Approfondimenti storici Equazione di grado superiore al secondo Lezione frontale Unità didattica Approfondimenti storici
Un po’ di storia 1629 A. Girard afferma che ogni equazione algebrica di grado n possiede n radici. (Teorema fondamentale dell’algebra) 1799 Gauss lo dimostra
Prova a scomporre queste equazioni. Cosa succede? x3 - 9x = 0 x3 - 3 x2 + 3x - 1 = 0 x3 - 8 = 0 x4 - 16 = 0 2x3 - 3 x2 - x + 2 = 0
Se non sei riuscito, ti aiuto io!! x3 - 9x = 0 raccoglimento totale x3 - 3 x2 + 3x - 1 = 0 cubo di binomio x3 - 8 = 0 differenza di cubi x4 - 16 = 0 differenza quadrati 2x3 - 3 x2 - x + 2 = 0 raccoglimento parziale o Ruffini
Cosa succede applicando la legge dell’annullamento del prodotto? Analizziamone una x3 - 9x = 0 x (x2 - 9) = 0 x (x - 3) (x + 3) = 0 Cosa succede applicando la legge dell’annullamento del prodotto?
La soluzione è questa: Possiamo porre uguale a zero ciascun fattore. Le soluzioni saranno quindi: x1 = 0 x2 = 3 x3 = - 3
E cosa succede se l’equazione non è scomponibile? x4 + 16 = 0
Nessuno!! Prova a pensare!!! Quale numero positivo (è x4 !!) aggiunto a 16 può dare come risultato 0? Nessuno!!
Quindi L’equazione è impossibile, cioè non ammette soluzioni reali.
Vediamo graficamente cosa significa
E cosa succede graficamente se l’equazione ha soluzione?
Vediamo altri esempi:
Che cosa hai notato? Le soluzioni delle equazioni coincidono con le intersezioni con l’asse delle x
Cosa hanno in comune le precedenti equazioni? x4 - 7x2 - 2 = 0 x6 +3x3+ 5 = 0 3x8 + 5x4 + 6= 0 Cosa hanno in comune le precedenti equazioni?
Prova a sostituire al posto di: Suggerimento Prova a sostituire al posto di: x2 = t x3 = t x4 = t Otteniamo un’equazione di secondo grado in t
Regola generale a (xn)2 + b (xn) + c = 0 poniamo (xn) = t otteniamo a t2 + b t + c = 0
Ancora più in generale a[f(x)]2 + b [f(x)] + c = 0 poniamo [f(x)] = t otteniamo a t2 + b t + c = 0
FINE