Equazioni del 2. ordine omogenee a coeff. costanti Hanno la forma Ricordiamo che la soluzione dell’equazione e’ Pertanto cerchiamo le soluzioni sempre sotto forma di esponenziali.

Bisogna risolvere l’equazione A seconda del segno del discriminante abbiamo: 2 radici reali, 2 radici complesse coniugate una radice reale doppia

1. Caso – Radici reali distinte (∆>0) La soluzione e’

2. Caso– Radici complesse coniugate (∆<0) La soluzione e’

3. Caso – Radice reale doppia (∆=0) La soluzione e’

Sistemi di equazioni differenziali Molti problemi sono governati non da una sola equazione differenziale ma da un sistema di equazioni differenziali. Ad esempio questo succede se si vuole descrivere un sistema ecologico di due popolazioni.

Esempio in forma matriciale e’ un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti

Strategia di soluzione Come nel caso di una singola equazione supponiamo la soluzione sia del tipo esponenziale Risolvo y’=Ay y=xelt y’=lx elt lx elt =A xelt x vettore

Questo e’ il problema degli autovalori Ora non si puo’ dividere per x, perche’ x e’ un vettore dividiamo per elx Questo e’ il problema degli autovalori

Quindi, la soluzione del sistema e’ stata ridotta a trovare autovalori e autovettori di una matrice. Abbiamo l’equazione caratteristica I

Esempio: In questo caso autovalori ed autovettori sono:

La soluzione generale e’ una combinazione lineare delle soluzioni Ogni coppia autovalore/autovettore produce una soluzione: La soluzione generale e’ una combinazione lineare delle soluzioni

Autovalori reali distinti: Autovettori: La soluzione generale e’:

Autovalori complessi Autovettori: Le soluzioni sono allora combinazione lineare di

Autovalori doppi: Se ho 2 autovettori indipendenti: altrimenti e’ complicato

Visualizziamo le soluzioni dei sistemi di eq. differenziali Visualizziamo le soluzioni nel Piano delle fasi Il piano delle fasi e’ il disegno di (y1,(t), y2 (t)) (come curve soluzione) Le curve soluzione sono le traiettorie del campo (y1,’, y2 ‘)

Esempio: disegnamo il campo per il sistema Scriviamo alcuni vettori del campo

Se facciamo questo per un gran numero di vettori otteniamo il seguente disegno

le traiettorie sono

Si possono ovviamente disegnare le traiettorie partendo dalla soluzione generale. Ad esempio per la soluzione generale:

Analizziamo il piano delle fasi in questo caso All’aumentare del tempo, le soluzioni di muovono verso l’origine (cioe’ il punto di equilibrio del sistema e’ y1=y2=0).

Nodo stabile o improprio Nell’esempio si ha un nodo stabile in quanto tutte le curve del piano delle fasi convergono verso l’origine

Nodi propri o instabili In un nodo instabile c’e’ una curva soluzione che esce in ogni direzione :

Nodi I sistemi lineari hanno nodi se hanno autovalori reali con lo stesso segno Stabili se positivi / instabili se negativi Nell’esempio per il nodo stabile gli autovalori erano –2 e –4. Nell’esempio di nodo instabile gli autovalori erano 1 (doppio).

Punti a sella I punti a sella si presentano nel caso di autovalori reali con segni opposti (uno positivo e uno negativo).

Punti a sella Nei sistemi che hanno punti a sella ci sono solo 2 curve che vanno verso il punto (nel caso in figura la retta y1=0) e due che escono dal punto (la retta y2=0).

Centri o vortici Se l’ equazione ha autovalori immaginari puri, le curve del piano delle fasi sono ellissi “centrate nell’origine”

Centri o vortici: esempio Consideriamo il sistema di equazioni differenziali Gli autovalori sono:

Centri o vortici: esempi Gli autovettori sono: cioe’ La soluzione generale del sistema e’: E’ piu’ conveniente scriverla nella forma:

Centri o vortici: esempio Si possono scrivere le curve del piano delle fasi eliminando il tempo tra le equazioni...

Spirali o fuochi Per sistemi di equazioni che hanno autovalori complessi (ma non immaginari puri) le curve del piano delle fasi sono spirali o fuochi.

Stabili: Nodo stabile: Autovalori reali <0 Fuoco stabile: Autovalori complessi con parte reale <0

Instabili: Sella: sempre instabile Nodo instabile: Autovalori reali di segno opposto Nodo instabile: Autoval. reali >0 Fuoco instabile: Autovalori complessi con parte reale >0