personal computer della DISK e della FLOPPY 4.Esercizio: dalla funzione di produzione Cobb-Douglas alle curve di costo 5.Analisi formale della teoria della produzione a)La minimizzazione del costo b)Il saggio marginale di sostituzione tecnica c)La dualità nella teoria della produzione e del costo Esercizi

3 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 3 ESERCIZIO n. 1 Consideriamo la seguente Funzione di produzione: N. lavoratori Qtà prodotta totale Prodotto marginale Disegnare la funzione di produzione. Calcolare il Prodotto marginale. Quando il prodotto marginale inizia a diminuire? Quando il prodotto marginale diventa negativo? Confrontare i due casi in termini di effetto sulla quantità prodotta totale.

4 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 4 a 5 lavoratori impiegati 15 = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 1 a 2 lavoratori impiegati

5 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 5 N. lavoratori Qtà prodotta totale Prodotto marginale Il prodotto marginale, con limpiego del 10° lavoratore, diventa negativo, questo comporta una diminuzione della quantità prodotta totale. (produttività marginale decrescente e negativa) Il prodotto marginale inizia a decrescere con limpiego del 4° lavoratore. Quando il prodotto marginale inizia a decrescere, la quantità prodotta totale continua a crescere, però a un tasso ridotto. (produttività marginale decrescente ma ancora positiva)

6 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 6 crescentedecrescente

7 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 7 ESERCIZIO n. 2 Limpresa WWW presenta la seguente tabella di costi di produzione, in relazione alla quantità prodotta. Q.tà prodottaCosti fissiCosti variabili Calcolare: 1)CT 2)CM 3)CMeV 4)CMeF 5)CMeT Disegnare le curve dei costi medi e del costo marginale

8 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 8 QtàCFCVCTCMCMeVCMeFCMeT ,315,334, ,527, ,89, ,726, ,46, ,85,829, ,75,131,8

9 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 9 CM CMeT CMeV CMeF

10 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 10 Osservando le curve di costo disegnate dire da che punto inizia a decrescere il prodotto marginale. Prodotto Marginale: lincremento della quantità prodotta causato da un incremento unitario dei fattori di produzione. Il prodotto marginale inizia a decrescere al livello di quantità prodotta al quale inizia a crescere il costo marginale. E la diminuzione del prodotto marginale che causa la crescita dei costi marginali.

11 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 11 Qual è la relazione tra: Costi medi Totali e Costi Marginali e tra: Costi medi Variabili e Costi Marginali? La curva dei Costi Marginali interseca nel loro punto di minimo sia la curva dei Costi medi Totali che la curva dei Costi Medi Variabili. In entrambe i casi i valori medi, dei costi totali o dei costi variabili, sono influenzati dal valore del costo marginale, in particolare: Se MC > CMeT CMeV Se MC > CMeV Se MC < CMeT Se MC < CMeV CMeT CMeV

12 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 12 Qual è la dimensione efficiente per la WWW? La dimensione produttiva efficiente e quella che minimizza i costi medi totali. Osservando sia la tabella dei costi calcolati, che i grafici delle curve di costo si può individuare la quantità 5 come quella efficiente. Per quantità sia minori che maggiori, i costi medi totali risultano superiori a quelli associati al livello di produzione di 5 unità.

13 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 13 Quali sono i rendimenti di scala per la WWW? Se i costi medi sono crescenti (rispettivamente decrescenti, costanti) i rendimenti di scala sono decrescenti (rispettivamente crescenti, costanti) Nel caso specifico vi sono economie di scala (rendimenti crescenti fino a Q = 5 e diseconomie di scala per quantità superiori

14 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 14 La funzione di produzione per i personal computer della DISK è data da Q = 10 K 0.5 L 0.5, dove Q è il numero di computer prodotti al giorno, K è il numero di ore-macchina e L è il numero di ore-lavoro. La società concorrente della DISK, la FLOPPY, usa la funzione di produzione Q = 10 K 0.6 L 0.4. a)Se entrambe le imprese usano le stesse quantità di capitale e lavoro, quale delle due genererà più prodotto? ESERCIZIO n. 3 : i personal computer della DISK e della FLOPPY

15 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 15 Se definiamo: Q = numero di computer prodotti al giorno dalla società DISK Q 2 = numero di computer prodotti al giorno dalla società FLOPPY X = numero di ore-macchina società DISK = numero di ore- macchina società FLOPPY = numero di ore-lavoro società DISK = numero di ore-lavoro società FLOPPY Le due imprese producono rispettivamente: Q = 10X 0.5 X 0.5 = 10X ( ) = 10X Q 2 = 10X 0.6 X 0.4 = 10X ( ) = 10X Q = Q 2 Le due imprese producono lo stesso numero di computer al giorno

16 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 16 Si noti che se le due imprese usassero lo stesso numero di ore- macchina e lo stesso numero di ore-lavoro, MA se il numero di ore- macchina fosse DIVERSO dal numero di ore-lavoro usato dalle due imprese, allora le due imprese NON produrrebbero lo stesso numero di computer al giorno. In particolare, se K > L Q 2 > Q b)Supponete che, mentre il capitale è limitato a 9 ore-macchina, il lavoro sia in offerta illimitata. In quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro? Spiegate.

17 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 17 Se il capitale è limitato a 9 ore-macchina, la funzione di produzione delle due imprese diventa: Q = 30L 0.5 Q 2 = 37.37L 0.4 Per determinare in quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro, si consideri la seguente tabella:

18 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 18 LQ PM L DISK Q2 PM L FLOPPY Per tutte le unità di lavoro > 1, il PM L della società DISK è maggiore del PM L della società FLOPPY

19 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 19 ESERCIZIO n. 4 : Dalla funzione di produzione alla funzione di costo Una impresa adopera fattori variabili (S e L) dai quali dipende la quantità prodotta (Y) secondo la funzione di produzione: Y = S 1/5 L 3/10 I loro prezzi sono: P S = 2 e P L = 3; oltre ai costi variabili ciascuna unità deve sostenere costi fissi per 20. 1) Si determini la funzione di costo dellimpresa

20 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 20 Il saggio marginale di sostituzione tecnica (pari al rapporto tra le produttività marginali dei fattori) deve essere pari al rapporto tra i prezzi dei fattori (condizione di ottimo per limpresa):

21 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 21 Possiamo dunque sostituire L ad S nellespressione che fornisce il costo variabile dellimpresa (isocosto): CTV = P S *S + P L *L = 2S + 3L = 5L Ma se operiamo la stessa sostituzione nella funzione di produzione possiamo ottenere L in funzione di Y: Y = L 1/5 L 3/10 = L 1/2 L = Y 2

22 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 22 Sostituendo L in CTV otteniamo: CTV = 5Y 2 Aggiungendo i costi fissi otteniamo infine la funzione di costo totale dellimpresa: CT = 5Y

23 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione ) Si illustri in un grafico landamento del costo medio, del costo medio fisso, del costo medio variabile e del costo marginale

24 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 24 CMeT CMeV CM CMeF

25 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 25 ESERCIZIO n. 5: ANALISI FORMALE DELLA TEORIA DELLA PRODUZIONE a) La minimizzazione del costo Sia F(K,L) la funzione di produzione dellimpresa, che dipende da capitale K e lavoro L e siano dati i prezzi del lavoro w e del capitale r. Il problema di minimizzazione dei costi dellimpresa può essere rappresentato in termini matematici:

26 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 26 Come già visto nellesercitazione 1, i problemi di max/min in presenza di vincoli possono essere risolti utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, cioè: Fase 1: scriviamo la Lagrangiana: Fase 2: Deriviamo la Lagrangiana rispetto a L, K, λ e poniamo le derivate pari a 0: con PM K = dF(K,L)/dK con PM L = dF(K,L)/dL

27 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 27 Fase 3: risolviamo queste equazioni e otteniamo i valori di L, K, λ. In questa fase finale, possiamo derivare due significative condizioni di ottimalità. In particolare, combinando le prime due equazioni otteniamo: Se ciò non fosse vero e se, per esempio, il membro a sinistra delluguaglianza fosse maggiore di quello di destra, limpresa potrebbe sostituire capitale a lavoro, e continuare ad ottenere la stessa produzione ad un costo minore. Tale uguaglianza deve quindi necessariamente essere verificata nel punto di ottimo.

28 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 28 b) Il saggio marginale di sostituzione tecnica Ricordiamo che un isoquanto è una curva che rappresenta tutte le combinazioni dei fattori produttivi L e K che consentono allimpresa di produrre una data quantità di prodotto Q*: F(K,L)=Q* rappresenta quindi un isoquanto di produzione. Lungo tale curva vale quindi necessariamente: Da cui possiamo ottenere il saggio marginale di sostituzione tecnica fra lavoro e capitale:

29 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 29 Poiché la prima equazione mostrata nella fase 3 può essere riscritta come: possiamo concludere che nel punto di tangenza fra lisoquanto e lisocosto il saggio marginale di sostituzione tecnica (che rappresenta la pendenza dellisoquanto) eguaglia il rapporto fra i prezzi dei fattori di produzione (che rappresenta la pendenza dellisocosto).

30 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 30 c) La dualità nella teoria della produzione e del costo Il problema della scelta ottimale di K e L può essere visto in modo duale come quello di: Scegliere la curva di isocosto più bassa tangente ad un dato isoquanto di produzione problema di minimizzazione dei costi Scegliere la curva di isoquanto più alta tangente ad un dato isocosto di produzioneproblema di massimizzazione del prodotto Consideriamo infatti la seguente formalizzazione matematica del secondo problema:

31 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 31 Scriviamo la funzione Lagrangiana, la deriviamo rispetto L, K, e λ, e poniamo le derivate pari a 0 (fasi 1 e 2 come già visto in precedenza). Otteniamo quindi: Dove μ rappresenta il moltiplicatore di Lagrange

32 D. Vannoni e M. Piacenza Microeconomia C, A.A Esercitazione 2 32 che infatti coincide con la condizione che abbiamo derivato nel problema della minimizzazione del costo di produzione! Risolvendo il sistema delle prime due equazioni otteniamo la seguente condizione di ottimo:


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