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PROBLEMI RISOLUBILI E COMPUTABILITÀ Secondo la Tesi di Church-Turing, non esiste un formalismo più potente della Macchina di Turing, ossia capace di risolvere.

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1 PROBLEMI RISOLUBILI E COMPUTABILITÀ Secondo la Tesi di Church-Turing, non esiste un formalismo più potente della Macchina di Turing, ossia capace di risolvere una classe più ampia di problemi. Dunque...

2 PROBLEMI RISOLUBILI E COMPUTABILITÀ se neanche la macchina di Turing riesce a risolvere un problema, quel problema non è risolubile! Secondo la Tesi di Church-Turing, non esiste un formalismo più potente della Macchina di Turing, ossia capace di risolvere una classe più ampia di problemi. Dunque...

3 QUALCHE DEFINIZIONE PROBLEMA RISOLUBILE Un problema la cui soluzione può essere espressa da una Macchina di Turing o formalismo equivalente.

4 QUALCHE DEFINIZIONE PROBLEMA RISOLUBILE Un problema la cui soluzione può essere espressa da una Macchina di Turing o formalismo equivalente. La macchina di Turing calcola funzioni, quindi occorre un modo (semplice) per associare a un problema una funzione.

5 QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Dato un problema P, linsieme X dei suoi dati di ingresso, linsieme Y delle risposte corrette, si dice funzione caratteristica del proble- ma P la funzione: f P : X Y che associa a ogni dato dingresso la corri- spondente risposta corretta.

6 QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Perché questo artificio? Perché grazie a questa funzione, decidere se un problema è risolubile equivale a chiedersi se la funzione f P è computabile

7 QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Perché questo artificio? Perché grazie a questa funzione, decidere se un problema è risolubile equivale a chiedersi se la funzione f P è computabile Dora in poi parleremo quindi solo di funzioni computabili, sapendo che ciò equivale a parlare di problemi risolubili.

8 QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE COMPUTABILE Una funzione f: A B per la quale esiste una Macchina di Turing che –data sul nastro una rappresentazione di x A dopo un numero finito di passi –produce sul nastro una rappresentazione del risultato f(x) B

9 QUALCHE DEFINIZIONE Attenzione Nel seguito considereremo solo funzioni f: N N questo non è limitativo perché –ogni informazione è necessariamente finita, –quindi può essere codificata in una collezione di numeri naturali –la quale collezione può essere a sua volta espressa con un unico numero naturale mediante il procedimento di Gödel.

10 IL PROCEDIMENTO DI GÖDEL Data una collezione di numeri naturali, esprimerla con un unico numero naturale. Procedimento: Siano N 1, N 2, … N k i numeri naturali dati e siano P 1, P 2, … P k i primi k numeri primi Il nuovo numero R definito come R ::= P 1 N1 · P 2 N2 · … · P k Nk rappresenta univocamente la collezione N 1, … N k grazie allunicità della scomposi- zione in fattori primi.

11 COMPUTABILITÀ È noto dallanalisi matematica che linsieme F = { f: N N } non è enumerabile (cardinalità del continuo)

12 COMPUTABILITÀ È noto dallanalisi matematica che linsieme F = { f: N N } non è enumerabile (cardinalità del continuo) Invece, linsieme delle Macchine di Turing (e quindi delle funzioni computa- bili) è enumerabile. Infatti, poiché il numero di simboli di ingresso, di uscita e di stati di una TM è finito, ogni Macchina di Turing può essere associata a un numero naturale con il procedimento di Gödel.

13 COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: la maggioranza delle funzioni NON può essere calcolata!!!

14 COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire

15 COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio…

16 COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio….. e quindi un alfabeto…

17 COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio….. e quindi un alfabeto…..che è fatto di un numero finito di simboli!

18 COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi- nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile!

19 COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi- nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile! Ergo, potremmo sperare che almeno queste si potessero calcolare tutte…

20 COMPUTABILITÀ Ergo, potremmo sperare che almeno queste si potessero calcolare tutte… … E INVECE NO!! CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi- nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile!

21 FUNZIONI NON COMPUTABILI È facile dimostrare che esistono funzioni definibili ma non computabili e, quindi, problemi non risolubili.

22 FUNZIONI NON COMPUTABILI È facile dimostrare che esistono funzioni definibili ma non computabili e, quindi, problemi non risolubili. ESEMPIO: Problema dell halt della macchina di Turing. Dire se una data macchina di Turing T, con un generico ingresso X, si ferma oppure no.

23 FUNZIONI NON COMPUTABILI Questo problema è perfettamente definito, ma non è computabile (nel caso generale).

24 FUNZIONI NON COMPUTABILI Questo problema è perfettamente definito, ma non è computabile (nel caso generale). Dimostrazione Sia M linsieme di tutte le Macchine di Turing e X linsieme di tutti i possibili ingressi. Sia poi: – x Xun generico dato di ingresso –m Muna generica Macchina di Turing.

25 FUNZIONI NON COMPUTABILI La funzione caratteristica f H di questo problema può essere così definita: f H (m,x) = 1, se m con ingresso x si ferma 0, se m con ingresso x non si ferma

26 FUNZIONI NON COMPUTABILI La funzione caratteristica f H di questo problema può essere così definita: f H (m,x) = 1, se m con ingresso x si ferma 0, se m con ingresso x non si ferma Dimostreremo che questa funzione è definita ma non computabile, in quanto tentare di calcolarla conduce a un assurdo.

27 FUNZIONI NON COMPUTABILI Se f H è computabile, deve esistere una Macchina di Turing TF capace di calcolarla.

28 FUNZIONI NON COMPUTABILI Se f H è computabile, deve esistere una Macchina di Turing TF capace di calcolarla. Definiamo allora una nuova funzione g H come segue: dove n è il numero naturale che rappresenta una data Macchina di Turing (procedimento di Gödel). g H (n) = 1, se f H (n,n) = 0, se f H (n,n) = 1

29 FUNZIONI NON COMPUTABILI In pratica, con un dato ingresso n: g si ferma e risponde 1 quando f non si ferma g non si ferma e entra in un ciclo infinito quando invece f si ferma. g H (n) = 1, se f H (n,n) = 0, se f H (n,n) = 1

30 FUNZIONI NON COMPUTABILI Come caso particolare, sia ora n = n g, ossia prendiamo come ingresso proprio quel particolare numero che rappresenta la Macchina di Turing TG che calcola g H.

31 FUNZIONI NON COMPUTABILI Come caso particolare, sia ora n = n g, ossia prendiamo come ingresso proprio quel particolare numero che rappresenta la Macchina di Turing TG che calcola g H. Questo significa dare come ingresso a TG, come caso particolare, la sua stessa descrizione.

32 FUNZIONI NON COMPUTABILI Sostituendo si ottiene: che è assurdo, in quanto afferma che: se g vale 1 (e quindi TG si ferma), f vale 0 (e quindi TG non si ferma) se invece g è indefinita (cioè TG non si ferma), f vale 1 (perciò TG si ferma). g H (n g ) = 1, se f H (n g, n g ) = 0, se f H (n g, n g ) = 1

33 FUNZIONI NON COMPUTABILI Conclusione: il problema di decidere se una data Macchina di Turing T, con un generico ingresso X, si ferma oppure no non è computabile: È UN PROBLEMA INDECIDIBILE.


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