ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO La Gu(s), L-trasformata della risposta gu(t), può essere scritta come somma di due termini: Gu(s)=Gul(s)+Guf(s) Se come funzione in ingresso si considera la funzione impulsiva UNITARIA di DIRAC, la cui L-trasformata vale 1, allora si può definire la funzione di trasferimento come: Condizioni iniziali tutte pari a 0

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale Se si considera un strumento soggetto ad ingresso armonico con andamento sinusoidale, allora si può definire la funzione di trasferimento sinusoidale, sostituendo s con i, come 1) Per gli strumenti e, più in generale, i sistemi che si analizzeranno, si assume n  m T(i) è una funzione complessa del tipo:

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale La funzione di trasferimento sinusoidale può essere posta nella forma: Dove:

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Il diagramma di Bode è quello comunemente più usato e nella forma che vede le ascisse rappresentate come log(), le ordinate come 20 log|M|. I logaritmi sono in base dieci pertanto nelle ascisse si avranno decadi in ordinata Decibel [dB] La funzione di trasferimento (si veda eq. 1), ricavate le radici a numeratore e a denominatore, può essere sempre fattorializzata nella forma:

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode I termini che compaiono nella precedente relazione hanno il seguente significato: Sensibilità statica Radici con molteplicità  e ’, rispettivamente per NUM. E DENOM. Radici con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. e DENOM.  Coppie di radici complesse coniugate con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. E DENOM.

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode In generale, quindi, la funzione di trasferimento può essere sempre rappresentata come: Dove z = s + t + s’ + t’ +  - ’ : Il modulo della funzione di trasferimento sarà: Introducendo la relazione in dB: Il modulo della funzione di trasferimento si traccerà sul diagramma di Bode e sarà ottenuto come somma di ciascun contributo

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Come si rappresentano i contributi di ciascun termine? Sensibilità statica Contributo nullo alla fase

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Il modulo nel diagramma logaritmico è una retta che passa per l’origine, inclinata di ( - ’)*20 [dB]/decade. L’eq. Di tale retta è: Fase: retta parallela alle ascisse con eq:

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo Modulo: Il diagramma asintotico del modulo è costituito da due rette, che si intersecano nel p.to di rottura log(1/) e che si ottengono dalla relazione  rappresenta la molteplicità per +3 dB per -3 dB Diagramma asintotico del modulo per >0 e <0 Il modulo in corrispondenza dei p.ti di rottura, passa per +3 dB e -3 dB

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo FASE si hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisse ed uno con ordinata pari a  rappresenta la molteplicità Diagramma asintotico della fase per >0 e <0

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo Modulo per ogni termine a numeratore o a denominatore si hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisse ed l’altro (con segno + o -, rispetticamente per numeratore e denominatore) che si ottiengono da:  rappresenta la molteplicità per per

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo Diagramma asintotico del modulo 20Log(M) Pendenza 40 [dB/decade] per  = +1 40 [dB] Log(10n) Log(n) p.to di rottura Log() 20Log(M) Log(10n) Log(n) p.to di rottura Log() -40 [dB] Pendenza - 40 [dB/decade] per  = -1

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo Diagramma asintotico della fase   =  per  = +1  2 Log(10n) Log(n) p.to di rottura Log()  Log(n) p.to di rottura Log(10n) Log() - 2 - = - per  = -1

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel diagramma di Bode Termini del tipo Per  =0.6-0.7,il diagramma asintotico della fase può essere tracciato analogamente ai termini (1+i)   =  per  = +1  2 Log(0.1n) Log(n) p.to di rottura Log() Log(10n)  Log(n) p.to di rottura Log(0.1n) Log(10n) Log() - 2 - = - per  = -1

ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimento Si raccolgono i termini conformemente a quelli noti:

ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimento Si calcolano i valori noti e i punti di rottura per ciascun termine: I°: P.ti di rottura II°: III°: IV°: Diagramma asintotico del modulo e della fase tracciati in classe