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Corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori Davide Grandi.

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Presentazione sul tema: "Corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori Davide Grandi."— Transcript della presentazione:

1 Corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori Davide Grandi

2 Sommario Dalla somma in quadratura: Somme e differenze Prodotti e quozienti Funzioni arbitrarie di una variabile La potenza Formula generale Livelli di confidenza Rigetto dei dati Metodo dei minimi quadrati

3 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia NotaNota Usiamo nei lucidi seguenti Per indicare lerrore o laccuratezza relativo alla stima di y dove intendiamo non la deviazione standard, legata alla bontà di una misura, ma lerrore standard, ovvero lerrore della media, legato alla deviazione standard dalla relazione

4 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Relazione lineareRelazione lineare Partiamo dalla relazione lineare con Lerrore o laccuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x

5 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Somme (e differenze)Somme (e differenze) Se invece abbiamo con Abbiamo già visto che lerrore o laccuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x e di z sarà Che solo in alcuni casi può approssimarsi a (stima per eccesso)

6 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Prodotti e quozientiProdotti e quozienti Se invece abbiamo Lerrore o laccuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di a,b,c,d sarà (errore relativo)

7 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Giustif. errore relativoGiustif. errore relativo Dato il caso semplice Abbiamo che lerrore relativo per a (o per b) sarà Per cui esprimerò a (o b) come

8 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Giustif. errore relativoGiustif. errore relativo Da questo avremo che Il valore più probabile più grande sarà con numeratore grande (segno +) e denominatore piccolo (meno)

9 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Giustif. errore relativoGiustif. errore relativo Ovvero E siccome vale avremo

10 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Giustif. errore relativoGiustif. errore relativo La somma in quadratura introdotta la lezione precedente giustifica il passaggio da a

11 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzioni arbitrarieFunzioni arbitrarie Data una funzione di diverse variabili Avremo che lerrore (o laccuratezza) dato dalla misura delle variabili x,…z sarà: E non è mai più grande della somma ordinaria dei termini

12 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia PotenzaPotenza Nel caso in cui avremo

13 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Livello di confidenzaLivello di confidenza Se abbiamo trovato con una misura un valore medio (migliore stima) Rappresentato con la deviazione standard della media, possiamo dire che la probabilità che il calcolo del valore medio cada nellintervallo È il 68% (circa)

14 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Livello di confidenzaLivello di confidenza Partiamo dunque dallipotesi di avere una distribuzione centrata sul valore vero y v, la cui larghezza viene stimata dal parametro. In questo modo avremo che la discrepanza tra il valor medio ed il valor vero (espressa in unità di ) sarà In questo modo posso calcolare la probabilità che una misura (una media) cada al di fuori di t

15 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Livello di confidenzaLivello di confidenza Come P(fuori da t ) = 1 – P(entro t ) Nel caso la probabilità della mia misura sia grande essa risulterà accettabile, altrimenti inaccettabile (o significativa) Ad esempio P(fuori da 2 ) = 4.6% P(fuori da 1.96 ) = 5% P(fuori da 2.32 ) = 2%

16 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Rigetto dei datiRigetto dei dati Dati ad esempio 6 valori di cui uno sospetto, in quanto calcolato il valor medio e la deviazione standard noto che dista dal valor medio 2. A questo punto abbiamo visto che P(fuori da 2 ) = 4.6% 5% (0.05) Questo implica che 1 misura ogni 20 circa dovrebbe essere 2 oltre il valor medio, quindi: Sse ho fatto 20 misure non ha senso rigettarla (rientra nella coda statistica), invece nel nostro caso la probabilità sarà: 6 x 0.05= 0.3 Ovvero solo 1/3 di misura dovrebbe essere oltre 2

17 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Rigetto dei datiRigetto dei dati Questo implica che se riteniamo 1/3 di misura altamente improbabile, possiamo rigettare il dato erroneo. Il criterio di Chauvenet pone il limite di improbabilità a ½ ovvero date N misure ed una di queste oltre ad esempio 2 calcoliamo NP(fuori da 2 ) e se è minore di ½ posso rigettare il rispettivo dato..

18 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati Supponiamo di avere ottenuto una serie N di misure di una variabile y i, ognuna in corrispondenza di un determinato valore x i, ovvero di possedere una serie di coppie (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), ……. (x N,y N ), E di voler stabilire se esiste una relazione ad esempio lineare tra le due classi di parametri, ovvero se posso scrivere y=a+bx Può ad esempio essere il caso di determinare le costanti a e b con sufficiente precisione in quanto rappresentano lobiettivo finale della mia misura

19 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati Agendo come nel caso del calcolo del valor medio, se i miei dati si possono disporre su una retta dovrò minimizzare la distanza di ciascuna coppia di valori dalla retta di equazione y=a+bx, ottenendo:

20 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati Dove abbiamo semplificato Si può affermare che la misura di tutti gli y i sia normalmente distribuita attorno al suo valore y=a+bx con larghezza

21 Propagazione degli errori Davide Grandi - Dottorato in Biologia Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati Possiamo anche calcolare gli scarti per i coefficienti a e b, che saranno:

22 Regressione lineare Davide Grandi - Dottorato in Biologia Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati Il metodo dei minimi quadrati che permette di stimare a e b dallequazione y=a+bx (x e y valori medi) in pratica cerca di minimizzare lerrore residuo e i nella relazione y i = a+bx i + e i


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