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Algebra di Boole e Funzioni Binarie -- --. Algebra di Boole2 Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni.

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Presentazione sul tema: "Algebra di Boole e Funzioni Binarie -- --. Algebra di Boole2 Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni."— Transcript della presentazione:

1 Algebra di Boole e Funzioni Binarie -- --

2 Algebra di Boole2 Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Fine lezione

3 Algebra di Boole3 Variabili Binarie Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1. Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto.negazionesommaprodotto La negazione di una variabile binaria a si indica con a (non a o a negato) oppure con ( a o con ā )

4 Algebra di Boole4 Negazione Possiamo rappresentare il valore di x tramite tabella di verità: xx Modi equivalenti per negare una variabile X

5 Algebra di Boole5 Somma logica La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1in) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso. x1x1 x2x2 x 1 + x esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

6 Algebra di Boole6 Prodotto logico Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1 i n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso x1x1 x2x2 x 1. x esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

7 Algebra di Boole7 Relazioni e proprietà SommaProdotto x + 1 = 1x · 0 = 0 x + 0 = xx · 1 = x x 1 + x 2 = x 2 + x 1 x 1 · x 2 = x 2 · x 1 x 1 + x 2 + x3 = (x 1 + x 2 ) + x3x 1 · x 2 · x3= (x 1 · x 2 ) · x3 x 1 · x 2 + x 1 · x 3 = x 1 · (x 2 + x3)(x 1 + x 2 ) · (x 1 + x3) = x 1 + x2 · x3 Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella

8 Algebra di Boole8 Relazioni e proprietà Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà: Negazione 0 = 0 1 = 1 x = x x + x = 1 x · x = 0 x x due volte negato

9 Algebra di Boole9 Funzioni Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2 n configurazioni diverse. Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (2 2 ) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11. Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 2 3 =8 configurazioni diverse che sono: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

10 Algebra di Boole10 Funzioni Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive: y = F (x1, x2, … xn) quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).

11 Algebra di Boole11 Funzioni Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,…xn) che si possono costruire sono pari a Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a

12 Algebra di Boole12 Funzioni Una funzione può essere rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2 n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y. Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarie Cliccare sullimmagine

13 Algebra di Boole13 Funzioni Cliccare sullimmagine Una tabella delle 256 funzioni a 3 variabili

14 Algebra di Boole14 Minterm Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x 1 x 2 x 3 = 011 indica tra le 2 3 =8 configurazioni possibili, quella in cui x 1 vale 0, x 2 vale 1 e x 3 vale 1. Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x 1 x 2 x 3 ( questo e un minterm) Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1fig.1 Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni: x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm

15 Algebra di Boole15 Minterm Conoscendo la tabella di verità fi una funzione, la espressione algebrica potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Nel caso della funzione in Fig 1 scriveremo y = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.

16 Algebra di Boole16 Minterm Ad esempio data la funzione di 3 variabili F(x,y,z) = xyz + xyz + xyz la sua tabella di verità sarà: xy zF(x,y,z) xyz

17 Algebra di Boole17 Teoremi TEOREMI DirettoVersione Duale Idempotenza x + x + x x = xx · x · x · --- ·x = x Assorbimento x + xy = xx · (x +y) = x x + xy = x + yx · (x + y) = x · y xy +yz + xz = xy + xz(x +y)·(y+z)·(x+z) = (x+y) · (x+z) De Morgan(x+y) = x · y(x · y) = x + y

18 Algebra di Boole18 Maxtem Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo:fig.1 y = (x1+x2+x3) · (x1+x2+x3) · (x1+x2+x3) · · (x1+x2+x3) · (x1+x2+x3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).

19 Algebra di Boole19 Maxtem Lespressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione; ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione; ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.

20 Algebra di Boole20 Forma Canonica Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di: –somme di prodotti (minterm) –prodotti di somme (maxterm) si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.

21 Algebra di Boole21 MACCHINA DEL CAFFE/Te ESEMPIO : Costruire un circuito logico che simuli una macchina che fornisce (previo inserimento di una moneta) caffè o tè. Se selezioniamo il pulsante del caffè la macchina dovrà fornire il caffè. Se selezioniamo il pulsante del tè la macchina dovrà fornire il tè. Se selezioniamo entrambi i pulsanti (del Tè e del caffè) la macchina dovrà fornire Tè.

22 Algebra di Boole22 Costruiamo la tabella di verità della macchina SCT Uscita-TèUscita-caffè

23 Algebra di Boole23 Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna U C = Uscita-caffè Ricordare DE-MORGAN

24 Algebra di Boole24 Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna UT= Uscita-Tè

25 Algebra di Boole25 E ORA IL CIRCUITO Grazie a queste relazioni possiamo ottenere il circuito logico richiesto:

26 Prossima Lezione: ARCHITETTURA DEGLI ELABORATORI Arrivederci!


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