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(Laboratorio di ) Sistemi Informatici Avanzati Giuseppe Manco.

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Presentazione sul tema: "(Laboratorio di ) Sistemi Informatici Avanzati Giuseppe Manco."— Transcript della presentazione:

1 (Laboratorio di ) Sistemi Informatici Avanzati Giuseppe Manco

2 MODELLI MATEMATICI

3 Qualè il modo più semplice di generare un grafo? Erdos-Renyi Random Graph model [Erdos- Renyi, 60] Due varianti: G n,p – Grafo con n nodi, in cui un arco (u,v) appare con probabilità p G n,m – Grafo con n nodi, con m archi scelti in maniera random uniforme

4 p=1/6 N=12

5 p=0.03 N=100

6 N=10 p=1/6 Modello

7 Grafo random Probabilità di G n,p : – BERNOULLI Che tipo di grafo produce un simile processo Bernoulliano?

8 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

9 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

10 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

11 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

12 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

13 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

14 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

15 Distribuzione Binomiale/Poisson Probabilità che ci siano esattamente m archi

16 Dalla Binomiale a Poisson… Probabilità di avere m successi Valore medio Varianza

17 Dalla Binomiale a Poisson Probabilità di avere m successi Se M è grande…

18 Dalla Binomiale a Poisson Mettendo tutto assieme Mp è la media Distribuzione di Poisson

19 Grafo Random La degree distribution è binomiale (Poissoniana)

20 Allingrandirsi della rete, la distribuzione si restringe – si schiaccia sul valore di. K nodi dei possibili N-1 Probabilità di avere k archi Probabilità che N-1-k archi siano assenti Degree distribution

21 P(k) k Network Science: Random Graphs 2012

22 Risultato esatto -binomial distribution- N grande -Poisson distribution- Probability Distribution Function (PDF)

23 Nel continuo: Una rete con grado medio ha probabilità che un nodo ecceda k 0 : Ad esempio, con =10, La probabilità che un nodo abbia grado almeno 20 è La probabilità che un nodo abbia grado almeno 100 è × La probabilità che un nodo abbia grado inferiore a un decimo è La probabilità di vedere un nodo con degree molto alto o molto basso è esponenzialmente bassa La maggior parte dei nodi ha grado comparabile Quanto più la rete è ampia, tanto più i gradi sono comparabili Del discreto: I nodi hanno gradi comparabili nelle reti random

24 Random networks, social networks Sulla base di una ricerca sociologica, k ~1,000 La probabilità di trovare un individuo con k> 2,000 è – Una società random consisterebbe essenzialmente di persone con lo stesso numero di amici – No outliers

25 Evoluzione in un grafo random

26 Nodi disconnessi NETWORK. Come avviene la transizione?

27 Transizione di fase Denotiamo con u=1-N g /N, la frazione di nodi che non siano parte di una componente gigante N g Un nodo i fa parte della GC connettendosi ad un altro nodo j –La non appartenenza può avvenire per due motivi i non si connette a j (prob 1-p) i è connesso a j, ma j non fa parte di GC (prob pu) –In totale, la probabilità è 1-p +pu Poiché i può collegarsi a N-1 nodi, Size di GC

28 evoluzione Sostituendo p= /(N-1) e con manipolazioni algebriche otteniamo Esponenziando Denotando con S la frazione di nodi in GC (S=Ng/N)

29 (a)(b) Punto di transizione: Con S=0, otteniamo =1

30 Size di GC = 0.99 = 1.18 = 3.96 Quanti nodi devono essere aggiunti per vedere GC? Quando = 1, la componente compare Conclusione

31 Coefficiente di clustering Poiché gli archi sono indipendenti e hanno probabilità p Il coefficiente di clustering è basso nei grafi random

32 Small world Topologia tree-like – Neighbors al livello 1: – Neighbors al livello 2: 2 – … – Neighbord al livello d: d

33 N L (Sorgente: : The structure and function of complex networks, M. E. J. Newman, SIAM Review 45, (2003),

34 Riassumendo Il grafo random può essere esprime le seguenti caratteristiche – Path medio – Clustering coefficient – Degree distribution Come sono i grafi reali?

35 Predizione:Dati reali: Path medio

36 Predizione: Dati reali: Clustering coefficient

37 Predizione: Dati reali: (a)Internet; (b) Movie Actors; (c)Coauthorship, high energy physics; (d) Coauthorship, neuroscience Degree distribution

38 Source: Watts, D.J., Strogatz, S.H.(1998) Collective dynamics of 'small-world' networks. Nature 393: Watts-Strogatz model Riconcilia due osservazioni – High clustering Gli amici dei miei amici sono miei amici – Cammino geodesico medio corto

39 Watts-Strogatz model Base di partenza: il reticolo – Ogni coppia di vertici separata da un cammino di dimensione al più k

40 Selezioniamo una frazione p di archi dal reticolo e Riposizioniamo i vertici Aggiungiamo I vertici in Maniera random Watts-Strogatz model Source: Watts, D.J., Strogatz, S.H.(1998) Collective dynamics of 'small-world' networks. Nature 393:

41 Watts-Strogatz model p=0 –Reticolo p=1 –Grafo random < p< 0.01 –Transitività alta –Cammino medio corto

42

43 Kleinberg, Navigation in a small World, Nature, 2000 Geographic Models I nodi sono posizionati in un reticolo e connessi ai suoi vicini più vicini Connessioni aggiuntive in accordo alla legge

44 Con r=0, i links sono distribuiti in maniera random Con r<2, il cammino medio è ~N (2-r)/3

45 Con r>2 il cammino medio è ~ N (r-2)/(r-1)

46 Con r=2, il cammino è ~ (log N) 2

47 Degree-distribution Niente power-law

48 Le reti reali

49

50 Random vs Scale-free Power-law distribution Binomial distribution

51 Preferential attachment Introdotto in [Price 65] per le reti di citazioni – Ogni nuovo articolo è generato con m citazioni in media – I nuovi articoli citano I vecchi con probabilità proporzionale al loro in- degree (numero di citazioni che già hanno) Ogni articolo ha un numero default di citazioni La probabilità di citare un articolo con grado k è proporzionale a k+1 I ricchi diventano sempre più ricchi Power law con esponente α = 2+1/m – Probabilità di collegarsi al nodo i-esimo

52 Barabasi-Albert model Modello semplice – Si considera un insieme iniziale di m 0 nodi connessi Es. m 0 = 3 – Aggiungi i nodi uno alla volta, con m archi ognuno – Ogni nuovo arco si connette ad un nodo esistente in proporzione al unmero di archi che quel nodo ha già preferential attachment …. Source: Barabási & Albert, Science 286, 509 (1999)

53 Barabasi-Albert model Ogni nodo ha lo stesso numero di archi(2) –Probabilità 1/3 Un nuovo nodo con m=2 –Peschiamo random due nodi, es. 2 e 3 Probabilità di selezione per 1,2,3,e 4 diventano 1/5, 3/10, 3/10, 1/5 Aggiungi un nuovo nodo, connettilo in maniera analoga –etc

54 Proprietà La distribuzione è power law con esponente = 3 Il grafo è connesso –Ogni nodo nasce con un link (m= 1) o con molti link (m > 1) –Si connette ai vertici più vecchi, che sono parte della componente gigante I vecchi sono più ricchi –I nodi accumulano links

55 Cammino Medio nei modelli PA Nei primi due casi, ci sono grandi hubs per cui ogni nodo è connesso a tutti gli altri tramite questi hub con un cammino lungo circa due Negli ultimi due casi il cammino medio ha valori simili a quelli di un grafo random Riferimenti –Cohen, Havlin Phys. Rev. Lett. 90, 58701(2003); Cohen, Havlin and ben-Avraham, in Handbook of Graphs and Networks, Eds. Bornholdt and Shuster (Willy-VCH, NY, 2002) Chap. 4; Confirmed also by: Dorogovtsev et al (2002), Chung and Lu (2002); (Bollobas, Riordan, 2002; Bollobas, 1985; Newman, 2001

56 Andamento simile al grafo random BA Model e Clustering Coefficient

57 Preferential attachment nel mondo reale 4 reti sociali osservate in un arco temporale ReteTempoNL Flickr (F)621584,2073,554,130 Delicious (D)292203,234430,707 Answers (A)121598,3141,834,217 LinkedIn (L)12947,550,95530,682,028

58 Preferential networks Reteτ Flickr (F)1 Delicious (D)1 Answers (A)0.9 LinkedIn (L)0.6 PA1 G n,p 0

59 Conseguenze: resilience Le reti reali sono resistenti ad attacchi random – Andrebbero rimosse tutte le pagine di grado > 5 per disconnettere il web – Una piccola percentuale Le reti random resistono meglio ad attacchi mirati

60 Conseguenze: Web Search Poiché il Web è scale-free (e non random) gli outliers (pagine ad alto grado) sono comuni – Il ranking basato sulla struttura funziona bene: PageRank Hubs, Authorities

61 Sommario Modello CP(k) Random Watts-Strogatz BA Exponential


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