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Alcune questioni sulla dimostrazione Nicolina A. Malara, Dipartimento di Matematica Università di Modena & Reggio E.

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1 Alcune questioni sulla dimostrazione Nicolina A. Malara, Dipartimento di Matematica Università di Modena & Reggio E.

2 valenza educativa della dimostrazione valenza educativa della dimostrazione concezioni di dimostrazione concezioni di dimostrazione ä la dimostrazione nellinsegnamento Aspetti logico-linguistici inerenti la dimostrazione La dimostrazione in ambito aritmetico ed il ruolo del linguaggio algebrico lunità cognitiva di teoremi) dallesplorazione alla dimostrazione ( lunità cognitiva di teoremi)

3 Sulla valenza educativa della dimostrazione

4 in The Mathematical Experience (1981) Davis ed Hersh sostengono che la dimostrazione caratterizza univocamente la matematica e che non vi è matematica se non vi è dimostrazione. Rilevano che, rispetto ad un dato argomento, la dimostrazione determina la validità di enunciati, in genere non evidenti ed a volte insospettati, ed aumenta la conoscenza e comprensione dell'argomento stesso. Richiamano il valore sociale della dimostrazione, per il costante processo di critica e di conferma cui è sottoposta, che ne suggella la rispettabilità e l'autorità.

5 Lucio Russo, Scienza e tradizioni culturali, relazione al convegno Perché lantico, Firenze 2000 La tendenza ad eliminare le dimostrazioni è oggi molto forte e segue varie strade contemporaneamente: mentre il metodo dimostrativo è quasi completamente scomparso dalle scuole secondarie delloccidente, si stanno diffondendo (in particolare negli USA) corsi di fisica senza matematica, nei quali la fisica è insegnata con un metodo puramente descrittivo; inoltre le dimostrazioni tendono a sparire anche dai corsi universitari di matematica (in Italia i corsi di matematica generale per Economia e gli altri corsi di servizio hanno già quasi completato la trasformazione; per i corsi di laurea in matematica e fisica un importante passo avanti in questa direzione sarà compiuto con le lauree triennali appena istituite).

6 In definitiva il metodo dimostrativo si sta rifugiando in una riserva indiana costituita da pochi corsi di dottorato e pochi settori della ricerca matematica (dove, essendo usato solo per fare carriera accademica, potrà in breve essere sostituito da una qualsiasi altra tecnica sufficientemente astrusa). Le conseguenze di questo processo sulle capacità argomentative diffuse sono facilmente verificabili (e costituiscono la controprova dellantico rapporto tra dimostrazioni, capacità argomentative e democrazia).

7 Gila Hanna (1995):Challenges to the importance of proof, For the learning of mathematics, vol. 15, n. 3 La Dimostrazione è un argomento trasparente, in cui tutte le informazione usate e tutte le leggi di ragionamento sono chiaramente espresse e aperte alla critica. E proprio per la natura stessa della dimostrazione che la validità della conclusione scaturisce non da alcuna autorità esterna ma dalla dimostrazione stessa. La dimostrazione veicola agli studenti il messaggio che essi possono ragionare da se stessi, che non hanno bisogno di piegarsi alla autorità. Dunque luso della dimostrazione in classe è in realtà anti-autoritario

8 Sul significato di dimostrazione

9 Usualmente il significato attribuito al termine dimostrazione è inteso come sistemazione deduttiva di un processo di ragionamento. Questa visione della dimostrazione, induttiva e deduttiva insieme, tipica della cultura di matrice anglosassone, è stata sottolineata da nostri importanti studiosi sin dai primi del 900 Va invece fatto inteso in senso più ampio come costruzione di un ragionamento che porta alla scoperta di nuove conoscenze.

10 Nel 1904 Vailati scriveva E di somma importanza che lallievo arrivi il più presto possibile a vedere nel processo di dimostrazione un mezzo per passare dal noto allignoto, uno strumento cioè di prova e, ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi potrà apprezzarne e gustarne lefficacia come strumento di analisi, e di riduzione al minimo, dei concetti e delle ipotesi fondamentali. E di somma importanza che lallievo arrivi il più presto possibile a vedere nel processo di dimostrazione un mezzo per passare dal noto allignoto, uno strumento cioè di prova e, ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi potrà apprezzarne e gustarne lefficacia come strumento di analisi, e di riduzione al minimo, dei concetti e delle ipotesi fondamentali. Brano tratto dalla recensione del testo di geometria di Enriques Amaldi.

11 G. Lolli (2006) I turbamenti delluguale Se viceversa, Polymath ( Instillare al contrario, anche nel caso di successioni di uguaglianze e disuguaglianze, servendosi proprio dei vari artifici di dispiegamento dei commenti, lidea che In generale, la regola dominante deve essere quella di distruggere (o ancor prima, non instillare) lopinione che la risposta (a un quesito che richiede una dimostrazione) debba o possa essere un flusso diretto lineare ininterrotto di formule matematiche. la dimostrazione è più simile ad una passeggiata, senza fretta, con deviazioni e ritorni e visite su percorsi laterali, in un paesaggio abitato da pensieri e parole.

12 La dimostrazione nel nostro insegnamento

13 La dimostrazione nel nostro insegnamento geometria altro AritmeticaAlgebraAnalisiProbabilità…

14 Didattica della dimostrazione CostruzioneLettura-comprensioneApprendimento-riproduzione Comunicazione Aspetti semantici Aspetti sintattici Attività propedeutiche Attività di controllo

15 Aspetti logici inerenti la dimostrazione

16 La (diffusa) scarsa padronanza del linguaggio naturale determina negli studenti varie difficoltà nellapprendimento di una dimostrazione Per questo è opportuno dedicare una particolare cura agli aspetti logici del linguaggio e in particolare alle proposizioni condizionali, le cosìdette implicazioni Importante è far riconoscere ed esplicitare proposizioni condizionali quando esse sono espresse attraverso luso di: articoli determinativi o indeterminativi articoli determinativi o indeterminativi il quantificatore universale tutti (ogni) il quantificatore universale tutti (ogni)

17 Esempi un numero naturale divisibile per quattro è divisibile per due i rettangoli hanno le diagonali uguali Tutti i numeri quadrati hanno esattamente tre divisori Se un numero naturale è divisibile per quattro allora è divisibile pre due Se un quadrilatero è un rettangolo allora ha le diagonali uguali Se un numero naturale è un quadrato allora ha esattamente tre divisori

18 implicazione, implicazione inversa, implicazione contraria, implicazione contronominale riconoscere lequiveridicità di una implicazione e della sua contronominale ed a comprendere il ruolo di questultima nelle dimostrazioni per assurdo. E opportuno educare gli studenti a riconoscere lequiveridicità di una implicazione e della sua contronominale ed a comprendere il ruolo di questultima nelle dimostrazioni per assurdo. Distinzione delle proposizioni condizionali costruite sulle stesse componenti Esempio se un parallelogrammo è un rettangolo allora ha gli angoli uguali Inversa: se un parallelogrammo ha gli angoli uguali allora è un rettangolo Contraria: se un parallelogrammo non è un rettangolo allora non ha gli angoli uguali Contronominale: se un parallelogrammo non ha gli angoli uguali allora non è un rettangolo

19 Una cura particolare va data alla negazione di proposizioni quantificate. Ancora più delicata è la gestione di proposizioni contenenti entrambi i quantificatori esiste … per ogni per ogni … esiste Di cui va fatta rilevare la non commutatività Esempio classico: assiomi 2° e 3° di gruppo In generale gli studenti tendono ad identificare la negazione del quantificatore tutti con il suo contrario nessuno

20 Sul significato del termine Teorema Dizionario Enciclopedico Fedele (UTET) Teorema (dal greco esamino) ciò che si esamina ma anche la verità che è il risultato dellesame, della dimostrazione. ciò che si esamina ma anche la verità che è il risultato dellesame, della dimostrazione. In matematica proposizione dimostrabile proposizione dimostrabile Enciclopedia Britannica proposizione che deve essere dimostrata proposizione che deve essere dimostrata

21 Elementi fondamentali di un teorema sono: Lipotesi: proposizione iniziale, dalla quale si prendono le mosse per la dimostrazione del teorema tesi: proposizione finale, conclusiva di una dimostrazione del teorema Unimportante osservazione Il predicato di una proposizione esprime una condizione circa il sogetto della stessa. Esempio: Un rombo ha le diagonali perpendicolari La condizione espressa per un rombo dal predicato è lavere le diagonali perpendicolari

22 Teorema Se un numero naturale è divisibile per 4 allora è divisibile per 2 Condizione espressa per un numero dalla tesi (b) Divisibilità per 2 Dato il teorema, per un numero E sufficiente che si verifichi la condizione (a) perché necessariamente si verifichi la condizione (b) Ipotesi un numero naturale è divisibile per 4 Condizione espressa per un numero dallipotesi (a) Divisibilità per 4 Tesi un numero naturale è divisibile per 2 (a) è detta cond. sufficiente, (b) cond. necessaria

23 Raramente di fronte ad un semplice teorema si caratterizzano le condizioni espresse dalla ipotesi e dalla tesi motivando le denominazioni di condizione sufficiente per quella dellipotesi condizione necessaria per quella della tesi Per antica tradizione, nella prassi didattica, tali condizioni usualmente vengono utilizzate nella formulazione unitaria di due teoremi uno inverso dallaltro. Ad esempio Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli uguali Lomettere con gli studenti una analisi come questa, genera in loro incomprensione e spesso sta allorigine di atteggiamenti di passività.

24 La dimostrazione in ambito aritmetico

25 La dimostrazione in ambito aritmetico è poco o nulla praticata in Italia, anche per ragioni connesse alla storia dellinsegnamento matematico Laritmetica, ed in particolare lambiente dei numeri naturali costituiscono terreno ideale per attività dimostrative. Queste attività offrono un importante contesto per largomentazione e la dimostrazione, con un progressivo passaggio dal linguaggio naturale a quello algebrico.

26 Non tutti i ricercatori sono concordi sullimportanza del linguaggio algebrico per la dimostrazione in ambito aritmetico valorizzando la semplicità di certe dimostrazioni verbali. Esempi provare che il prodotto di tre numeri consecutivi è divisibile per sei provare che il prodotto di tre numeri consecutivi è divisibile per sei (passi di ragionamento: Dati tre numeri consecutivi, almeno uno dei tre deve essere pari, almeno uno dei tre diviso per 3 ha resto zero)

27 Un esempio di problema dimostrativo non risolubile per via verbale Dati due numeri interi a e b se 3a = 2b allora la somma a+b è muntiplo di 5 Confronto di strategie provare che il quadrato di un numero dispari è dispari Dimostrazione verbale Passi di ragionamento: un numero dispari ha cifra delle unità dispari, il quadrato delle cifre dispari ha unità dispari Analisi delle difficoltà Dimostrazione algebrica (2k+1) 2 = 4k 2 + 4k+1=2(2k 2 + 2k) + 1

28 Ritengo cruciale per la didattica della dimostrazione portare gli studenti a condurre ragionamenti via linguaggio algebrico - per la semplificazione e controllo della complessità argomentativa - per la facilitazione della comunicazione - per la valorizzazione del ruolo di metalinguaggio del linguaggio naturale

29 Nellapproccio alla dimostrazione il ruolo dellinsegnante è cruciale, egli dovrà porsi come modello mostrando, in varie situazioni, come: -tradurre le ipotesi in linguaggio algebrico, -trasformare una scrittura in più modi per aprire il campo a sue diverse interpretazioni; -interpretare formule ottenute per elaborazione sintattica e selezionare quelle utili ai fini della tesi.

30 Dimostra che la differenza tra i quadrati di due numeri naturali consecutivi è sempre dispari Occorre partire considerando due numeri naturali consecutivi. Indichiamo con una lettera il primo dei due a Esprimiamo il suo successivo mediante aa +1 Indichiamo il quadrato di ciascuno a 2 (a+1) 2 Scriviamo la differenza tra i quadrati (a+1) 2 - a 2 Occorre provare che questa differenza è un numero dispari Trasformiamo perciò la scrittura (a+1) 2 - a 2, svolgiamo il quadrato di (a+1) 2 (a 2 + 2a + 1) svolgiamo il quadrato di (a+1) 2 (a 2 + 2a + 1) riscriviamo la differenza dei quadrati(a 2 + 2a + 1)- a 2 = 2a + 1 Interpretiamo la scrittura 2a + 1: rappresenta un numero dispari? Si. Quanto si voleva è dimostrato.

31 conoscenza di specifici termini nel linguaggio caratterizzanti predicati in associazione con il verbo essere (doppio, consecutivo, pari, maggiore di, minore di, divisibile per, multiplo di, etc e loro combinazioni); capacità di: - riformulare predicati in termini di uguaglianza -tradurre espressioni dal linguaggio naturale a quello algebrico; -interpretare espressioni algebriche trasformate nei termini della situazione in esame; -controllare le conseguenze degli assunti e ragionamenti fatti. Conoscenze e abilità necessarie per la costruzione di una dimostrazione nei naturali

32 Proposizioni da tradurre in linguaggio algebrico Il successivo di un pari, Il successivo pari di un pari Il quadrato del successivo di un numero Il successivo del quadrato di un numero Il quadrato del successivo di un pari Il quadrato del successivo di un dispari Il precedente di un numero Lantecedente del triplo di un numero Il precedente di un pari Il precedente di un dispari Lantecedente del triplo di un numero pari Lantecedente del triplo di un numero dispari La somma di due dispari consecutivi Il prodotto di due numeri consecutivi La somma dei quadrati dei reciproci di due numeri La somma del quadrato dei reciproci di due numeri Il quadrato della somma dei reciproci di due numeri

33 Esempi di attività interpretative di scritture algebriche e di riconoscimento di loro equivalenze Dopo aver valutato la correttezza delle seguenti uguaglianze, esprimi il loro perché. 2(2k+2)=4k+4 ; 3(2k+1) 2 =12(k 2 +k)+3 ; (2h)2-1=4h 2 -1((2h+1)+2)+1=(2h+1)+2 Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti ad 8k. Esprimi il perché di tali equivalenze: 2 4k4 2k6+2k(5+3)k. Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti a 2k+3. Esprimi il perché di tali equivalenze: 2(k+1)+2(2k+2)+12(k+2) -1.

34 Determina per quali valori di k (numero naturale qualsiasi) sono soddisfatte le seguenti condizioni: k+3 è multiplo di 3,k+3 è pari k+3 è dispari ; k+3 è multiplo di 4 3k è pari k 3 è dispari 3k è multiplo di 6 k 3 è divisibile per 8 3k è dispari k 3 è multiplo di 4 Rappresenta algebricamente tali valori in modo da provare la tua conclusione. Individua e rappresenta espressioni algebriche equivalenti alle seguenti espressioni. Esprimi tale equivalenza mediante il linguaggio verbale. 4k+2; 4k 2 +2k; 6k+3

35 Esempi di problemi proponibili nella scuola media Dimostra che la somma di due numeri dispari consecutivi è uguale al doppio del numero pari compreso tra essi. Dimostra che la somma di un numero naturale, del suo doppio, del suo triplo e del suo quadruplo è un numero che ha come cifra delle unità lo zero. Dimostra che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è un numero pari. Dimostra che la somma di cinque numeri naturali consecutivi è un multiplo di 5.

36 Comportamenti di studenti in attività dimostrative

37 Classici ed interessanti studi sui comportamenti degli allievi impegnati in attività di costruzione di una dimostrazione sono quelli di Bell (1976) e Balacheff (1988). Gli autori, seppure con diverse impostazioni e terminologia, distinguono essenzialmente tre momenti dello stesso processo.

38 degli esperimenti o verifiche empiriche in cui lallievo esplora la situazione per la formulazione di congetture o per convincersi della validità di un assegnato enunciato e cercare le ragioni che ne stanno alla base; dellilluminazione e convincimento personale in cui lallievo intuisce-coglie-e chiarisce a se stesso le ragioni che stanno alla base della validità della tesi; della sistemazione e della prova in cui lallievo ricostruisce il proprio ragionamento al fine di comunicarlo agli altri e convincerli della correttezza

39 Balacheff svolge uninteressante distinzione tra prove empiriche e prove intellettuali Tali classificazioni consentono una lettura fine delle produzioni degli allievi e possono essere letti in termini di criteri di valutazione degli stessi Nelle prove empiriche è presente il soggetto e lazione, sono caratterizzate dalluso di un linguaggio familiare nelle prove intellettuali vi è un distacco dal soggetto e dallazione, il linguaggio usato è astratto e atemporale

40 Un nostro studio sui comportamenti di futuri insegnanti di scuola secondaria

41 Problemi tratti da G. Peano Giochi daritmetica e problemi interessanti Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza. Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per 10 e sottrai da questo quello di partenza, cancella nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle rimanenti. Io indovinero' quella che tu hai cancellato. Spiegami come è possibile. Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre Perché? Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del quadrato del numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre invertite. Qual è il numero. Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre.

42 Problema 1. Problema 1. Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza , =99; , =297; , =495; , =99. Se la differenza è di due cifre sono due 9 d=99. Se la differenza è di 3 cifre quella centrale è sempre 9. Le due cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo questa regola è facile rispondere allindovinello , =99; , =297; , =495; , =99. Se la differenza è di due cifre sono due 9 d=99. Se la differenza è di 3 cifre quella centrale è sempre 9. Le due cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo questa regola è facile rispondere allindovinello. Problema 5. Problema 5. Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre =77 è vero; 52+25=77; 13+31=44; 44+44=88 è vero, la somma ha sempre le cifre ripetute come i multipli di =363 è vero; =888 non è vero = 7667=11x697 è vero; =5555=11x505 ; =6556=1x596 ; =11110 = 11x1010. Non funziona nel caso di 3 cifre.

43 Problema 3. Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre Perché? Suppongo che il numero sia abc (a>b>c) a b c - u 9 (9-u) + c b a = (9-u) 9(u) u 9(9-u) dove u è un numero. Infatti 431 – 134 = 297 ; = 1089.

44 Mi sono trovata incapace di formulare un ragionamento Non ho la più pallida idea di come si risolvano i quesiti Non so perché queste regolarità accadono

45 Dallesplorazione alla dimostrazione Lunità cognitiva di teoremi

46 " l'unità cognitiva di teoremi " è un costrutto teorico dovuto a Boero et Al. (1995) elaborato, per interpretare il comportamento degli allievi attraverso lo studio, in opportuni campi di esperienza, dei processi durante i quali questi giungono a: produrre congetture, nella forma di enunciati astratti, generali e condizionali, produrre congetture, nella forma di enunciati astratti, generali e condizionali, costruire le dimostrazioni di tali enunciati in attività condivise nella classe costruire le dimostrazioni di tali enunciati in attività condivise nella classe prendere parte alla costruzione collettiva, guidata dall'insegnante, di una teoria di modellizzazione per il campo di esperienza in cui si muovono. prendere parte alla costruzione collettiva, guidata dall'insegnante, di una teoria di modellizzazione per il campo di esperienza in cui si muovono.

47 esplorazione di situazioni formulazione di congetture- dimostrazione della loro validità o loro confutazione

48 Un esempio di attività esplorativa Si sviluppa attraverso: lindividuazione di una regolarità aritmetica la formulazione verbale della regolarità osservata lesplorazione delle ragioni sottostanti la regolarità e la sua dimostrazione formale possibili estensioni e variazioni

49 La situazione Osserva le differenze = = = = = = 18 Vedi qualche regolarità? Dallosservazione una prima, intuitiva risposta è: ciascuna differenza è un multiplo di 9

50 Occorre mettere in relazione 5 con 3 e 8 3 con 7 e 4 1 con 5 e 4 3 con 6 e 3 risulta evidente che il secondo fattore è la differenza fra le cifre dei due termini Chiedendo di esplicitare tali differenze come multipli 9 cercare un legame tra le cifre dei due termini della differenza ed il secondo fattore del prodotto gli allievi scrivono: = 9 x = 9 x = 9 x = 9 x 3

51 La formulazione della congettura La situazione presentata induce una formulazione della congettura in termini relazionali avente come soggetto la differenza tra i due numeri La formulazione dellenunciato risulta difficile per la necessità di esprimere le caratteristiche dei due numeri di cui si fa la differenza La cosa si risolve esplicitando a monte dellenunciato i legami tra i due numeri dando una definizione ad hoc

52 Le risposte ottenibili si possono così classificare: l l Enunciati operativi che si riferiscono alla operazione di sottrazione (es. in ogni sottrazione … il risultato è …) l l Enunciati misti, operativi/relazionali, in genere sporchi (es. La differenza …. è un multiplo di 9 moltiplicato …) l l Enunciati di tipo relazionale che esprimono le proprietà della operazione in esame (es. Dati due numeri naturali tali che …, la loro differenza è data dal prodotto di ….);

53 Se il problema si presenta in termini procedurali o in termini di indovinello, ad esempio: Prendi un numero di due cifre con le decine maggiori delle unità, ad esempio 83. Scambia le cifre, fai la differenza tra primo e secondo e scrivi il risultato, nel nostro esempio = 45. Fai altre prove, ad esempio con 74, 54, 92, ecc, cosa osservi circa i risultati? Pensa un numero di due cifre con le decine maggiori delle unità. Considera il numero che si ottiene scambiando le due cifre e fai la differenza tra il numero iniziale e questultimo. Dimmi il risultato e una delle due cifre, io ti dirò il numero che hai pensato. Spiegami come ho fatto. È molto difficile ottenere lenunciato della proprietà

54 Esplorazione, convincimento e comunicazione dei motivi della regolarità Questa fase è più delicata e richiede una abitudine a l l le rappresentazioni plurime di un numero il collegamento tra rappresentazioni diverse Si può esplorare la regolarità a partire da casi numerici cercando di ridurre le cifre al ruolo di segnaposto Nel nostro caso si tratta di passare dalla rappresentazione posizionale a quella polinomiale dei numeri eseguire la differenza dei due numeri cercare di trasformare la scrittura in forma moltiplicativa mediante le proprietà delle operazioni

55 Vediamo un esempio Partiamo da Questa differenza è di fatto: – ( ) La riscrittura in termini (8-3)10 +(3-8) dà subito il risultato operando in Z, basta riscrivere la differenza come (8 - 3)9 + (8- 3) + (3 - 8) Considerata la differenza possiamo operare come nel caso precedente ottenendo (9 - 7)9 + (9 - 7) + (7 - 9)

56 Se educati allosservazione gli allievi non è difficile che colgano lanalogia tra i casi rileggano le espressioni come schema di processo Per esprimere tale processo in generale basta sostituire ordinatamente al posto di cifre corrispondenti una lettera come rappresentante. La lettera indica una cifra qualsiasi non determinata variabile in un certo insieme di valori

57 Questo percorso consente di cogliere il senso del passaggio particolare- generale il ruolo del linguaggio algebrico per la dimostrazione Si ottiene la dimostrazione della regolarità a10 + b - (b10 + a) = (a-b)9 + (a-b) + (b-a)

58 Dal problem solving al problem posing Si può chiedere se esiste una analoga regolarità considerando la somma anziché la differenza Scopriranno che la somma è sempre esprimibile come prodotto di 11 per la somma delle cifre l l Si può estendere lindagine a casi più complessi, ad esempio porre i problemi: cosa succede con la differenza (o la somma) di due numeri di tre cifre ottenuti luno dallaltro invertendoli ordinatamente? cosa succede al crescere dellordine di grandezza dei numeri? Questi ultimi problemi sono certamente più complessi ma adatti alla secondaria superiore.

59 Studi svolti da svariati ricercatori, non solo italiani, testimoniano che un tale genere di attività è possibile già dalla scuola media, purché pratichi una didattica costruttiva, centrata sulla argomentazione, sulla riflessione di quanto via via costruito, sulla verbalizzazione. pratichi una didattica costruttiva, centrata sulla argomentazione, sulla riflessione di quanto via via costruito, sulla verbalizzazione. sia consapevole dellimportanza e attui attività esplorative volte alla individuazione di relazioni e proprietà ed alla individuazione dei fatti che le determinano sia consapevole dellimportanza e attui attività esplorative volte alla individuazione di relazioni e proprietà ed alla individuazione dei fatti che le determinano linsegnante

60 Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, sessa non passa dalle matematiche dimostrazioni Leonardo da Vinci


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