11 a bis lezione di laboratorio Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica.

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1 11 a bis lezione di laboratorio Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici a.a. 2007-2008

2 Esercizio 1 (Esame 04/09/2007) Sia dato il seguente problema del secondo ordine alle derivate parziali: 1)Si determini, motivando la risposta, a quale classe appartiene il problema proposto e si verifichi che la funzione è soluzione di tale problema.

3 Si consideri il problema ai valori iniziali ed al contorno ottenuto dal precedente aggiungendo le condizioni al bordo in modo che la soluzione del problema al punto 1, risolva anche questo problema. Quesito 2)

4 Quesito 3a) Si costruisca un file MATLAB: …… determini la soluzione approssimata fino al valore t = 2 utilizzando il metodo alle differenze finite con passi h1 = 0.05,h2 = 0.01 ed utilizzi, in corrispondenza, i valori massimi di k1, k2 idonei ad assicurare la convergenza nei due casi.

5 Quesito 3b) costruisca una tabella che riporti lintestazione: t sol1 err1 sol2 err2 con le quantità t, sol1, sol2, err1, err2 rappresentanti, rispettivamente i nodi t i comuni nei due casi e presi ogni 5, sol1 e sol2 sono le soluzioni approssimate in tali nodi, calcolate in x =1.5, err1 ed err2 sono gli errori assoluti corrispondenti a sol1 e sol2. Si utilizzino i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i nodi, 9 cifre decimali e formato esponenziale per le soluzioni approssimate, 2 cifre decimali e formato floating point per lerrore nei due metodi.

6 Quesiti 4) e 5) In una figura si riportino 3 finestre grafiche. Nella prima si rappresenti la soluzione vera, nella seconda si riporti la superficie rappresentante la soluzione approssimata ottenuta usando la partizione relativa a h1, k1, nella terza si rappresenti il corrispondente errore. Si corredino le figure di label, titolo e barra dei colori. Si commentino e si confrontino i risultati e si specifichi se essi soddisfano la aspettative teoriche.

7 Esercizio 1: istruzioni clear all; clc %Grafici uvera='t.^3+2*t.*x.^3+1'; %Input t0=0;tmax=2; x0=0;xN=3; h=[0.05 0.01]; v=1; k=h/v; M=round((tmax-t0)./k); r='6*t.*(1-2*x)'; f='1'; l='2*x.^3'; g1='t.^3+2*t.*x0.^3+1'; g2='t.^3+2*t.*xN.^3+1'; x_ind=1.5; ind_x=round((x_ind-x0)./h)+1;

8 Istruzioni % Implementazione del metodo [x1,t1,sol1]=PDE_iperboliche(t0,M(1),x0,xN,h(1),k(1),v,r,f,l,g1,g2); [x2,t2,sol2]=PDE_iperboliche(t0,M(2),x0,xN,h(2),k(2),v,r,f,l,g1,g2); %soluzione approssimata per x0=1.5; solx1=sol1(:,ind_x(1)); solx2=sol2(1:5:end,ind_x(2)); % Confronto con la soluzione vera in x=1.5; t=t1;x=x_ind;Uvera=eval(uvera); errx1=abs(Uvera-solx1); errx2=abs(Uvera-solx2); % Tabella tab=[t1 solx1 errx1 solx2 errx2 ];tab5=tab(1:5:end,:); fprintf(' t \t\t sol1 \t\t err1 \t\t sol2 \t\t\t err2\n') fprintf('%7.3f %18.8e %12.2e %18.8e %12.2e \n',tab5')

9 Istruzioni % Rappresentazione delle superfici vera, approssimata, % errore [x,t]=meshgrid(x1,t1); Uvera=eval(uvera); err1=abs(Uvera-sol1); figure(1) subplot(221),surf(x,t,Uvera),colorbar xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('sol-vera') title('Soluzione vera') subplot(222),surf(x,t,sol1),colorbar xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('sol-appr1') title('Sol-appr.') subplot(223),surf(x,t,err1),colorbar xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('err1'),title('Errore1')

10 Risultati t sol1 err1 sol2 err2 0.000 1.00000000e+000 0.00e+000 1.00000000e+000 0.00e+000 0.250 2.70250000e+000 6.25e-004 2.70310000e+000 2.50e-005 0.500 4.49875000e+000 1.25e-003 4.49995000e+000 5.00e-005 0.750 6.48250000e+000 1.87e-003 6.48430000e+000 7.50e-005 1.000 8.74750000e+000 2.50e-003 8.74990000e+000 1.00e-004 1.250 1.13875000e+001 3.13e-003 1.13905000e+001 1.25e-004 1.500 1.44962500e+001 3.75e-003 1.44998500e+001 1.50e-004 1.750 1.81687500e+001 3.13e-003 1.81717500e+001 1.25e-004 2.000 2.24975000e+001 2.50e-003 2.24999000e+001 1.00e-004 t sol1 err1 sol2 err2 0.000 1.00000000e+000 0.00e+000 1.00000000e+000 0.00e+000 0.250 2.70250000e+000 6.25e-004 2.70310000e+000 2.50e-005 0.500 4.49875000e+000 1.25e-003 4.49995000e+000 5.00e-005 0.750 6.48250000e+000 1.87e-003 6.48430000e+000 7.50e-005 1.000 8.74750000e+000 2.50e-003 8.74990000e+000 1.00e-004 1.250 1.13875000e+001 3.13e-003 1.13905000e+001 1.25e-004 1.500 1.44962500e+001 3.75e-003 1.44998500e+001 1.50e-004 1.750 1.81687500e+001 3.13e-003 1.81717500e+001 1.25e-004 2.000 2.24975000e+001 2.50e-003 2.24999000e+001 1.00e-004

11 Rappresentazioni grafiche

12 Esercizio 2 (Esame 19/12/2005 ) Si consideri il problema alle derivate parziali: 1)Si verifichi che la funzione che risolve il problema dato, è anche soluzione del problema associato di Cauchy con condizioni sullasse reale.

13 Quesiti 2), 3) e 4) 2) Si utilizzi il metodo alle differenze finite per determinare la soluzione nellinsieme considerando il passo spaziale h = 0.5 e quello temporale k uguale al valore massimo per cui il metodo converge. 3) Si calcoli lerrore nei nodi al livello j = 10 e si dica, motivando la risposta, se esso è conforme alle aspettative teoriche legate al metodo. 4) Si rappresenti la soluzione vera, la soluzione approssimata e lerrore nellinsieme D.

14 Esercizio 2: istruzioni clear all;clc t0=0; tM=4;x0=0; xN=2; h=1/2;v=3;k=h/v; M=round((tM-t0)/k); livello=10; f='3*x.^2'; l='1'; g1='27*t.^2+t'; g2='3/2*((2-3*t).^2+(2+3*t).^2)+t'; r='0'; %Calcolo della soluzione [x,t,sol]=PDE_iperboliche(t0,M,x0,xN,h,k,v,r,f,l,g1,g2); [X,T]=meshgrid(x,t); solvera='3/2*((X-3*T).^2+(X+3*T).^2)+T'; solvera=eval(solvera); err=abs(solvera-sol);

15 Istruzioni tab=[x,sol(livello+1,:)',err(livello+1,:)' ]; fprintf('%8.4f %20.12e %10.2e\n',tab') errmax=max(max(err)) figure(1) subplot(221),surf(X,T,solvera) xlabel('x'),ylabel('t'),title('sol. vera') subplot(222),surf(x,t,sol) xlabel('x'),ylabel('t'),title('sol. appross.') subplot(223),surf(x,t,err) xlabel('x'),ylabel('t'),title('errore')

16 Risultati x sol_10 err_10 0.0000 7.666666666667e+001 1.42e-014 0.5000 7.741666666667e+001 0.00e+000 1.0000 7.966666666667e+001 1.42e-014 1.5000 8.341666666667e+001 1.42e-014 2.0000 8.866666666667e+001 0.00e+000 errmax = 1.1369e-013

17 Grafici