Studio della monotonia Definizione: un punto x0 si dice stazionario per f se f è derivabile in x0 e si ha che

Teorema di Fermat e sia x0 un punto interno a D. Se f è derivabile in condizione necessaria per estremo relativo e sia x0 un punto interno a D. Se f è derivabile in x0 e se x0 è un estremante per f, allora cioè x0 è un punto stazionario per f Dimostrazione: sia x0 un punto di massimo relativo per f : essendo x0 un punto interno di D è possibile scegliere Se per assurdo fosse:

Per il teorema della permanenza del segno applicato al rapporto incrementale, si avrebbe: Per ogni x appartenente ad un opportuno intorno di x0 incluso in e si cade nell’assurdo in quanto si nega l’ipotesi di partenza per cui x0 sia un punto di massimo relativo per f. In modo analogo si dimostra che non può essere: Si ricava quindi che:

x0 non è punto estremante Controesempi f non è derivabile in x0 x0 non è punto estremante x0 non è interno

Osservazione La condizione espressa dal teorema di Fermat non è sufficiente, non basta cioè, che un punto interno al dominio sia stazionario per la funzione per garantire che il punto sia di estremo relativo.

Teorema di Rolle tale che: Dimostrazione: Se f è costante la tesi è immediata: ogni punto è stazionario Sia f non costante. Per il teorema di Weierstrass massimo assoluto M e minino assoluto m allora, almeno uno dei due estremi assoluti deve essere un punto interno, vista la terza ipotesi! Per il teorema di Fermat

Interpretazione grafica La condizione espressa dal teorema di Rolle non è necessaria, cioè una funzione può comunque avere un punto interno stazionario anche se le ipotesi del teorema non sono verificate. Viene meno però la certezza della sua presenza. Inoltre il teorema afferma la presenza di almeno un punto stazionario e quindi è possibile averne più di uno. Ipotesi verificate Ipotesi non verificate

Controesempi f non è derivabile in f non è continua in

Teorema di Lagrange tale che: Dimostrazione: L’equazione della retta passante Costruiamo la funzione Per tale funzione sono rispettate le ipotesi del teorema di Rolle, infatti:

è continua in in quanto differenza di funzioni continue è derivabile in in quanto differenza di funzioni derivabili Quindi Ma allora esiste

Interpretazione grafica Il teorema di Lagrange assicura la presenza di almeno un punto interno all’intervallo in cui la tangente alla funzione sia parallela alla retta passante per i due estremi dell’intervallo preso come dominio della funzione. Anche in questo caso si tratta di una condizione sufficiente.

Corollari del teorema di Lagrange tale che: f monotona crescente in I f monotona crescente in senso forte in I f costante in I f e g differiscono per una costante in I L’ipotesi che la funzione sia definita su un intervallo è essenziale

f non è un monotona decrescente nel suo dominio!!! D non è un intervallo!!! f non è un monotona decrescente nel suo dominio!!!

La ricerca dei punti estremanti I punti di massimo e di minimo di una funzione non è detto che siano punti stazionari. Si ha la certezze che lo siano se e solo se sono punti interni al dominio e la funzione è ivi derivabile. Punti di massimo e minimo si possono quindi “nascondere” nei punti angolosi e nelle cuspidi. Cosa fare per trovarli? 1) calcolare la 2) calcolare il dominio di 3) se: non ci sono punti notevoli la funzione è derivabile in ogni punto, e quindi eventuali punti interni estremanti sono punti stazionari

La ricerca dei punti estremanti 4) se: ci sono punti notevoli esiste almeno un punto in cui la funzione è continua ma non è derivabile. E’ necessario quindi studiare la natura del punto notevole perché potrebbe essere una cuspide oppure un punto angoloso di minimo o massimo.

Esercizio Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di Dove la funzione è continua è anche derivabile. Questo permette di escludere l’eventuale presenza di punti notevoli per la funzione (cuspidi, flessi a tangenza verticale, punti angolosi). Inoltre ci permette di affermare che tutti e soli gli estremanti saranno punti stazionari.

segno della derivata prima f cresce f decresce punto di minimo assoluto punto stazionario di minimo assoluto f monotona decrescente in senso forte f monotona crescente in senso forte

Esercizio Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di potrebbe essere un punto notevole per la funzione.

segno della derivata prima f decresce f cresce punto di minimo assoluto punto non stazionario di minimo assoluto f monotona decrescente in senso forte f monotona crescente in senso forte cuspide (minimo assoluto)

Esercizio Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di Non sono presenti punti notevoli per la funzione. non è un intervallo!!!!

Esercizio Determinare i punti stazionari, gli intervalli di monotonia e i punti estremanti di

segno della derivata prima è un punto angoloso che potrebbe essere un punto estremante per la funzione pur non essendo punto stazionario; tutti gli altri estremanti eventuali saranno anche punti stazionari! non è punto stazionario di minimo assoluto segno della derivata prima f decresce f cresce

f è invertibile in f è invertibile in