CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI

ovvero f(x0) -  < f(x) < f(x0) +  FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y = f(x), definita in un intorno di x0, si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite della funzione per x che tende ad x0 e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè quando: lim f(x) = f(x0) x x0 Ricordando la definizione di limite possiamo dire che la funzione f(x) è continua nel punto x =x0 quando, considerato un numero positivo  arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di x0 per tutti i punti del quale, compreso x0, si abbia: f(x) – f(x0) <  ovvero f(x0) -  < f(x) < f(x0) + 

FUNZIONI CONTINUE Pertanto dalla definizione si deduce che una funzione f(x) è continua in un punto x0 quando sono verificate le seguenti condizioni: esiste il valore della funzione nel punto x0; esiste ed è finito il limite della unzione per x x0; il limite della funzione per x x0 coincide con il valore della funzione nel punto x0. NOTA Una funzione si dice continua a sinistra in x0 se lim f(x) = f(x0) x x0- Una funzione si dice continua a destra in x0 se lim f(x) = f(x0) x x0+ DEFINIZIONE: Una funzione f(x) è continua in un intervallo I se è continua in tutti i punti dell’intervallo.

FUNZIONI CONTINUE  X  R y = k y = x y = con n dispari y = ax (a > 0) y = senx y = cosx y = arctgx y = arcctgx

FUNZIONI CONTINUE La funzione: y = con n pari è continua per x  0 y = logax (a > 0, a  1) è continua per x > 0 y = tgx è continua per x  /2 + k  y = cotgx è continua per x  k  DEFINIZIONE: Abbiamo visto che una funzione y = f(x) è continua in un punto x = x0 se sono verificate contemporaneamente tre condizioni. Quando anche solo una delle tre condizioni non è verificata, allora in tale punto la funzione è discontinua e x = x0 viene detto punto di discontinuità per la funzione (o punto singolare).

k y = k y = x y = ax , a > 1 y = con n = 3 y = ax , 0 < a < 1

y = cosx y = senx y = arctgx y = arccotgx

con a > 1 con n = 2 con 0 < a < 1

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di prima specie quando esistono finiti i limiti dalla destra e dalla sinistra per x x0 della funzione, ma sono DIVERSI tra loro (a prescindere dall’eventuale valore della f(x) in x = x0) , cioè lim f(x)  lim f(x) x x0- x x0+ Si dice che nel punto x = x0 la funzione presenta un salto. ESEMPIO 1

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di seconda specie quando non esiste o non esiste finito , uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di x0. ESEMPIO 2

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) quando esiste ed è finito il limite per x x0 di f(x), ma f(x0) non esiste o è diverso dal valore del limite. ESEMPIO 3

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 1 f(x) = x/x funzione definita per x  0. f(0) non esiste, pertanto la funzione non è continua nel punto 0. lim f(x) = lim x/(- x) = - 1 x  0- x  0- lim f(x) = lim x/x = 1 x  0+ x  0+ I limiti sono diversi quindi si tratta di una discontinuità di prima specie.

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 2 f(x) = sen(1/x) funzione definita per x  0. lim sen(1/x) non esiste x  0- x  0+ I limiti non esistono quindi si tratta di una discontinuità di seconda specie. OSSERVAZIONE: i limiti non esistono perché quando x tende a zero l’espressione 1/x tende all’infinito e il valore del seno continua ad oscillare fra – 1 e 1 senza ammettere limite.

FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 3 f(x) = senx/x Per x = 0 la funzione non esiste, ma lim senx/x = lim senx/x = 1 x  0+ x  0- pertanto è una discontinuità di terza specie. Si tratta quindi di una discontinuità eliminabile. Per eliminare tale discontinuità occorre definire la funzione in maniera diversa, ad esempio ponendo: senx/x per x  0 f*(x) = 1 per x = 0 La funzione f*(x) è continua in R.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato a; b e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto x0 , interno ad a; b, in cui è f(x0) = 0. a; b, allora essa assume, in tale intervallo, un valore minimo e un valore massimo. a; b, allora essa assume, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.