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PER ANDARE AVANTI FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE.

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Presentazione sul tema: "PER ANDARE AVANTI FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE."— Transcript della presentazione:

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3 PER ANDARE AVANTI FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE

4 Osserva i solidi geometrici disegnati Se consideriamo le loro facce alcuni solidi sono limitati da SUPERFICI PIANE sfera POLIEDRI alcuni da SUPERFICI PIANE e da SUPERFICI CURVE uno di essi da una sola SUPERFICIE CURVA : la sfera Circondiamo con una linea rossa tutti i solidi delimitati solamente da facce piane. Abbiamo formato linsieme dei POLIEDRI

5 I POLIEDRI Possiamo distinguere: Quelli che hanno una sola base di appoggio: le PIRAMIDI Quelli che hanno due basi di appoggio CONGRURENTI e PARALLELE Circondiamo con una linea rossa tutti i poliedri che hanno due basi congruenti e parallele. Abbiamo formato linsieme dei PRISMI

6 I PRISMI Abbiamo formato linsieme dei PARALLELEPIPEDI Circondiamo con una linea rossa tutti i prismi che hanno per basi dei parallelogrammi PARALLELEPIPEDI

7 SOLIDI GEOMETRICI POLIEDRI NON POLIEDRI PIRAMIDIPRISMI PARALLELEPIPEDI CUBO RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBERO

8 Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi.

9 I poligoni si dicono facce del poliedro; i loro lati si dicono spigoli del poliedro. i loro vertici si dicono vertici del poliedro; Si dice poliedro un solido delimitato da poligoni, situati su piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi. due facce con uno spigolo comune si dicono facce adiacenti.

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE / I POLIEDRI DEFINIZIONE Poliedro Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma Piramide La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. Laltezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema.

11 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 2.POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE DEFINIZIONE Poliedro regolare Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti DEFINIZIONE Solido di rotazione Si chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r

12 Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con: V il numero dei vertici F il numero delle facce S il numero degli spigoli Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione: R ELAZIONE DI E ULERO V + F S = 2 o anche V + F = S + 2 Relazione di Eulero per i poliedri

13 Quanti spigoli ha il poliedro a fianco? I vertici sono 12 e le facce 8. Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero: V + F = S = S + 2 Il numero degli spigoli è: S = = 18 Quanti spigoli ha un poliedro con 6 facce e 8 vertici? ……………………………. V + F = S + 2 S = V + F 2S = = 12 Il poliedro ha 12 spigoli

14 TRIANGOLARE Si chiama prisma un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base. QUADRANGOLARE PENTAGONALE

15 Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. QUADRATOTRIANGOLO EQUILATERO ESAGONO REGOLARE

16 Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.

17 Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare. Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. P

18 Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE faccia laterale

19 Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dellaltezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE

20 Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dellaltezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………………….. 6 isoscele

21 Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti. Tetraedro regolare 4 facce (triangoli equilateri) 4 vertici, 6 spigoli Cubo (esaedro regolare) 6 facce (quadrati) 8 vertici, 12 spigoli Dodecaedro regolare 12 facce (pentagoni regolari) 20 vertici, 30 spigoli Icosaedro regolare 20 facce (triangoli equilateri) 12 vertici, 30 spigoli Ottaedro regolare 8 facce (triangoli equilateri) 6 vertici, 12 spigoli

22 Un poliedro è un delimitato da posti in diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a di essi. Indicando con V il numero di , con F quello delle e con S quello degli , la relazione di Eulero stabilisce che: V + F S = Osserva la figura del poliedro e inserisci i nomi che indicano le sue parti. Determina il numero di spigoli, vertici e facce del poliedro in figura e verifica per questo la relazione di Eulero. faccia vertice spigolo S = 12 V = 6 F = = 2 solido piani due vertici facce spigoli 2 poligoni

23 Collega il nome dei solidi con la loro definizione e con il loro sviluppo. 2), b) 3), a) 1), c)

24 Completa scegliendo tra i termini e i simboli regolare, retta, poligono circoscrivibile, poligono regolare. Una piramide si dice se ha per base un e il piede dellaltezza coincide con il centro della circonferenza circoscritta. Una piramide si dice se è e ha per base un regolare retta poligono regolare retta poligono circoscrivibile Traccia le altezze delle seguenti piramidi e stabilisci quale delle tre è regolare e quale è retta: ………….. retta regolare

25 Alcuni solidi hanno una caratteristica forma rotonda e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio: CILINDRI CONO SFERA Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a una retta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione. Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione.

26 Ruotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto. Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto. Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera.

27 È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono. CILINDRO RETTO CONO RETTO

28 Collega il nome dei diversi solidi con la figura piana che li genera (ruotando di 360° attorno a un proprio lato) e con lopportuno sviluppo della superficie. Perché gli sviluppi delle superfici sono soltanto 2? 1), b) 3),a) 2)

29 SOLIDI DI ROTAZIONE SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 360 0, INTORNO AD UN SUO LATO

30 UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE CILINDRO RETTO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE

31 UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO CONO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE APOTEMA

32 QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE? INTORNO A QUALE LATO E AVVENUTA LA ROTAZIONE?

33 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 I SOLIDI 4.CALCOLO DELLE AREE DEFINIZIONE Superficie di un poliedro La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce. A l = 2p. h A l = π. r. a Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi. Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:

34 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE / CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume del cubo La misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza: V = a 3 TEOREMA Volume del prisma La misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dellarea di base per la misura dellaltezza: V = Ab. h TEOREMA Volume del cilindro La misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dellarea del cerchio di base per la misura dellaltezza: V =π. r 2. h Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra larea della superficie di base e laltezza.

35 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della piramide La misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dellarea di base per la misura dellaltezza: V =. Ab. h TEOREMA Volume del cono La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dellarea del cerchio per la misura dellaltezza. V =. Ab. h Volume della piramide e volume del cono. La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi:

36 Ac Ab Pb = C Al Al = Pb x h C Al = C x h Al = 2πrh At = Al + 2Ab Area cerchio At = 2πrh + 2πr 2 At = 2πr x ( r + h ) Superficie del cilindro

37 Ab Pb = C apotema Al Al = pb x a 2 Al = 2πra 2 Al = πra At = Al + Ab At = πra + πr 2 At = πr x ( a + r ) Superficie del cono

38 123 h1 = h2 = h3 Ab1 = Ab2 =Ab3 V1 = V2 = V3 VOLUME DEL CILINDRO V = Ac x h V = πr 2 h volume del cilindro

39 1 2 h1 = h2 Ab1 = Ab2 V1 = V2 VOLUME DEL CONO V = πr 2 x h 3 Volume del cono

40 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 3.LA SFERA La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro… … ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera… Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro?

41 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE / CALCOLO DELLE AREE Area della sfera. La misura dellarea della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo: S sfera = 4 π r 2 Riscrivendo lespressione della superficie sferica come S sfera =2πr. 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto.

42 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della sfera La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3. π. r 3

43 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE / CALCOLO DEI VOLUMI


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