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Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Energia Interna 2)I o Principio 3)Le diverse forme di energia.

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2 Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Energia Interna 2)I o Principio 3)Le diverse forme di energia e le variabili coniugate 4)Calori specifici a pressione e volume costante 5)Lenergia interna del Gas perfetto 6)Equazione politropica di un gas perfetto Parte X: Il I o Principio della Termodinamica

3 In ogni sistema fisico ci sono gradi di libertà microscopici il cui studio individuale è troppo complicato. A questi gradi di libertà compete energia, nel senso che se essi sono attivi usano una parte dellenergia totale del sistema Lesempio del pendolo di Osborne ci fa capire che se attiviamo dei moti interni questi potranno avvenire a spese dellenergia meccanica del sistema come un tutto In assenza di attrito questo moto continuerà per sempre (lenergia si conserva) Ma cosa succederebbe se esistessero dei gradi di libertà interni al corpo? Energia interna Oscillazioni libere Oscillazioni smorzate

4 Lenergia del corpo è lenergia di tutte le particelle che lo costituiscono: se esse possono muoversi lo faranno utilizzando la parte di energia totale che compete loro Nel moto del pendolo la forza di gravità trasforma continuamente lenergia potenziale in cinetica e viceversa, lasciandone inalterata la somma, lenergia totale Se allinterno del pendolo ci sono particelle che possono muoversi queste utilizzano ciascuna una parte dellenergia potenziale iniziale. Il pendolo di Osborne ora si ferma rapidamente (rispetto al caso pieno o vuoto): questa è la prova che energia si è trasferita ai gradi di libertà interni Il fatto che i moti delle singole particelle siano tra loro scoordinati è legato, come vedremo, al II o principio della termodinamica, ma il fatto che il pendolo si ferma è legato al I o Principio: lenergia totale si deve conservare

5 Supponiamo di avere un sistema chiuso tra pareti adiabatiche. Una parete adiabatica è un concetto un po più ampio di parete termicamente isolante, perché il sistema potrebbe scambiare energia con lesterno, per esempio se fosse magnetico oppure elettricamente carico, ovvero se un pistone mobile lo accoppiasse meccanicamente con lesterno Supponiamo che il sistema possa scambiare energia con lesterno solo tramite lavoro meccanico del pistone e non può scambiare energia né termica né di altro tipo Abbiamo visto che tale lavoro meccanico IN GENERALE non dipende solo dagli stati iniziale e finale, ma anche dalla trasformazione (e.g. isobara o isoterma o altro) mediante la quale il sistema evalove dallo stato iniziale a quello finale Tuttavia, come vedremo, il lavoro adiabatico dipenderà solo da stato finale ed iniziale Ma cè di più: visto che il sistema compie lavoro verso lesterno allora dopo la trasformazione dovrà avere meno energia perché lenergia totale si conserva A spese di quale fonte di energia è stato compiuto il lavoro verso lesterno?

6 Un possibile enunciato: Esiste una funzione di stato, denominata ENERGIA INTERNA (U) le cui variazioni sono pari sempre alla differenza delle energie entrante ed uscente di un sistema fisico Questo principio è una evidente generalizzazione del principio di conservazione dellenergia indipendentemente dal tipo (p.es. meccanico, termico elettrico, etc.): se lenergia che entra (p.es. Q) è maggiore (o minore) dellenergia uscente (p.es. L), allora lEnergia Interna è aumentata (diminuita) Ma il I o principio dice che lEnergia Interna è una funzione di stato, cioè che i valori che essa assume dipendono SOLO dallo stato iniziale e dallo stato finale non dalla particolare trasformazione che conduce il sistema dallo stato iniziale allo stato finale Il I o Principio della Termodinamica

7 In questo senso vanno interpretati i simboli d e che compaiono nella formula: Q o L sono delle quantità infinitesime e corrispondono al calore scambiato ed al lavoro effettuato o subito dal sistema durante la particolare trasformazione; dU è invece un differenziale esatto, cioè le variazioni dellEnergia interna U non dipendono dalla trasformazione. In sostanza il lavoro effettuato o assorbito ed il calore assorbito o ceduto non sono funzioni di stato (dipendono dal percorso e non solo dagli stati iniziali e finali) ma la loro differenza è una funzione di stato, lEnergia Interna Una possibile formulazione integrale di questo principio potrebbe essere: Si noti che lenergia interna è definita a meno di una costante arbitraria, lo zero della scala delle energie, ovvero lenergia interna di uno stato di riferimento

8 Unaltra maniera di enunciare il I o principio è la seguente (al contrario): Affinché un sistema termodinamico passi da uno stato (di equilibrio) ad un altro occorre un ben preciso ammontare di energia interna, U, che non dipende dalla trasformazione Tale quantità è in generale la somma di tutte le possibili energie scambiate dal sistema: la maniera con cui si ripartisce fra le varie forme di energia dipende dalla trasformazione ma la differenza di energia fra lo stato iniziale e finale non vi dipende Il I o principio si può dunque generalizzare come: dove accanto a scambi termici e meccanici ( Q e –PdV) si sono inclusi scambi elettrici, magnetici, chimici, etc. Le diverse forme di energia e le variabili coniugate

9 La sommatoria dellultimo termine serve a tenere conto delle eventuali reazioni chimiche: lindice i rappresenta ciascuna delle N specie chimiche esistenti, ciascuna presente con un numero di moli n i. La grandezza fisica (intensiva), accoppiata a ciascuna dn i, è i e rappresenta il potenziale chimico delle specie i-esima Il suo significato è quello della variazione energetica del sistema dovuta al fatto che è cambiato il numero di moli di una specie (a favore di unaltra!) Va detto che ogni scambio energetico, nel primo principio, è normalmente scritto come il prodotto di una grandezza intensiva per il differenziale di una grandezza estensiva. chiamando Y i la variabile intensiva e X i la variabile estensiva ad essa coniugata si ha: Si noti che per quanto riguarda il lavoro la variabile intensiva è (–p), a causa della convenzione egoistica, mentre per gli scambi termici bisogna definire le opportune variabili intensive (temperatura) ed estensive (entropia)

10 La definizione di calore specifico (la quantità di calore necessaria ad elevare di un grado la temperatura dellunità di massa), non è sempre utile: conviene spesso definire il calore specifico molare (la quantità di calore necessaria ad elevare di un grado una mole di sostanza) In formule: Ma il calore scambiato dipende dal tipo di trasformazione, quindi, non cè un solo calore specifico (in quelli già visti il calore specifico le trasformazioni sono a pressione costante) Per esempio ha senso parlare di calori specifici a volume costante e/o a pressione costante Vedremo che questi sono diversi ed il secondo è maggiore del primo Calori specifici molari

11 Si consideri ora un sistema che possa scambiare energia solo sotto forma di calore e sotto forma del lavoro delle forze di pressione, per cui Consideriamo lenergia interna sarà allora una funzione delle sole variabili di stato T e V Il differenziale (esatto) dellenergia interna potrà allora essere scritto in termini delle derivate parziali rispetto alle variabili indipendenti T eV e dei loro differenziali Il pedice delle derivate parziali indica che la variabile di stato indicata è mantenuta costante durante la trasformazione

12 Nellultima equazione abbiamo immaginato, in qualche maniera di aver effettuato due trasformazioni infinitesime: una isocora nella quale la temperatura varia di dT ed una isoterma in cui il volume varia di dV. Il risultato è che lenergia interna varia di dU ma, visto che è una funzione di stato non è importante lordine delle trasformazioni Per confronto col I o Principio, e nellipotesi di avere una sola mole di sostanza (n=1) Abbiamo cioè determinato il calore specifico molare a volume costante Consideriamo adesso una trasformazione a pressione costante e cerchiamo di valutare c P Converrà considerare P e T come variabili indipendenti. Servirà allora una equazione di stato (p.es. lequazione dei gas perfetti) che dia

13 Ma nelle trasformazioni a P costante dP=0, cioè Sostituendo nel differenziale di U Per il I o Principio

14 Ricordando che il primo termine è proprio il calore specifico a volume costante Notare che il secondo membro deve essere positivo. Infatti in una trasformazione a volume costante il sistema non si espande quindi il calore ceduto serve solo a far innalzare la temperatura. In una trasformazione a pressione costante il calore fornito servirà a far crescere la temperatura ma anche a compiere il lavoro meccanico P V: ci vorrà quindi più energia termica per innalzare di un grado la temperatura del sistema in questo caso Per un gas perfetto deve essere

15 Ciò è dovuto al fatto che lenergia interna è lenergia delle singole particelle: lenergia cinetica vedremo dipende solo dalla temperatura, mentre lenergia potenziale è legata alla interazione a distanza degli atomi, quindi è una funzione del volume. Ma in un gas perfetto non cè alcuna interazione a distanza fra le molecole e la loro energia è, dunque, solamente cinetica. Da cui U=U(T) Ma noi conosciamo già lequazione di stato di un gas perfetto, dalla quale ricaviamo Da cui

16 GasVuoto T1T1 Setto Supponiamo di avere del gas rarefatto in un recipiente che sia termicamente isolato con lesterno, che il recipiente sia diviso in due settori e che il gas ne occupi solo uno Adesso mettiamo in comunicazione i recipienti eliminando il setto di separazione: il gas si espanderà occupando tutto il volume a sua disposizione e misuriamo la temperatura cui il gas si è portato GasVuoto T1T1 Gas T2T2 Lesperimento mostra che tanto più è rarefatto il gas tanto più è vero che Siccome non cè scambio di calore né di lavoro (il volume non cambia) con lesterno lenergia interna del gas perfetto cambia solo se cambia la temperatura (non dipende da pressione e/o volume) Lenergia interna di un gas perfetto

17 Supponiamo di conoscere il valore dellEnergia Interna di un gas perfetto in uno stato O, U O. Vogliamo calcolare lenergia interna di un altro stato A V P O A B Siccome lenergia interna è una funzione di stato, possiamo immaginare un percorso costituito da una trasformazione isocora da O ad uno stato B ed una isobara da B ad A, per calcolare la variazione di energia interna Approfittando dellequazione di stato dei gas perfetti possiamo considerare lenergia interna funzione solo di pressione e volume: U=U(P,V)

18 Calcoliamo adesso gli scambi energetici lungo le due trasformazioni: Per il I O Principio (in forma integrale): Se i calori specifici variano poco al variare della pressione, volume e temperatura Le temperature possono essere eliminate mediante lequazione di stato (1 mole)

19 Sostituendo Si noti che, come conseguenza delluso dellequazione c P -c V =R, lenergia interna del gas perfetto risulta solo una funzione della temperatura Proprio perché U=U(T) avremmo potuto ottenere questo risultato integrando lequazione differenziale

20 Supponiamo che una mole di gas perfetto esegua una trasformazione, il cui calore specifico molare sia K, a partire da uno stato (P 0,V 0 ) Supponendo inoltre che il lavoro ottenibile sia solo quello delle forze di pressione si avrà per il I O Principio Dallequazione di stato Sostituendo Equazione politropica di un gas perfetto

21 Adesso possiamo integrare questa equazione differenziale a partire dallo stato (P 0,V 0 ) fino ad un generico stato (P,V) Definendo, per compattezza di formule Abbiamo trovato che qualunque sia lo stato la quantità PV è una costante: noto che sia il calore specifico molare K della generica trasformazione possiamo graficarla sul piano di Clapeyron. Lequazione trovata va sotto il nome di equazione politropica del gas perfetto Da cui si ricava

22 Sono interessanti alcuni casi limite della politropica K :questo valore caratterizza formalmente una trasformazione isoterma, perché significa che se anche cediamo una quantità enorme di calore la temperatura non aumenta. In tal caso si trova la legge di Boyle-Mariotte: K c P :questo valore caratterizza una trasformazione isobara. Infatti K c v :questo valore caratterizza una trasformazione isocora. Infatti

23 K 0: questo è il caso delle trasformazioni adiabatiche perché il calore scambiato durante la trasformazione è nullo


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