Il calcolo dei limiti nelle funzioni razionali Seconda parte: la frontiera

Limiti e continuità Definizione Sia f : (a,b)  R una funzione continua e sia x 0  (a,b). Allora

Calcolo dei limiti Limiti notevoli Regola 1 Siano f,g : (a.b)  R funzioni continue in (a,b) e sia x 0  (a,b) Regola 2 Sia f : (a,b)  R, g: (c,d)  R e sia x 0  (a,b), sia y 0 =f(x 0 ) allora a) b)

Esercizi In un intorno di 2 la funzione è continua èerchè 1.h(x)=2 è continua in R perché costante 2.f(x)=x è continua in R perché elementare 4. k(x)=-3 è continua perché è costante 5. Quindi la funzione è continua perché somma di Funzioni continue È continua in R-{0}

Esercizio 1 Regola 1 a) Definizione

Esercizio 2 Numeratore e denominatore sono polinomi, Quindi funzioni continue su R La funzione è quindi continua in tutto R tranne Quindi la funzione è continua in un intorno dello zero

Esercizio 3 Numeratore e denominatore sono entrambi polinomi e quindi sono funzioni continue su R Il denominatore non ha radici reali perché Quindi la funzione è sempre continua, compreso in un intorno di 1.

Il calcolo dei limiti nelle funzioni razionali I punti interni

Limiti Se x tende a 0 il valore della funzione diventa sempre più grande La funzione diverge

Estendiamo il calcolo dei limiti La funzione È il rapporto tra la funzione costante 1 e la funzione x 2 Quindi è continua in R-{0}, che è anche il suo dominio 0 è la frontiera del suo dominio Calcoliamo il limite sulla frontiera della funzione

Limiti sulla frontiera del dominio di funzioni razionali Si compila una tabella di limiti notevoli Si definiscono delle regole di calcolo per calcolare tutti gli altri

Calcolo dei limiti Limiti notevoli Regola 1 Siano f,g : D  R e sia x 0 un punto di frontiera per D Allora Regola 2 Sia f : D  R, g: (c,d)  R e sia x 0 un punto di frontiera per D, sia y 0 =f(x 0 ) allora a) b)

Esercizio 1 Regola 1b Limite notevole

Esercizio 2 Regola 1b) Regola 2) Limite notevole

Esercizio 3 Il dominio della funzione è R-{1} 1 è nella frontiera del dominio Il numeratore è una funzione continua in x=1

Estendiamo il calcolo… Tanto più si ingrandisce la tabella dei limiti notevoli, tanto più grande sarà la classe dei limiti che potremo calcolare… Per ingrandire la tabella dei limiti, abbiamo bisogno di nuove definizioni