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Pirini Ilario 3^ EAIstituto tecnico I.I.S. Maserati.

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Presentazione sul tema: "Pirini Ilario 3^ EAIstituto tecnico I.I.S. Maserati."— Transcript della presentazione:

1 Pirini Ilario 3^ EAIstituto tecnico I.I.S. Maserati

2 I ndice : o Lalgebra di Boole Lalgebra di Boole o Applicazione dellalgebra di Boole Applicazione dellalgebra di Boole o Esercizi e test Esercizi e test o Approfondimenti e curiosità Approfondimenti e curiosità

3 Chi era George Boole? Boole George nasce il 2 novembre 1815 a Lincolnshire in Gran Bretagna. Sviluppò assieme ad Auguste De Morgan la logica matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e De Morgan fondarono l'algebra della logica o algebra booleana.

4 L algebra Booleana 01falsovero Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti ANDORNOT Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani: AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali 0 1

5 Loperazione di AND prodotto logico Si definisce loperazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo = = = =

6 Loperazione di OR somma logica Si definisce loperazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo = = = =

7 La negazione NOT negazione Si definisce loperatore di negazione (NOT): loperatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione… 0 = 1 1 = 0 0 = 0 1 = 1

8 La tabella di verità tabella di verità Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica somma logica di prodotti logici Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logici A B C Y Y = A B C + A B C + A B C + A B C

9 Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x 1, x 2,…, x n, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni delle x i un valore di y tabella di verità Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x 1, x 2, …, x n, con associato il valore di y Funzioni logiche y = F(x 1,x 2,…,x n ) x 1 x 2 y y = x 1 +x 2

10 La forma canonica Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 Y = ABC + ABC + ABC A B C Y Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

11 Variabili binarie Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori 0 e 1 Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è x 0 1 x 1 + x 2 + … + x n = 1 se almeno una x i vale 1 0 se x 1 = x 2 = …= x n = 0

12 AND e NOT con variabili binarie x 1 x 2 … x n = 0 se almeno una x i vale 0 1 se x 1 = x 2 = …= x n = 1 Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (AND) è La negazione di una variabile x è x = 0 se x = 1 x = 1 se x = 0

13 Date n variabili binarie indipendenti x 1, x 2,…, x n, queste possono assumere 2 n configurazioni distinte Una configurazione specifica è individuata univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0 compaiono negate Configurazioni delle variabili Ad esempio per n =3 si hanno 8 configurazioni x1x2x3x1x2x x1x2x3x1x2x3 010

14 Minterm Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Prendendo una funzione in esempio scriveremo : y = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Ciascuno di questi prodotti si chiama MINTERM

15 Minterm La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.

16 Maxterm Dalla tabella di verità si può affermare ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0. y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)· (x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).

17 Applicazione dellalgebra di Boole ai circuiti digitali In questa presentazione l'algebra di Boole verrà utilizzata in un diagramma di flusso per rendere più intuitivo comprendere il funzionamento di quei semplici circuiti digitali che costituiscono la base dei computer. "esco se è bel tempo ed è caldo. "esco se è bel tempo o se è caldo".

18 Tenendo presente la seguente tabella possiamo verificare le due frasi Quindi avremo: "esco se è bel tempo ed è caldo= AND "esco se è bel tempo o se è caldo = OR Applicazione dellalgebra di Boole ai circuiti digitali

19 Applicazione dellalgebra di Boole ai circuiti digitali Nel Primo caso la lampadina si accenderà quando: A=0 B=0 Y A B Nel secondo invece la lampadina si accenderà quando: A=0 B=1 Y A B

20 Un esercizio Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti A B C A BC Cambia lo stato di un interruttore qualsiasi Y = 0 Y = 1

21 Un circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dellinterruttore Y = A B+A B A B A B A=1 B=0 Y A B A B A=1 B=1 Y A B A B A=0 B=1 Y A B A B A=0 B=0 Y

22 Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: Per loperatore NOT si provano le seguenti identità: Altre proprietà commutativa commutativa x 1 + x 2 = x 2 + x 1 x 1 x 2 = x 2 x 1 associativa associativa x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + ( x 2 + x 3 ) x 1 x 2 x 3 = x 1 ( x 2 x 3 ) distributiva delprodotto rispetto alla somma distributiva del prodotto rispetto alla somma x 1 x 2 + x 1 x 3 = x 1 ( x 2 + x 3 ) x + x = 1 x x = 0 x = x

23 Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana; xy z Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione.

24 Analisi delle combinazioni Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta A BC 000 Y = 0 Y = 1 ABC 0 10 A BC 001 ABC 1 00 Y = 0 ABC 101 A BC 111 Y = ABC Y = ABC

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