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Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata A. A. 2007/2008 Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia MATEMATICA.

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Presentazione sul tema: "Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata A. A. 2007/2008 Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia MATEMATICA."— Transcript della presentazione:

1 Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata A. A. 2007/2008 Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (I MODULO) MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (I MODULO)

2 MATEMATICA MATEMATICA = Strumento investigativo ( indagine multidisciplinare) MODELLIZZAZIONE = MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale MATEMATICA MATEMATICA e mondo matematico NUOVO NUOVO utilizzo dello strumento matematico attraverso la costruzione di MODELLI

3 Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare, predire i fenomeni reali MODELLIZZAZIONE MATEMATICA MODELLO oggetto utilizzato per rappresentare qualcosa daltro rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione

4 FENOMENOREALE VARIABILI OPERATORI FUNZIONI EQUAZIONI PARAMETRI IP. CHIMICHE IP. GEOLOGICHE IP. FISICHE IP. BIOLOGICHE IP. FISIOLOGICHE

5 DATI SPERIMENTALI OPPORTUNE EQUAZIONI FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ANALISI MATEMATICA DEL MODELLO UNICITA ESISTENZA RISOLUBILITA

6 SVILUPPO DI UN ALGORITMO IMPLEMENTAZIONE VALIDAZIONE DEL MODELLO SIMULAZIONE NUMERICA TEST SU CASI NOTI *

7 MODELLO DELLE CELLULE DEL SANGUE

8 FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali) CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE (proliferanti) MATURAZIONE (non proliferanti) CIRCOLAZIONE SANGUIGNA MORTE CONTROLLO FEEDBACK

9 unità di tempo n° di cellule al tempo ti MODELLO MATEMATICO La popolazione di cellule del sangue varia nel tempo n° di cellule distrutte n° di cellule prodotte nellintervallo di tempo [ti, ti+1]

10 La funzione deve essere identificata sulla base di dati sperimentali c coefficiente di distruzione Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione

11 La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso La funzione deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo

12 Esiste un livello critico al di sotto del quale lorganismo non recupera La funzione deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche p(0) = 0

13 La funzione deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato. Non è necessaria a livelli super elevati di cellule p(x) decresce per x grande

14 Mackey-Glass 1971

15 Lasota 1977

16 b, r, s, m sono parametri da identificare MODELLO DI MACKEY

17 b, r, s, m sono parametri da identificare MODELLO DI LASOTA

18 IL MODELLO DIVENTA che è della forma Dove la funzione diterazione f è:

19 LIVELLO STAZIONARIO In condizioni normali, le cellule raggiungono un livello stazionario al quale produzione e distruzione avvengono alla stessa velocità

20 LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY

21 LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA

22 Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario Analisi della stabilità del modello Biomatematica.mht

23 Livelli stazionari possono essere stabili o instabili Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale Instabile Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema Regione di attrazione

24 DIFFUSIONE DELL AIDS ( Modello di Ho )

25 Il virus HIV (Human Immunodeficiency Virus) provoca lo sviluppo dell AIDS (Acquired ImmunoDeficiency Sindrome) Il virus attacca una classe di linfociti ( CD4 T-Cellule), la cui azione è essenziale nellambito della difesa immunitaria. In condizioni normali la concentrazione di CD4 è circa 1000/ ; quando scende al di sotto di 200/ il paziente è classificato malato. PRECEDENTI SUPPOSIZIONI Periodo che intercorre tra linfezione e lo sviluppo della malattia è un periodo di latenza e inattività del virus Lo sviluppo della malattia è lento Tutti i meccanismi coinvolti sono lenti

26 Concentrazione plasmatiche di cellule virali, linfociti CD4 e anticorpi HIV Nel periodo di pseudo-latenza, la concentrazione di virus e anticorpi è quasi costante, mentre si ha una lenta diminuizione di concentrazione di cellule CD4 Il virus è allora inattivo ?

27 MODELLO DI HO Esperimento di Ho: (1994) Per capire se il virus è attivo nella fase di pseudolatenza, Ho ha perturbato la sua attività somministrando a 20 pazienti un inibitore della proteasi Virus al tempo t Cellule virali prodotte nellunità di tempo Tasso di eliminazione ( azione sistema immunitario, morte,etc.)

28 La variazione nel tempo di cellule virali può essere descritto dalla equazione di bilancio: Equazione differenziale del I ordine Soluzione generale valore iniziale Per t = 0, cioè nella fase di pseudo-latenza (equilibrio) si ha: e quindi

29 La proteasi è stata bloccata non ci sono nuove cellule prodotte Il modello è più semplice:

30 Dunque la variazione di cellule virali è stata modellizzata dallequazione Occorre calcolare c

31 Procedimento di fitting per identificare il parametro c y b I parametri cb e Sono identificati con un procedimento di regressione lineare

32 Diminuizione della concentrazione di cellule virali in 2 pazienti trattati con inibitore della proteasi

33 Per ogni paziente si ottiene una valutazione diversa dei parametri c e b Si esegue una media Ho trovò: La conoscenza di c permette di approssimare P: Il virus non è affatto quiescente ! ( dal fitting) Questa scoperta ha cambiato la comprensione dei meccanismi di infezione dellAIDS dando avvio a nuove terapie.

34 Sistema dinamico: Sistema discreto: Sistema lineare: Sistema che evolve nel tempo Lintervallo temporale è discretizzato MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI la legge che determina levoluzione è lineare

35 è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo sono i valori in corrispondenza ai tempi DISCRETIZZAZIONETEMPORALE

36 sono definiti per ricorrenza f è una funzione lineare EVOLUZIONE LINEARE

37 MODELLO DI MALTHUS PROBLEMA studiare come varia nel tempo una popolazione di batteri immersa in un liquido di cui si nutrono

38 IPOTESI DEL MODELLO 1.Nascita di nuovi batteri 2.Morte di alcuni batteri 3.Il numero di nati è proporzionale al numero di batteri presenti 4.Il numero di morti è proporzionale al numero di batteri presenti

39 MODELLO coefficiente di natalità tasso di crescita coefficiente di mortalità

40 Il modello è lineare

41 Come si calcola labbondanza della popolazione al tempo t ? Iteriamo lequazione:

42 Se interviene anche unimmigrazione …

43 3 SITUAZIONI POSSIBILI la popolazione è in declino I morti superano i nati

44 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO

45 Si stabilizza al valore Con immigrazione:

46 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA

47 Lo stato della popolazione è STAZIONARIO

48 SVILUPPO DI UN ALGORITMO DISCRETIZZARE IL MODELLO CON LA MIGLIOR PRECISIONE POSSIBILE Problema continuo Problema discreto ANALISIANALISI NUMERICANUMERICA *


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