La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

+ Una metafisica alla prova: la teoria dei tropi applicata alla teoria degli insiemi Tesi di laurea di Costanza Brevini SELP Seminario di logica permanente.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "+ Una metafisica alla prova: la teoria dei tropi applicata alla teoria degli insiemi Tesi di laurea di Costanza Brevini SELP Seminario di logica permanente."— Transcript della presentazione:

1 + Una metafisica alla prova: la teoria dei tropi applicata alla teoria degli insiemi Tesi di laurea di Costanza Brevini SELP Seminario di logica permanente 30 settembre 2011 Università degli Studi di Milano

2 + Alcune questioni preliminari Qualunque indagine sul mondo che pretenda di essere coerente, dalletica alla sociologia, dalla matematica allarte, si trova necessariamente ad assumere un iniziale impegno ontologico relativo ai tipi di enti che sceglie di assegnare agli individui coinvolti nella teoria.

3 + Questioni preliminari alle questioni preliminari Lontologia è quella parte della filosofia che isola gli elementi ultimi dellessere. Ciò non significa semplicemente risalire nella classificazione di tutto ciò che cè fino a raggiungere gli enti non ulteriormente divisibili. Vuol dire anche assicurarsi che questi individui, oltre a essere ultimi, siano in grado di descrivere esaustivamente lintera pluralità dellessere. Definiamo invece metafisica la disciplina che classifica gli enti ultimi, assegnando ciascuno a uno dei tipi ammessi da ogni diversa teoria.

4 + Ancora questioni preliminari Il sistema metafisico platonico-aristotelico ha permeato a lungo tutti i campi del sapere, con maggiore o minore consapevolezza da parte degli scienziati. Segue che necessariamente molti degli strumenti e dei paradigmi culturali e sociali di cui ci serviamo si fondano su questo modello metafisico. Lanalisi filosofica del secolo scorso ha però rivelato i limiti del sistema metafisico tradizionale e proposto modelli più coerenti e completi.

5 + Nuove prospettive per la metafisica Nel corso del Novecento lindagine filosofica ha evidenziato i limiti della metafisica platonico-aristotelica. Attraverso i tentativi di superamento di questi limiti e spinti dalla ricerca di una risposta al problema dei fondamenti posto dalla matematica, alle domande che provenivano dagli studi di filosofia analitica circa i fondamenti dellessere, alle questioni relative la validità del linguaggio e, conseguentemente, della logica, i filosofi hanno formulato nuovi sistemi metafisici.

6 + Domanda: Cosa dire della traduzione dei paradigmi e strumenti formulati in una metafisica platonico-aristotelica? È coerente abitare in un mondo popolato da enti creati fondamentalmente basandosi sullidea di una sostanza materiale informata da proprietà che esemplificano enti universali, rifiutando però questa metafisica e adottandone unaltra?

7 + Ipotesi di risposta: Provo a superare la valutazione formale e squisitamente filosofica delle nuove teorie metafisiche, per provare la loro efficacia nel ruolo di supporto ontologico e nel sostegno di quei metodi conoscitivi di cui tradizionalmente si servono il filosofo e lo scienziato.

8 + Cè sempre un ma… Per quanto una metafisica possa esporsi a limiti e contraddizioni, è evidente che se essa si rivelasse lunica metafisica che permette di avvalersi dei nostri modelli matematici e scientifici, allora difetti e incoerenza si rivelerebbero niente più che un male necessario allo scopo di continuare a usufruire degli strumenti e dei paradigmi di cui fino ad oggi si è servita limpresa conoscitiva.

9 + In questo lavoro ho scelto di mettere alla prova la teoria dei tropi e verificare se sia coerente con lutilizzo di uno strumento matematico, ma soprattutto concettuale, che vanta grande applicabilità e impatto: la teoria degli insiemi. La mia tesi

10 + Perché tropi e perché insiemi Le ragioni che rendono la teoria degli insiemi la più adatta, tra tutte le teorie matematiche, sono diverse. Innanzitutto, benché vi siano a oggi punti non cristallini, la teoria può godere di una generale solidità. Inoltre, la teoria degli insiemi è un modello che ha saputo rappresentare buona parte dei concetti della matematica e che senza dubbio offre una base di partenza privilegiata per lanalisi della matematica in generale. Se si riuscisse quindi a dimostrare che la teoria degli insiemi è compatibile con unontologia dei tropi, si potrebbe ampliare il risultato a tutta la matematica.

11 + Cosè la teoria dei tropi? La teoria dei tropi è un tipo di metafisica proposta sia per gli enti materiali, sia per la realtà in generale. Tra i principali filosofi che si occuparono di questo tipo di metafisica, il più famoso e influente fu certamente Donald Cary Williams, professore e direttore del dipartimento di Filosofia di Harvard. Egli sostenne che lintera struttura del mondo consiste esclusivamente ed esaustivamente di tropi.

12 + Tropi astratti… Un filosofo dei tropi costruisce la propria teoria basandosi sui concetti di astrattezza e di particolarità. Con «astrattezza» si intende la caratteristica di un ente che si trova a essere ontologicamente dipendente dal concreto in senso fisico, ma indipendente in senso concettuale. Un tropo dunque è un oggetto assolutamente astratto, la cui esistenza può dipendere in qualche modo da un oggetto concreto.

13 + …e tropi particolari. Con «particolarità» invece ci si riferisce a entità di qualsiasi tipo in possesso della caratteristica di essere ancorate a un solo oggetto concreto. Un tropo è un ente particolare perché è legato a un solo ente concreto attraverso una relazione di inerenza. Questa relazione di inerenza sussiste anche tra il tropo e tutti gli oggetti concreti che a loro volta contengono loggetto con il quale il tropo è in relazione di inerenza.

14 + Tropi o particolari astratti (a) Un tropo è listanza di una proprietà o di una relazione. Un oggetto concreto nasce quindi quando un certo numero di tropi o particolari astratti vanno a comporre un fascio e a condividere una porzione determinata di spazio-tempo. Il processo è messo in atto grazie alla relazione di compresenza. Questa relazione permette lindividuazione di un oggetto concreto, in quanto fascio dei tropi compresenti che determinano le qualità e le relazioni di cui è in possesso loggetto concreto.

15 + Accanto alla relazione di compresenza, si trova la relazione di somiglianza. Una qualsiasi coppia di tropi, logicamente, intreccia o non intreccia una relazione di somiglianza. Le relazioni di somiglianza possono essere di diversi tipi, in quanto necessariamente con «somiglianza» si intende «gradi di somiglianza», da più a meno perfetta. Le relazioni di somiglianza compongono fasci di tropi che corrispondono agli universali della tradizione. Tropi o particolari astratti (b)

16 + Un mondo di tropi Un mondo di tropi risulta popolato da particolari concreti, i cui costituenti sono di tipo particolare astratto: la rosa del mio giardino è un particolare concreto, mentre il suo colore è un particolare astratto. Questo particolare astratto concorre alla costituzione delloggetto concreto «rosa del mio giardino», insieme agli altri particolari astratti con cui è in relazione di compresenza. Inoltre, insieme alla totalità dei tropi che sono in una relazione di somiglianza col tropo del colore della rosa del mio giardino, il particolare astratto forma luniversale astratto, mentre la totalità degli oggetti concreti «rosa» va a formare luniversale concreto corrispondente alla rosa.

17 + Semplice, semplice, semplice Williams e i successivi teorici dei tropi arricchiscono la teoria dei tropi con una triplice richiesta di semplicità. Infatti, i tropi sono: strutturalmente semplici categorialmente semplici qualitativamente semplici

18 + Tirando le somme sui tropi La teoria dei tropi tratta ogni oggetto, evento, stato di cose come un fascio di tropi compresenti. Lutilizzo di unontologia a una sola categoria permette comunque di fornire un interessante descrizione del fenomeno metafisicamente complesso del divenire. Inoltre, la teoria dei tropi fornisce una trattazione delle entità tradizionalmente universali senza presupporre lesistenza di sostanze diverse.

19 + Tropi per gli enti matematici La teoria dei tropi è in primis unontologia per gli enti concreti, e in secundis unontologia generale. Comè possibile utilizzarla per gli enti matematici? Ecco alcune proposte.

20 + Cosa intendo con enti matematici Innanzitutto, gli enti matematici sono le entità di cui si occupa la matematica, ovvero oggetti numerici, geometrici, e proprietà e rapporti tra questi due tipi di enti. Se infatti gli enti numerici e quelli geometrici sono per così dire i «mattoncini» della matematica, teoremi, assiomi e dimostrazioni sono la vera e propria essenza del sapere matematico.

21 + Differenze tra enti numerici ed enti geometrici Un numero è una proprietà astratta, associata a un gruppo di oggetti determinato e numerabile con la quale il numero intrattiene una relazione di corrispondenza biunivoca. Gli enti geometrici invece possono essere sia astratti sia concreti. Un oggetto triangolare è un ente geometrico concreto, mentre lente che perfettamente soddisfa i requisiti perché vi si possa dimostrare il teorema di Pitagora è un ente astratto.

22 + Enti geometrici come tropi Circolarità e triangolarità sono universali astratti, in quanto proprietà possedute da più particolari concreti. Un oggetto triangolare o circolare è un particolare concreto, un semplice oggetto che annovera, tra i tropi che lo compongono, il tropo della triangolarità. Un cerchio o un triangolo sono particolari astratti, cioè tropi. Essi sono una proprietà semplice e solo in quanto tali vengono considerati.

23 + Come fare con gli enti numerici? Nonostante i teorici dei tropi non abbiano a oggi fornito una trattazione ufficiale per gli enti numerici, la spiegazione degli enti geometrici fornita da Williams può essere applicata agli enti numerici con lievi modifiche.

24 + Ente numerico universale astratto Corrisponde alluniversale e si riferisce alla proprietà comune a più enti di essere composti da diverse parti o avere aspetti con caratteristiche numerabili. Intendendo con unicità la proprietà condivisa dagli elementi che sono in numero di uno, si isola la proprietà di avere un unico elemento o un unico aspetto di un certo tipo.

25 + Ente numerico particolare concreto Corrisponde alloggetto concreto o a quantità numerabili di oggetti concreti. In conseguenza allesistenza di un universale astratto per la numerazione, esistono oggetti concreti che possiedono quei tropi che vanno a costituire luniversale corrispondente. Così come a ogni oggetto concreto corrisponde una forma, a ogni tropo appartenente a un oggetto concreto corrisponde anche una proprietà numerica.

26 + Ente numerico particolare astratto Corrisponde allente numerico astratto e manipolato dalla matematica. Esso è un semplice tropo, cioè un particolare astratto. Infatti, lente numerico è particolare perché è levenienza di un simbolo. Inoltre, è astratto perché non occupa regioni di spazio-tempo, non ha forma ed è frutto della creazione di un sistema formale da parte delluomo.

27 + Proprietà e relazioni degli enti matematici «Il concetto di numero è solo ciò che è comune a tutti i numeri, la forma generale del numero. Il concetto di numero è il numero variabile. E il concetto deguaglianza numerica è la forma generale di tutte le eguaglianze numeriche speciali.» Asserzione W ITTEGENSTEIN, L UDWIG, Tractatus Logico-philosophicus, Einaudi, Torino 1964.

28 + Proprietà e relazioni degli enti matematici Assegnare uno statuto ontologico al numero quindi è una questione che necessariamente riguarda il concetto di numero, cioè, nelle parole di Wittgenstein, una questione che riguarda ciò che è comune a tutti i numeri e che generalmente si può predicare di ognuno di essi.

29 + Numeri in serie Se si considera un ente numerico isolato e indipendentemente dalla serie di cui fa parte, allora questo numero è un tropo semplice, privo di proprietà o relazioni. Quando però si inserisce questo ente nel posto che occupa nella successione di numeri, esso intreccia immediatamente un certo numero di relazioni. I rapporti con gli altri numeri e con le operazioni algebriche definiscono le proprietà di un numero in quanto semplice membro della serie.

30 + Serie di numeri Possiamo definire ontologicamente la successione numerica N come il fascio costituito dai tropi corrispondenti ai particolari astratti ai quali ci riferiamo quando compiamo operazioni di tipo matematico o quando osserviamo le relazioni che intercorrono tra i numeri. Un numero infatti rende possibile l'operazione di contare solo se intreccia la relazione di successore con il numero che lo precede e la relazione di predecessore con il numero che lo segue.

31 + Tropi e insiemi, ma quali insiemi? Comè noto sono disponibili diverse versioni della teoria degli insiemi, a partire dalla teoria ingenua di Cantor. Siccome ciò che fa confluire queste diverse teorie matematiche sotto il nome di teoria degli insiemi è la fedeltà ai principi formulati da Cantor allatto di nascita di tale sistema e al dominio richiesto dalle teorie, ritengo sia sufficiente provare la conciliabilità di tali principi allinterno della teoria dei tropi, per verificare se la teoria possa essere utilizzata coerentemente con ladozione di una metafisica dei tropi.

32 + Cosè un insieme Per Cantor linsieme è la riunione di un tutto di oggetti che appartengono allintuizione o al pensiero. Zermelo definisce linsieme come quelloggetto astratto che possiede almeno un elemento e gli assegna il ruolo di elemento primitivo della teoria. Russell presuppone uninfinita quantità di oggetti individuali, a partire dai quali è possibile costruire gli insiemi. Weyl postula un dato numero di categorie fondamentali di enti in possesso di proprietà e relazioni primitive.

33 + Elementi come tropi La teoria dei tropi ammette lesistenza di infiniti enti astratti e particolari. A tali enti viene assegnato un tipo ontologico assolutamente conciliabile con quello assegnato dalla teoria degli insiemi agli elementi. Gli elementi infatti, oltre che infiniti e particolari, devono essere anche semplici, ovvero non ulteriormente scomponibili. Anche i tropi sono infiniti, particolari e non ulteriormente scomponibili. A prima vista quindi sembra accettabile assegnare agli elementi lo statuto ontologico dei tropi semplici.

34 + 1: principio di comprensione Data una qualunque proprietà, esiste sempre linsieme di tutti e soli gli oggetti che godono di quella proprietà. Per il principio di comprensione, un insieme esiste in corrispondenza a ogni agglomerato di elementi. Tale agglomerato si forma grazie a una condizione. Poiché ogni agglomerato di tropi, o meglio, ogni fascio di tropi, è un oggetto, si può ipotizzare che gli elementi-tropi, aggregandosi, formino un insieme.

35 + Anche qui cè un ma… La teoria degli insiemi afferma che gli elementi possono essere astratti o concreti, ma linsieme che essi formano è sempre un oggetto astratto. I tropi invece sono assolutamente ed esclusivamente oggetti astratti, ma sono in grado di costituire sia entità concrete, come gli oggetti materiali, sia entità astratte, come gli universali.

36 + 2: principio di estensionalità Se due insiemi contengono gli stessi elementi, allora sono lo stesso insieme. Non sono dunque rilevanti né lordine in cui si presentano gli elementi, né il modo attraverso cui gli elementi caratterizzano gli insiemi. Per la teoria dei tropi, un oggetto è determinato esclusivamente dai tropi che lo compongono, invariabilmente dallordine.

37 + Punti di accordo… Per la teoria dei tropi due oggetti distinti non possono essere costituiti dagli stessi tropi, ma un tropo può appartenere a due oggetti distinti. Per la teoria degli insiemi, due insiemi distinti non possono essere costituiti dagli stessi elementi, ma un elemento può appartenere a due insiemi distinti. Un elemento che appartiene a due insiemi è, ad esempio, come un tropo che appartiene al fascio astratto del suo universale e al fascio concreto delloggetto che costituisce.

38 +...e di disaccordo Per il principio di estensionalità, gli elementi determinano linsieme ma non lo caratterizzano. Sembra invece che i tropi caratterizzino loggetto concreto che costituiscono.

39 + 3: sostanzialità come individualità e assolutezza Il concetto di insieme può godere di proprietà ed è indipendente da ogni caratterizzazione e comprensione delluomo. Ciò significa che insiemi e elementi esistono, godono di determinate proprietà e intrecciano relazioni particolari indipendentemente dallattività del matematico o del filosofo.

40 + Individualità: Ogni insieme può godere di proprietà. Assegnare allinsieme lo statuto ontologico di oggetto astratto nel senso precisato, non solo permette allinsieme di godere di proprietà, ma lo determina come sostanzialmente costituito da esse.

41 + Assolutezza: Il concetto di insieme è indipendente dal linguaggio e da ogni caratterizzazione dellinsieme, delle sue proprietà e dei suoi elementi. La realtà si costituisce di tropi indipendentemente dallesistenza di esseri che pensino i tropi o che pensino la realtà in termini di tropi.

42 + Si può fare? Sembra di sì. La realtà che i teorici dei tropi propongono è costituita da individui ultimi, semplici e senza limitazioni quantitative. Tali elementi dellessere si aggregano e costituiscono entità diverse da essi stessi non problematicamente. Anzi, proprio da tale aggregazione si originano gli oggetti materiali e gli enti astratti che abitano il mondo.

43 + Ma linsieme vuoto? Tra gli assiomi formulati dalle teorie assiomatiche degli insiemi, è sempre annoverato lassioma dellinsieme vuoto. Linsieme vuoto è unico, non ha sottoinsiemi diversi da esso stesso ed è sempre presente come sottoinsieme in ogni qualunque altro insieme.

44 + I soliti sospetti Per quanto ormai tale insieme sia stato accettato dalla comunità matematica, esso desta ancora alcuni sospetti. Già intuitivamente risulta difficile capire come sia possibile costruire un insieme, cioè una collezione, senza contare elementi. Linsieme vuoto infatti, secondo i teorici degli insiemi, pur non avendo elementi, è assolutamente un insieme e non va dunque considerato come «nulla» o «non essere».

45 + Insieme… vuoto? Linsieme vuoto non rispetta le definizioni basilari del concetto di insieme. Nella formulazione di Cantor, linsieme è la riunione di un tutto di oggetti. Linsieme vuoto pretende di essere un tutto privo di oggetti. Zermelo definisce linsieme come quelloggetto astratto che possiede almeno un elemento. Linsieme vuoto però per definizione non ha elementi.

46 + Soluzioni Linsieme vuoto, nonostante le precedenti osservazioni e nonostante complichi orrendamente le cose dal punto di vista ontologico, è estremamente utile. Vi sono alcune soluzioni, ladozione di ciascuna delle quali deve essere ponderata alla luce della sua validità, della sua coerenza e delluso che si intende fare della teoria degli insiemi.

47 + Prima proposta Invalidare lassunzione dellinsieme vuoto, in quanto in contraddizione con la definizione di insieme, ed eliminare senza indugi tale entità dallassiomatizzazione.

48 + Pro: La teoria degli insiemi acquisterebbe coerenza e assegnarle unontologia si rivelerebbe forse un compito più semplice ed economico. Da un punto di vista ontologico infatti linsieme vuoto è assolutamente sospetto per lindefinitezza della sua natura, causata dalla peculiarità di essere un insieme ma non avere elementi. Uno degli assiomi del sistema, da una parte, definisce indubbiamente linsieme vuoto come appunto un insieme. Dallaltra parte, lassioma afferma che tale insieme non possiede elementi.

49 + Contra: La teoria degli insiemi perderebbe una delle sue più potenti armi di calcolo e molti risultati non potrebbero essere dimostrati. Inoltre, non sarebbe più possibile costruire alcuni insiemi finiti e non varrebbero più le rappresentazioni dei numeri naturali che prendono spunto proprio dallinsieme vuoto per generare la serie infinita dei numeri naturali.

50 + Seconda proposta Accettare lassioma dellinsieme vuoto come oggetto fittizio, senza che un qualche oggetto della teoria corrisponda allentità «insieme vuoto».

51 + Pro: Questa soluzione è piuttosto semplice dal punto di vista matematico, perché permette di ignorare il problema dellinsieme vuoto e continuare a servirsi di tutte le armi di calcolo che offre. Può quindi essere adottata da una ricerca sulla teoria degli insiemi che si disinteressi della sua componente ontologica.

52 + Contra: Affermare che linsieme vuoto non esiste e non ha significato, ma è un concetto utile e perciò viene introdotto, è espressione di confusione. Così argomentando infatti non si prende una vera posizione sullargomento. Sembra piuttosto che linsieme vuoto sia assunto ma non del tutto. Dal punto di vista dellanalisi ontologica, cedere a una simile ammissione parziale è una grave complicanza, in quanto comporta lassunzione di diversi modi di esistenza per gli enti, i quali quindi parteciperebbero allessere in gradazioni diverse.

53 + Terza proposta Linsieme vuoto si costituisce secondo i dettami del principio di comprensione, con lapplicazione di una condizione che non viene soddisfatta da nessun elemento, in quanto generalmente definisce caratteri impossibili per definizione.

54 + Pro: Le proprietà autocontraddittorie si possono pensare ma non si possono predicare di alcun ente. Simili proprietà sono ad esempio la proprietà «essere diverso da se stesso», oppure «essere un numero primo pari diverso da 2». Tali proprietà possono, in accordo con il principio di comprensione, generare insiemi. Ovviamente però non possono possedere elementi perché, per soddisfare la condizione definente linsieme, essi dovrebbero essere enti autocontraddittori.

55 + Contra: Le proprietà autocontraddittorie sono viste con molto sospetto dagli ontologi. Anche se potessero esistere, la loro introduzione sarebbe un ulteriore complicazione ontologica e dunque sconsigliabile nella prospettiva di una metafisica riduzionista.

56 + Oppure… Oppure si può provare a spiegare linsieme vuoto come la porzione di spazio-tempo svuotata dai principi logici. Ponendo condizioni in violazione dei principi logici, si può definire un insieme. Tale insieme però è vuoto, in quanto nessun elemento può soddisfare la condizione definente.

57 + Riformulare linsieme vuoto Questa proposta in corollario richiede una riformulazione dellassioma dellinsieme vuoto: Esiste un tipo di insieme la cui condizione definente è autocontraddittoria e perciò tale insieme non contiene elementi.

58 + Quarta (e ultima) proposta Attraverso lintroduzione dei mondi possibili, linsieme vuoto si costituisce secondo i dettami del principio di comprensione, con lapplicazione di una condizione possibile, ma non attuale.

59 + Pro: Attraverso lutilizzo di siffatta strategia, linsieme vuoto avrebbe caratteristiche ontologiche del tutto identiche a quelle degli insiemi con elementi. Sia il primo sia i secondi sarebbero definiti da una condizione, ma per un caso, ovvero lattualità o meno della condizione in questione, alcuni insiemi rimarrebbero vuoti.

60 + Contra: Ladozione di questa strategia complica non poco limpegno ontologico preso dalla teoria degli insiemi. Una possibile semplificazione è considerare i mondi possibili solo in funzione euristica, senza veramente impegnarsi sulla loro esistenza.

61 + In conclusione: Le prime due soluzioni non intervengono sullontologia dellinsieme vuoto, in quanto la prima lo nega mentre la seconda lo assume esclusivamente in quanto ente fittizio. La terza soluzione non convince, perché richiede il riferimento a proprietà sospette, oltre a generare un infinità di problemi solo per risolvere il problema dellinsieme vuoto. La quarta soluzione infine sembra realizzabile, per quanto preveda una complicazione ontologica e potrebbe portare a un indebolimento della teoria dei tropi.

62 + Osservazioni: Questa analisi ha evidenziato chiaramente che una metafisica che voglia candidarsi al ruolo di supporto ontologico per la teoria degli insiemi deve: prevedere una trattazione degli universali in senso concettualista o nominalista. ridurre lessere a entità di un solo tipo.

63 + Grazie dellattenzione.


Scaricare ppt "+ Una metafisica alla prova: la teoria dei tropi applicata alla teoria degli insiemi Tesi di laurea di Costanza Brevini SELP Seminario di logica permanente."

Presentazioni simili


Annunci Google