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Fisica II - Informatica Circuiti elettrici stazionari Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando.

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Presentazione sul tema: "Fisica II - Informatica Circuiti elettrici stazionari Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando."— Transcript della presentazione:

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2 Fisica II - Informatica Circuiti elettrici stazionari Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando le combinazioni di tali elementi diventano più complesse (circuiti) ? Cioè non possiamo ridurre ad ununico resistore equivalente le resistenze presenti nel circuito.

3 Fisica II - Informatica Leggi di Kirchoff I legge: dei nodi La somma delle correnti che entrano in nodo deve essere eguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso." Questa legge deriva dal principio di conservazione della carica, valido in ogni nodo. Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come correnti di ramo. Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, I i assegnata ad esso

4 Fisica II - Informatica Leggi di Kirchhoff II legge: delle maglie La somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla." Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo: la differenza di potenziale è indipendente dal cammino! R1R1 R2R2 I Muovendosi in senso orario sul circuito: IR 1 IR 2 0

5 Fisica II - Informatica Regola pratica Muovendosi sul circuito: Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (caduta) sono negative. Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e percorriamo il circuito nella medesima direzione (p. es.). Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello positivo, il potenziale aumenta, e quindi la tensione della batteria entra nellequazione con un segno +, Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-) V diminuisce ed entra nellequazione con il segno -. Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il potenziale diminuisce e quindi entra nellequazione con un segno -. R1R1 R2R2 I IR 1 IR

6 Fisica II - Informatica Regola pratica invertendo il senso della corrente, si ha sulla maglia E impossibile scegliere un verso del cammino sbagliato (circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELLEQUAZIONE. Non vi è alcuna differenza nellalgebra ! COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle correnti risultino NEGATIVE. Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione del flusso di corrente è in realtà opposto a quello del cammino arbitrariamente scelto. IR 1 IR I

7 Fisica II - Informatica Esempio a d b e c f R1R1 I R2R2 R3R3 R4R4 I Se 2 < 1, I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto Se 1 < 2, I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto Se invertiamo il verso scelto per I

8 Fisica II - Informatica Resistenza interna di un dispositivo fem Qualunque dispositivo fem ha una resistenza interna. Consideriamo una batteria reale. Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario)

9 Fisica II - Informatica Potenza (elettrica) e Dissipazione La potenza netta trasferita da un dispositivo fem ai portatori di carica è data da Definizioni: Dissipazione interna di potenza: potenza FEM : Conservazione dellEnergia !

10 Fisica II - Informatica Resistori in serie a b c R1R1 R2R2 I Il potenziale diminuisce: Quindi: Quando i dispositivi sono in SERIE, la corrente che li attraversa è identica ! a c R eq Il circuito si riduce a :

11 Fisica II - Informatica Definizioni Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un circuito Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito elettrico (punto iniziale e finale coincidenti).

12 Fisica II - Informatica Analizzare il circuito, identificare tutti i nodi ed usare la I legge di K. (1) I 1 = I 2 + I 3 ovvero, al nodo inferiore I 2 + I 3 = I 1 (solo una è indipendente) Come usare le leggi di Kirchhoff ? 1 2 R1R1 R3R3 R2R2 I1I1 I2I2 I3I3 (2) 1 I 1 R 1 I 2 R 2 = 0 (3) 1 I 1 R 1 2 I 3 R 3 = 0 (4)=(3-2) I 2 R 2 2 I 3 R 3 = 0 Identificare tutte le maglie indipendenti ed usare la II legge di K. Ma … solo due sono independenti! (2) (3) (4)

13 Fisica II - Informatica Come usare le leggi di Kirchhoff ? 1 2 R1R1 R3R3 R2R2 I1I1 I2I2 I3I3 Risolviamo le equazioni per I 1, I 2, e I 3 : troviamo prima I 2 e I 3 in termini di I 1 : Questo sistema funziona solo perchè le eq. 2 e 3 coinvolgono ciascuna solo due correnti. Nel caso peggiore, sarà necessario risolvere simultaneamente tre eq. lineari. ora risolviamo per I 1 usando leq. (1): dalleq. (2) dalleq. (3)

14 Fisica II - Informatica Resistori in parallelo a d I I R1R1 R2R2 I1I1 I2I2 V I a d I RV Ma la corrente attraverso R 1 non è I ! Chiamiamola I 1. Analogamente, R 2 I 2. II legge Cosa fare? I dispositivi in parallelo hanno la medesima caduta di tensione Come si correla I a I 1 & I 2 ? La corrente si conserva !

15 Fisica II - Informatica Esempio 1 Consideriamo il circuito in figura: Qual è la relazione tra V a - V d e V a - V c ? (a) (V a -V d ) < (V a -V c ) (b) (V a -V d ) = (V a -V c ) (c) (V a -V d ) > (V a -V c ) Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino ! I punti d e c sono identici, elettricamente Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d sono equipotenziali anche se questo esempio non è statico. 12V I1I1 I2I2 a b d c

16 Fisica II - Informatica Esempio 2 (a) I 1 < I 2 (b) I 1 = I 2 (c) I 1 > I 2 – Qual è la relazione tra I 1 e I 2 ? Consideriamo il circuito in figura: Si noti che: V b -V d = V b -V c assumendo fili perfettamente conduttori Pertanto, 12V I1I1 I2I2 a b d c

17 Fisica II - Informatica Riassumendo Resistori in serie : Resistori in parallelo : La corrente attraverso è identica; la caduta di tensione ai capi è IR i La caduta di tensione ai capi è identica; la corrente attraverso è V / R i

18 Fisica II - Informatica Suggerimenti per risolvere i problemi Dato un circuito, analizzarne attentamente la topologia. –trovare i nodi e ciascun ramo, selezionarne i sottoinsiemi Linearmente Indipendenti. –definire le correnti di ramo Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie indipendenti nel circuito. –la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla ! Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi independenti del circuito. Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve essere eguale al numero di correnti incognite !

19 Fisica II - Informatica Amperometro e Voltmetro Amperometro: strumento usato per misurare correnti Deve essere connesso in serie. La resistenza interna di un amperometro deve essere la più piccola possibile. Voltmetro: uno strumento usato per misurare differenze di potenziale Deve essere connesso in parallelo. La resistenza interna di un voltmetro deve essere la più grande possibile.

20 Fisica II - Informatica Amperometro: misura correnti connesso in serie: bisogna interrompere un ramo di circuito ed inserire lo strumento. In pratica lAmperometro è essenzialmente una resistenza di shunt (di caduta) R s molto bassa, inserita nel ramo del circuito, con un voltmetro ad elevata impedenza connesso ai suoi capi (dello shunt) che misura la corrente di shunt come I = V/R s Voltmetro: misura differenze di potenziale La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove effettuare la misura. Se R voltmetro = 100 x R j essa ridurrà il valore effettivo di R j di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e, potenzialmente, anche in altre. Amperometro e Voltmetro

21 Fisica II - Informatica a b R C I I t q RC 2 RC 0 C C a b + -- R + I I Circuiti RC q RC2RC 0 t C

22 Fisica II - Informatica Circuiti non-stazionari Fin qui abbiamo trattato correnti costanti, cioè circuiti in condizioni stazionarie Consideriamo adesso dei semplici circuiti in cui la corrente varia nel tempo Calcolo Carica di un condensatore attraverso una Resistenza Calcolo Scarica di un condensatore attraverso una Resistenza

23 Fisica II - Informatica Circuiti RC il condensatore è inizialmente scarico per t<0 linterruttore S è aperto, non circola corrente per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo elettrico della batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C e li rimuove da quella inferiore non vi è passaggio di corrente tra le placche di C !!! il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene raggiunto non circola più corrente

24 Fisica II - Informatica Circuiti RC Carica di un condensatore: C inizialmente scarico; chiudiamo linterruttore su a a t=0 a b R C I I Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo. È importante la posizione di R nella maglia ? Legge maglia Convertiamola in una equazione differenziale per Q: + +

25 Fisica II - Informatica Soluzione eq. differenziale (1° ordine)

26 Fisica II - Informatica Carica del condensatore Carica su C Max = C 63% Max a t = RC Corrente Max = /R 37% Max a t = RC Q 0 C t RC 2 RC I 0 t costante di tempo

27 Fisica II - Informatica Circuiti RC Scarica del condensatore: C inizialmente carico con Q = C Chiudiamo linterruttore su b a t=0. Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo. Convertiamola nella equazione differenziale per Q : C a b R I I Legge maglia

28 Fisica II - Informatica Soluzione Conclusioni: il condensatore si scarica esponenzialmente con costante di tempo = RC la corrente decade dal valore max iniziale (= - / R ) con la stessa costante di tempo

29 Fisica II - Informatica Corrente Max = - /R 37% Max a t=RC Scarica del condensatore Carica su C Max = C 37% Max a t= RC Q = C e -t/RC t Q 0 C RC 2 RC 0 - / R I t zero

30 Fisica II - Informatica Combinazioni di RC: quanto vale ? R R CC R R C C

31 Fisica II - Informatica Riassunto VRVR R CVCVC + - R C S VCVC VRVR Carica Scarica

32 Fisica II - Informatica Comportamento dei Condensatori Carica –Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo (cond.). –Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto. Scarica –Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria. –Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto

33 Fisica II - Informatica Applicazione: il flash

34 Fisica II - Informatica Esempio 1 A t=0 linterruttore è connesso in a nel circuito in figura: il condensatore è inizialmente scarico. –A t = t 0, linterruttore è commutato dalla posizione a alla posizione b. –Quale dei seguenti grafici rappresenta meglio la dipendenza dal tempo della carica su C ? C a b R 2R2R (a) (b) (c) Per 0 < t < t 0, il condensatore si carica con costante di tempo = RC Per t > t 0, il condensatore si scarica con costante di tempo = 2 RC (a) costanti di tempo eguali nella carica e nella scarica (b) la costante di tempo di scarica t è maggiore di quella di carica (c) la costante di tempo di scarica t è minore di quella di carica

35 Fisica II - Informatica Quanta energia è immagazzinata in C nellistante in cui i=2.0 mA. Assumere q(t=0)=0, =50V, R=5K and C=40 F Usiamo la corrente i per trovare Esempio 2 R C S VCVC VRVR

36 Fisica II - Informatica Usiamo la conservazione dellenergia Lenergia immagazzinata nel condensatore C è: Esempio 2 R C S VCVC VRVR

37 Fisica II - Informatica Esempio 3 I1I1 I3I3 I2I2 R2R2 C R1R1 Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e lunghi) di questo circuito. Comportamento a breve termine (t=0): Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi, e Comportamento a lungo termine (t): il condensatore è un circuito aperto

38 Fisica II - Informatica Esempio 3 I1I1 I3I3 I2I2 R2R2 C R1R1 Maglia 1 Maglia 2 Nodo: Maglia 1: Maglia 2 : Eliminare I 1 in M 1 e M 2 usando lequazione al nodo : Maglia 1: Maglia 2: eliminare I 2 eqn. differenziale finale :

39 Fisica II - Informatica Esempio 3 I1I1 I3I3 I2I2 R2R2 C R1R1 Maglia 1 Maglia 2 eqn. differenziale finale : costante di tempo: combinazione del parallelo tra R 1 e R 2 Cerchiamo una soluzione del tipo: –sostituiamo nella eq. per ricavare A e t I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali:

40 Fisica II - Informatica Esempio 3 per quanto riguarda la scarica ? –Aprendo linterruttore... I1I1 I3I3 I2I2 R2R2 C R1R1 Maglia 1 Maglia 2 Maglia 1 e Maglia 2 non esistono! I 2 è lunica corrente una sola maglia I2I2 R2R2 C R1R1 costante di tempo diversa per la scarica

41 Fisica II - Informatica Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali ! Soluzioni di tipo esponenziale –dovute alla forma dellequazione differenziale costante di tempo = RC –cosa sono R e C ? bisogna analizzare il circuito ! con RC in serie la soluzione per la carica è con RC in serie la soluzione per la scarica è Riassunto

42 Fisica II - Informatica Soluzioni di tipo esponenziale –dovute alla forma dellequazione differenziale costante di tempo = RC –Quando il sistema raggiunge lequilibrio ? –è una convenzione: se diciamo che il sistema è in equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore asintotico (max o 0) della tensione (carica) di carica o scarica –diciamo quindi t = RC* ln(1/.001) = 6.9 Esempio = 10 F * 10 M = 100 s 690 s per 0.1% Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione, dobbiamo attendere più a lungo. Riassunto


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