Ricerca Operativa 1a De Luca Cardillo Dorotea deluca@math.unifi.it 31/12/2018 1

Lezioni di Programmazione Lineare 1a parte 2009- 2010 31/12/2018

fasi del ciclo di vita per la maturità del project management fase embrionale fase di accettazione del management dirigenziale accettazione del line management crescita maturità Riconoscere la necessità (l’organizzazione comprende) Supporto dirigenziale visibile (a tutti) Supporto del line management(altamente improbab., solo dopo accettaz. dei superiori) Utilizzo delle fasi del ciclo di vita (impegno x sviluppo strumenti aziendali di Project Management) Sviluppo di sistema di controllo di schedule e costi di gestione Riconoscere i vantaggi Comprensione dirigenziale del project management Impegno del line management Sviluppo di una metodologia di project management Integrazione del controllo dei costi e degli schedule Riconoscere le applicazioni Sponsorizzazione dei progetti Educazione del line management Impegno alla pianificazione (scheduling ) Sviluppo programma educativo per migliorare competenze di project management Riconoscere ciò che deve essere fatto Disponibilità a cambiare modo di affrontare il business Disponibilità a concedere permesso a impiegati per la formazione per il project management Minimizzazione delle possibilità di slittamento (tempificazione) Selezione sistema monitoraggio progetti (PM softw) 31/12/2018

Preparazione scientifica delle decisioni Fattori essenziali variabili Relazioni  vincoli Politica da perseguire funzione obiettivo 31/12/2018

Problemi di programmazione uso efficiente o allocazione di risorse limitate per raggiungere obiettivi sotto particolari condizioni. soluzioni: soddisfano le condizioni di base soluzione/i ottima/e: soluzione/i che soddisfa/no le condizioni del problema e l’obiettivo 31/12/2018

Esempio Base Produzione di porte e finestre REPARTO 1: intelaiature metalliche REPARTO 2: prodotti in legno REPARTO 3: vetri e assemblaggio Riorganizzazione Produzione  nuovi prodotti PRODOTTO 1: porte a vetri con cornici in alluminio PRODOTTO 2: finestre con cornici in legno 31/12/2018

analisi Reparto marketing  Politica di produzione Analisi attività per  reparto : 1) capacità di produzione % per u.t.per nuovi prodotti, 2) risorsa % utilizzata per u.t. per unità di prodotto, 3) profitto unitario  nuovo prodotto. 31/12/2018

analisi problema risorse disponibili nell’u.t. REP.1: 4% di capacità di lavorazione totale REP. 2: 12 % di capacità di lavorazione totale REP. 3: 18 % di capacità di lavorazione totale risorsa richiesta per la produzione unitaria. PROD.1(porte): 1% capacità del REP.1 3% capacità del REP.3 PROD.2(finestre): 2% capacità del REP.2 2% capacità del REP.3 profitto per unità prodotta PROD.1: 3 $ ; PROD.2: 5 $ 31/12/2018

capacità di produzione 1 0 0 2 3 2 REP. PROD.1 PROD.2 (%) cap. max prod. (% per u.t.) 1 2 3 4 12 18 profitto unitario 3 5 31/12/2018

formulazione matematica Variabili di decisione x1 quantità di porte prodotte nell’u.t. x2 quantità di finestre prodotte nell’u.t. z profitto nell’u.t. Funzione obiettivo (F.o.) Max z = 3x1 + 5x2 profitto nell’u.t. Vincoli R1 x1  4 R2 2x2  12 R3 3x1 + 2x2  18 x1 ,x2  0 31/12/2018

Rappresentazione grafica x2 x1 2 x2 = 12 3 x1 + 2 x2 = 18 x1 = 4 K (2,6) (4,3) 3 x1 + 5 x2 = 15 3 x1 + 5 x2 = 18 3 x1 + 5 x2 = 36 R1 x1  4 R2 2x2  12 R3 3x1 + 2x2  18 x1 ,x2  0 Max z = 3x1 + 5x2 31/12/2018

Sistema È un insieme di elementi intercorrelati. È una entità composta da almeno due elementi e da una relazione che lega ciascun elemento ad almeno un altro elemento dell’insieme. Nella PL il sistema è scomposto in attività 31/12/2018

Risorse in ingresso Attività Risorse in uscita graficamente Attività = processo che trasforma risorse in ingresso in risorse in uscita 31/12/2018

Costruzione modello matematico Passi fondamentali: Definizione gruppo di attività ( j=1,    , n) (componenti elementari e relativa unità di misura) 2. Definizione gruppo di risorse (i=1,    ,m) 3. Determinazione coefficienti I/O (aij) (quantità di risorse consumate o prodotte per far raggiungere il livello unitario alle attività) 4. Determinazione flussi esogeni(bi) (quantità di riscorsa scambiata fra sistema e l’esterno) 5. Stesura equazioni di bilancio materiale (assegnazione livelli incogniti xj alle attività). 31/12/2018

indicare cosa sono nell’esempio le attività, le risorse, i coefficienti di I/O, le equazioni di bilancio materiale 31/12/2018

Problemi di Miscelazione: Il Problema della dieta trovare una dieta di costo minimo dati n tipi di cibo e m principi nutritivi noti i costi unitari dei cibi c1,··········, cn con quantità da individuare x1,··········, xn 31/12/2018

Formulazione matematica min c1x1+······+ cnxn con i vincoli a11x1+······+ a1nxn b1 a21x1+······+ a2nxn  b2 ················· am1x1+······+ amnxn  bm x1,··········, xn  0 con aij quantità di principio nutritivo i contenuto nel cibo j bi la quantità minima di principio nutritivo i da assumere giornalmente con la dieta ( con i=1, ······,m) 31/12/2018

Es. di problema della dieta Dati due alimenti A e B con quantità note di sostanze nutritive per unità di peso. Le sostanze nutritive di base sono: vitamine , proteine e calcio contenuto per unità di peso: A 5 4 8 B 3 6 2 Fabbisogno minimo giornaliero: 18 20 14 costi per unità di peso in euro: A Euro 0. 5 B Euro 0.7 Min z = 0.5x1 + 0.7x2 con A B 5x1+3x2 18 vitamine 4x1+6x220 proteine 8x1+2x214 calcio soluzione ottima: (8/3,14/9) f.o. 2,422 31/12/2018

Modelli di mix Inputs Qualità outputs cibi proteine, vitamine, grassi, carboidrati, ecc.. dieta tipi di mangime mangime animale petrolio da diversi produttori n.ro di ottani, benzina, volatilità, quantità di piombo benzina rottami di alluminio, metalli puri composizione chimica leghe di alluminio distillati grezzi ricette,quantità max e min whisky 31/12/2018

Modelli reticolari  fvj -  fiv = dv  vV fij  uij  (i,j)A Riconducibili al flusso di “materiali” su una rete di trasporto (P.L. e algoritmi ad hoc) Problema del flusso di costo minimo min cij fij (i,j)A  fvj -  fiv = dv  vV fij  uij  (i,j)A fij  lij  (i,j)A Con la rete rappresentata da un grafo G(V,A) 31/12/2018

Ipotesi della P.L. Proporzionalità: singola attività- livello dell’attività j (xj) è proporzionale a costi (cj xj ) e a flussi di risorsa(aij xj ); Additività: uso globale della risorsa, no interazioni Costo totale è somma dei costi delle singole attività, contributo totale dell’i-esimo vincolo è somma dei contributi delle singole attività; Divisibilità: è consentito qualsiasi livello frazionario delle variabili decisionali; Determinismo: coefficienti aij ,bi , cj sono noti in modo deterministico 31/12/2018

Programmazione lineare classe di problemi di programmazione caratterizzata da: condizioni relazioni lineari (vincoli) a1x1+······+ anxn b (o  b) con ai , b costanti note con xi variabili da determinare obiettivo funzione lineare (funzione obiettivo) max (o min) c1x1+······+ cnxn con ci costanti note 31/12/2018

Programmazione lineare forma standard max (o min) c1x1+······+ cnxn (f.o) con le condizioni: a11x1+······+ a1nxn= b1 a21x1+······+ a2nxn= b2 ················· (vincoli) am1x1+······+ amnxn= bm x1,··········, xn  0 con aij , bi costanti note; xi variabili; m<n 31/12/2018

Variabili di slack Variabili di slack hanno associato costo nullo min c1 x1+c2 x2 x1+x2 6 x1+x2+ x 3 = 6 x2  3  x2 + x4 = 3 x1,x2 0 x1,x2 ,x3,x4 0 Variabili di slack hanno associato costo nullo f.o. min c1 x1+c2 x2  min c1 x1+c2 x2 +0 x3+0x4 31/12/2018

Variabili di surplus Variabili di surplus hanno associato costo nullo min c1 x1+c2 x2 x1+x2  6 x1+x2- x 3 = 6 x2 3  x2 - x4 = 3 x1,x2 0 x1,x2 ,x3,x4 0 Variabili di surplus hanno associato costo nullo f.o. min c1 x1+c2 x2  min c1 x1+c2 x2 +0 x3+0x4 31/12/2018

Pianificazione di progetti Scomposizione di progetto complesso in attività elementari (nota la durata) Relazioni di precedenza fra attività Problema: Stimare la minima durata possibile del progetto min tt-ts tj -ti  dij  (i,j)E Ottimo = Cammino Critico 31/12/2018

Pianificazione produzione: formalizzare P1 P2 P3 P4 P5 P6 prodotti M1 M2 M3 M4 macchine 135 140 175 160 disponibilità mensile tempi di lavorazione profitti unitari: P1 3 2 6 4 10 P2 4 8 5 6 12 P3 6 4 4 7 14 P4 5 3 8 5 11 P5 2 5 7 8 10 P6 7 6 5 2 10 31/12/2018

Problemi di Programmazione Intera Razionalizzazione lavori stradali Problemi di localizzazione 31/12/2018

Razionalizzazione lavori stradali ridurre al min gli scassi in alcune strade per installare sfiati su alcune tubature nota la dislocazione di m tubi sotto n parti di strada, n1......nm indicano le parti di strada cui appartiene ciascuna tubatura 31/12/2018

Razionalizzazione lavori stradali: modello Variabili : indicatori associati a parti di strada . Vincoli Obiettivo 31/12/2018

Problema dei trasporti c11 a1 x11 b1 c12 x21 c21 a2 c12 x12 x22 x32 b2 c31 c32 a3 31/12/2018

problema dei trasporti:modello a1+a2+a3= b1+b2 Vincoli sui magazzini: x11+x12= a1 x21+x22= a2  j xij= ai  i x31+x32= a3 vincoli sui negozi: x11+x21 +x31 = b1 x12+x22 +x32 = b2  i xij= bj j vincoli di non negatività: xij 0 obiettivo: min c11 x11 + c12 x12 + c21 x21 +c22 x22+c31 x31 +c32 x32  min i j cij xij 31/12/2018

Localizzazione fabbrica Costruzione fabbrica a Los Angeles o San Francisco o in entrambe le città Costruzione di un solo magazzino con localizzazione nella città dove sarà costruita la fabbrica Capitale a disposizione 10 milioni di dollari 31/12/2018

Tabella profitto tot e capitale necessario per ogni investimento Domanda Variabile Profitto Capitale si/no decisionale totale richiesto 1 Costruz.Fabbrica X1 $9 mil. $6 mil a Los Angeles 2 Costruz.Fabbrica X2 $5 mil. $3 mil a S.Francisco 3 Costruz.Magazz X3 $6 mil. $5 mil a Los Angeles 4 Costruz Magazz X4 $4 mil. $2 mil 31/12/2018

Variabili decisionali: binarie Obiettivo: trovare combinazione ammissibile delle alternative che massimizzi il profitto totale Variabili decisionali: binarie Le ultime due decisioni si escludono a vicenda Le decisioni 3 e 4 dipendono risp dalle decisioni 1 e 2 (magazzino in una città solo se costruita fabbrica) 31/12/2018

Modello di programmazione intera binaria(BIP) 31/12/2018