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Cenni di teoria degli errori Il risultato di una misura sperimentale su una grandezza fisica è sempre affetto da unincertezza, per quanto accurata possa.

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Presentazione sul tema: "Cenni di teoria degli errori Il risultato di una misura sperimentale su una grandezza fisica è sempre affetto da unincertezza, per quanto accurata possa."— Transcript della presentazione:

1 Cenni di teoria degli errori Il risultato di una misura sperimentale su una grandezza fisica è sempre affetto da unincertezza, per quanto accurata possa essere la misura. La differenza tra il valore autentico della grandezza in esame e il suo valore misurato è chiamato errore della misura Indicato con x* il valore autentico e con x quello misurato, si ottiene quindi: Err = x =x-x*

2 E evidente che se conoscessimo lerrore esatto della misura, dalla formula precedente si ricaverebbe immediatamente il valore autentico! Lerrore è ignoto, ma possiamo fornirne una stima La questione è: Come fornire questa stima (e fare in modo che sia attendibile)? Ad es.: misura della lunghezza di un tavolo con metro a nastro. Risultati: L=110.5 cm L=110.6 cm L=110.4 cm L=110.5 cm L=110.3 cm …………. Sperimentalmente si osserva che la ripetizione della misura di una grandezza fisica, nelle medesime condizioni sperimentali, conduce spesso a risultati diversi

3 I risultati differenti suggeriscono che le condizioni di misura non sono esattamente le stesse, entro la precisione del nostro strumento (il metro a nastro). Ad es. potremmo non avere steso bene il metro, oppure non averlo allineato accuratamente al lato del tavolo fra una misura e laltra. Se ripetessimo molte volte questa misurazione, potremmo verificare, ad esempio, che il valore minimo misurato è cm, ed il valore massimo misurato è cm. Potremmo quindi aspettarci ragionevolmente che il valore autentico cada nellintervallo [110.3, 110.6]. La misura migliore sarebbe probabilmente nel mezzo: con errore massimo 0.15 (in eccesso o difetto) L=110.5 cm L=110.6 cm L=110.4 cm …………. ………… L=110.4 cm L=110.5 cm L=110.3 cm …………. N= 100

4 In forma compatta, possiamo scrivere la nostra misura nella forma ± 0.15 cm Lincertezza che deriva da fluttuazioni non prevedibili delle condizioni di misura è chiamata errore casuale. Lerrore casuale cambia da misura a misura quando la misura viene ripetuta. Supponiamo ora che il nostro metro a nastro si sia ristretto (un cattivo lavaggio?): esso risulterà scalibrato, e per una lunghezza reale di un metro indicherà (supponiamo) 110 cm. Tutte le misure ripetute che faremo saranno comunque in eccesso di ca. 10 cm rispetto alla lunghezza del tavolo. Questo errore si ripeterà sempre uguale ad ogni misura, e non vi è quindi modo di scovarlo da misure ripetute. Questo insidioso errore è detto errore sistematico Importanza di metodi di misura molto diversi di una stessa grandezza!!

5 Accuratezza e precisione Accuratezza: rappresenta la vicinanza della misura (o della media di misure, per misure ripetute) al valore vero Precisione: rappresenta lampiezza della distribuzione di valori in un gruppo di misure ripetute. Maggiore la precisione, minore lampiezza della distribuzione. A: Preciso e accurato; B: Preciso, poco accurato; C: Accurato, poco preciso; D: Poco accurato, poco preciso

6 Laccuratezza non può essere appurata dallapplicazione di misure ripetute, poiché non si possono stimare in tal modo gli errori sistematici La precisione viene invece stimata sulla base di misure ripetute. Maggiore la precisione, migliore la riproducibilità del dato. Per valutare laccuratezza è importante disporre di metodi differenti e indipendenti di misura della stessa grandezza fisica!

7 Propagazione degli errori Grandezze derivate: grandezze fisiche definite come funzione di altre grandezze G = f(x,y) x, y = grandezze misurate direttamente G = grandezza derivata, calcolata mediante una formula Es. : area del rettangolo a partire da misure dei lati A = a b

8 x, y = grandezze affette da errori sperimentali x+ x In una data misura: y+ y G+ G = f(x+ x, y+ y) x+ x y+ y risultati della misura

9 Assumendo che gli errori siano piccoli rispetto al valore delle misure x e y, possiamo espandere la funzione f(x,y) in serie di Taylor, fermandoci al termine al primo ordine G+ G = f(x+ x, y+ y) G = f(x, y)

10 Grandezze correlate e grandezze indipendenti Un aspetto fondamentale è rappresentato dalla relazione esistente fra le grandezze dirette oggetto dalle misure. In generale, sia x che y possono essere funzioni di un medesimo parametro (es., la temperatura). In questo caso, se lerrore su x e y è legato a fluttuazioni del parametro (o dei parametri) comuni alle grandezze, x e y si dicono correlate, ai fini del calcolo dellerrore. In questo caso, gli errori su x e y saranno «in fase». Se lerrore sulle grandezze x e y non è determinato da parametri comuni, allora gli errori su x e y non sono legati, in generale, fra loro. Le grandezze x e y possono essere considerate indipendenti, ai fini del calcolo dellerrore

11 Propagazione dellerrore per grandezze indipendenti Per grandezze indipendenti ci si aspetta che gli errori associati alle misure avvengano sia in positivo che in negativo indipendentemente per le due grandezze. Ad es., su quattro misure, più probabilmente otterremmo una distribuzione del tipo: x+| x|y+| y| x-| x|y+| y| x+| x|y-| y| x-| x|y-| y| Quindi, solo nel 50% dei casi abbiamo gli errori «in fase», entrambi positivi o negativi

12 Lerrore massimo nella misura di G, grandezza derivata, sarebbe dato da: Ma questa incertezza appare largamente sovrastimata, poiché nel 50% dei casi gli errori su x e y si compenseranno. Questo significa che per molte misure lincertezza effettiva è minore dellerrore massimo: ampiezza effettiva della distribuzione minore = precisione maggiore Si può dimostrare che, se x e y sono errori casuali con distribuzione normale, una stima migliore della precisione delle nostre misure è data da:

13 Più in generale, vale la: formula di propagazione dellerrore per grandezze indipendenti

14 Propagazione dellerrore per grandezze correlate Per grandezze correlate, gli errori saranno «in fase». Ad es., su quattro misure, otterremo (nel caso che sia x che y siano entrambi funzioni crescenti del parametro «fluttuante») x+| x|y+| y| x-| x|y-| y| Quindi, in generale, la grandezza derivata oscillerà fra combinazioni a massimo o a minimo. Se sappiamo che x e y sono correlate, ma non sappiamo come, è più affidabile fare ricorso alla formula per gli errori massimi

15 Come abbiamo visto, lerrore massimo nella misura di G, grandezza derivata, è dato e più in generale, vale la: formula di propagazione dellerrore per grandezze correlate La formula si applica anche se gli errori sulle grandezze dirette sono la stima basata su una singola (o poche: due o tre) misura


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