Insiemi numerici e funzioni Dato un insieme E di numeri reali diciamo che DEF: E è limitato superiormente se Qualunque numero k che soddisfi questa definizione si chiama MAGGIORANTE di E DEF: E è limitato inferiormente se Qualunque numero k che soddisfi questa definizione si chiama MINORANTE di E
Un insieme si dice LIMITATO se lo è sia inferiormente che superiormente Se E è un insieme di numeri reali limitato inferiormente , si dice ESTREMO INFERIORE il più grande dei MINORANTI Se E è un insieme di numeri reali limitato superiormente, si dice ESTREMO SUPERIORE il più piccolo dei MAGGIORANTI
Se un insieme E è illimitato inferiormente si pone inf E= - ∞ superiormente si pone sup E= + ∞ Se il sup E è finito ed è un elemento di E allora rappresenta il MASSIMO di E Se l’inf E è finito ed è un elemento di E allora rappresenta il MINIMO di E
Def di intervallo aperto e intervallo chiuso di estremi a,b……. Si dice Intorno di +∞ ogni intervallo aperto del tipo (a,+∞) Intorno di -∞ ogni intervallo aperto del tipo (-∞,b) Intorno di ∞ (generico) l’unione dei due intervalli sopra
Funzioni limitate Le definizioni date per gli insiemi di numeri si applicano alle funzioni se il CODOMINIO è un insieme limitato f(x) è limitata superiormente se Cod f(x) è un insieme limitato superiormente (analogamente per inf) L’estremo superiore e inferiore del codominio sono allora il sup f(x) e l’inf f(x)
Massimo e minimo assoluti Si dice che f(x) ammette massimo o minimo ASSOLUTO se il codominio ammette massimo o minimo assoluto; IL VALORE di X in corrispondenza del quale la funzione assume il valore massimo si dice PUNTO DI MASSIMO per f(x) N.B.la differenza è tra il massimo di f(x) (=l’ordinata massima) e il punto di massimo (l’ascissa in corrispondenza della quale f è massima) DEF: xM è PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f(x) se