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Modelliacompartimenti Modelli a compartimenti Modelli funzionali di sistemi strutturalmente complicati Separazione del sistema in un numero finito di componenti.

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Presentazione sul tema: "Modelliacompartimenti Modelli a compartimenti Modelli funzionali di sistemi strutturalmente complicati Separazione del sistema in un numero finito di componenti."— Transcript della presentazione:

1 Modelliacompartimenti Modelli a compartimenti Modelli funzionali di sistemi strutturalmente complicati Separazione del sistema in un numero finito di componenti detti compartimenti o stati I compartimenti interagiscono tra loro mediante scambio di materiale I compartimenti sono regioni dello spazio reali o definibili idealmente

2 Ambiti di applicazione Sistemi biologici e fisiologici Studio e controllo dei sistemi metabolici degli organismi viventi Cinetica delle reazioni chimiche Farmacocinetica Sistemi ecologici Sistemi sanitari

3 Definizioni Compartimento: quantità di materiale (o sostanza) che si comporta in maniera omogenea (composto perfettamente miscelato) dal punto di vista cinetico (o del ricambio) Esempio: quantità di sangue nel sistema cardiocircolatorio Spazio o volume: la sostanza occupa uno spazio fisico o ideale Esempio: spazio extracellulare in un organo Interconnessione: definisce le direzioni e i versi di scambio della sostanza tra un compartimento e laltro

4 Costruzione del modello Conoscenza adeguata del campo dal quale proviene il fenomeno Utile semplificazione del fenomeno Appropriata rappresentazione matematica di tipo parametrico: equazioni e significato dei parametri Numero dei compartimenti Numero e tipo delle interconnessioni, per lo scambio di materiale Identificabilità strutturale parametri del modello definiti univocamente a partire dai dati sperimentali: unicità delle soluzioni di equazioni non lineari Stima parametrica ottima: minimizzazione errore

5 Precisazioni N. di compartimenti: almeno due Flusso di materiale: il materiale viene scambiato attraverso le interconnessioni, passando o trasformandosi fisicamente e chimicamente; il materiale entra e/o esce dal sistema Sistema aperto o chiuso: con o senza scambi con lambiente esterno Sistema reversibile o irreversibile: scambi bidirezionali o unidirezionali

6 1 2 3 u1(t)u1(t) k 03 k 12 k 31 k 21 k 32 k 23 Schema a blocchi Esempio di sistema aperto a 3 compartimenti k ij parametri del modello il primo pedice indica il compartimento di arrivo, il secondo pedice indica il compartimento di partenza; il pedice 0 indica lo spazio esterno u 1 (t) ingresso

7 Tipi di modelli a compartimenti 12 k 21 k 12 k 02 aperto, reversibile 12 k 21 k 12 chiuso, reversibile 12 k 21 k 03 3 k 32 aperto, irreversibile (o catenario aperto) chiuso, irreversibile (o catenario chiuso) 12 k 21

8 Sono formati da un compartimento centrale che scambia in modo reversibile con alcuni compartimenti periferici e in modo irreversibile con lesterno Modello mammillare 4 2 k 21 k 12 k 01 1 k 14 k 41 3 k 31 k 13

9 Bilancio di massa. La variazione nel tempo della quantità di sostanza allinterno di un compartimento (velocità di cambiamento) è pari alla differenza tra la velocità della sostanza in ingresso al compartimento e la velocità della sostanza in uscita dal compartimento Principio di conservazione della massa Il modello matematico relativo allo schema a compartimenti può essere ottenuto attraverso lequazione del bilancio di massa u1(t)u1(t) k 03 k 12 k 31 k 21 k 32 k 23 Con riferimento al compartimento 1 dellesempio, si ha:

10 Equazioni di stato e uscita Sistemi dinamici lineari u1(t)u1(t) k 03 k 12 k 31 k 21 k 32 k 23 k ij costanti sistema stazionario nei parametri n. equazioni di stato = n. compartimenti

11 I parametri k ij del modello a compartimenti esprimono la velocità con cui avviene il processo di passaggio della sostanza da un compartimento ad un altro Coefficienti frazionali di trasferimento Dimensionalmente: k ij = [t -1 ] Talora viene pertanto anche chiamato ritmo di rinnovamento o di trasferimento Con riferimento al semplice modello a un solo parametro k 21, in ogni istante, esce dal compartimento (1) ed entra nel compartimento (2) una frazione costante della quantità di sostanza esistente in (1) in quel momento P.es.: k 21 =0.1, con t espresso in minuti, indica che la sostanza esce dal compartimento alla velocità del 10% al min. 12 k 21

12 Modello della farmacocinetica (farmaco ingerito per via orale) k 02 k 21 I(t)I(t) Tratto gastro- intestinale q 1 (t) 1 Circolazione sanguigna q 2 (t) 2 I(t) = intensità di introduzione del farmaco k 21 = costante di distribuzione del farmaco k 02 = costante di eliminazione del farmaco q i (t) = quantità di farmaco nei compartimenti (i=1,2) V 2 = volume ematico costante 5 litri c 2 = concentrazione ematica

13 In farmacologia si studia q 2 (t) o c 2 (t) per valutare la dose D del farmaco Farmacologia c2(t)c2(t) + Effetti noti dei principi attivi del farmaco = Dosaggio ottimale del farmaco t max = tempo di massima azione t 1/2 = tempo di emivita

14 Valutare il dosaggio e i tempi di azione massima e di emivita di un farmaco introdotto oralmente, affinché la sua massima azione corrisponda a una concentrazione ematica di 10 mg/litro, con le seguenti specifiche: Esercizio di farmacologia I(t) = I 0 (e -t – e -3t ) mg/s 1/k 21 = 30 min 1/k 02 = 2 h Volume ematico V 2 = 5 litri Col dosaggio trovato, valutare nuovamente i tempi caratteristici raddoppiando la costante di tempo di eliminazione (cioè 1/k 02 = 4 h) per simulare uninsufficienza renale, traendo le dovute conclusioni.

15 Modello della diffusione tra membrane cellulari Hp: permeabilità di membrana diversa nelle due direzioni c 1 (t), c 2 (t) = concentrazioni V 1, V 2 = volumi costanti h 12 h 21 = coefficienti di diffusione che dipendono dalle caratteristiche chimico-fisiche di solvente e soluto S = superficie membrana d = spessore membrana Membrana semipermeabile k21k21 k12k12 Compartimento intracellulare q 1 (t)=V 1 c 1 (t) Compartimento extracellulare q 2 (t)=V 2 c 2 (t) 12 k 02 k 12 k 21 Legge di Fick. Il flusso di diffusione della sostanza attraverso la membrana è proporzionale al gradiente di concentrazione tra le due regioni

16 Modello dei flussi ospedalieri f 1 (t ) = frazione persone presenti nel territorio locale (TL), rispetto ai residenti locali f 2 (t) = frazione di persone presenti nel territorio esterno, (TE), rispetto ai residenti esterni f 3 (t) = frazione di persone in cura allospedale, rispetto alla capacità media n 1, n 2, n 3 = residenti locali, residenti esterni, capacità ospedale (n. medio pazienti giornalieri serviti) k 12 /k 21 = coeff. frazione giornaliera relativa persone che si muovono da TE/TL a TL/TE k 31 /k 32 = coeff. flussi persone da TL/TE a O (esclusi visitatori, personale sanitario, ecc..) k 13 = coeff. pazienti da O a TL y(t) = morti u 1 (t) /u 2 (t) = bilancio input-output TL/TE t valutato in giorni (g) Hp: I pazienti vengono dimessi solo su TL, quelli su TE transitano da TL per k 21. Non si considerano morti direttamente su TL mentre quelli su TE che non accedono a O sono compresi in u 2 (t), dove vi sono anche migrazioni (immigrati-emigrati), turisti, ecc u 1 (t) comprende gli stessi soggetti di TE, tranne i morti considerati tutti in O y(t)=k 03 n 3 f 3 (t) k 12 k 13 k 21 k 32 1 Territorio locale 2 Territorio esterno 3 Ospedale k 31 u2(t)u2(t) u1(t)u1(t)

17 Equazioni modello dei flussi ospedalieri y(t)=k 03 n 3 f 3 (t) k 12 k 13 k 21 k 32 1 Territorio locale 2 Territorio esterno 3 Ospedale k 31 u2(t)u2(t) u1(t)u1(t)

18 Con riferimento al modello a 3 compartimenti dei flussi ospedalieri, sono dati i seguenti valori e le seguenti specifiche: Esercizio: analisi dei flussi ospedalieri n 1 =100000; n 2 = ; n 3 =1000 Giornalmente entrano ed escono dallospedale l80% di pazienti, il restante 20% sono ricoverati per più di un giorno. Il 90% dei pazienti giornalieri proviene dal territorio locale (TL), il 10% dal territorio esterno (TE) Il 10% di persone esce giornalmente da TL verso TE per lavoro, turismo, ecc. Lo 0.33% di persone del TE entra nel TL per gli stessi motivi. Il numero giornaliero di deceduti in ospedale è lo 0.5% dei pazienti presenti. Lingresso a TL comprende 3 nascite e 2 migranti al giorno. Lingresso a TE comprende 40 migranti e 5 perdite (differenza morti-nati). Valutare la dinamica dei pazienti in cura allospedale conseguente ad un improvviso aumento di turisti su TL del 50% rispetto ai residenti, in una settimana, e successiva uscita degli stessi durante il mese successivo.


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