(I) Ricerca massimi e minimi 8. Massimi, minimi, flessi (I) Ricerca massimi e minimi

8.1 Definizione massimo (minimo) relativo D. Diremo che c è un punto di massimo (minimo) relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno di c, contenuto nel dominio di f(x), per tutti i punti x del quale si abbia f(x) ≤ f(c) (f(x) ≥ f(c)) cioè se f(c) è il massimo (minimo) valore che la funzione assume nell’intorno di c; allora, f(c) è il massimo (minimo) relativo di f(x).

8.1 Massimi (minimi) relativi e assoluti La funzione f(x) può avere uno o più massimi e minimi relativi. Punto di massimo o di minimo relativo (c,f(c)), punto estremante. Massimo (e minimo) assoluto: tra i massimi (minimi) relativi, quello che ha valore di y maggiore.

8.4 Teoremi massimi e minimi relativi Condizione necessaria per esistenza massimo (minimo) relativo Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se nel punto c, interno a I, la funzione ha un massimo (minimo) relativo, allora risulta f’(c) = 0 cioè, c è un punto stazionario Nei punti di massimo (minimo) relativi la tangente è parallela all’asse x. Non è condizione sufficiente: vi sono punti stazionari (f’(c)=0) in cui non vi è né massimo, né minimo, ma un flesso a tangente orizzontale

8.5 Teoremi massimi e minimi relativi Criterio sufficiente per determinazione punti di massimo e minimo Sia f(x) continua e derivabile in tutti i punti di un intorno di c Se risulta f’(x)>0 a sinistra di c e f’(x)<0 a destra di c, c punto di massimo relativo f’(x)<0 a sinistra di c f’(x)>0 a destra di c, c punto di minimo relativo La derivata prima cambia segno “attraversando” c.

Osservazioni Se la derivata non cambia segno attraversando c, allora c è un punto di flesso a tangente orizzontale Una funzione può avere massimi o minimi relativi anche in punti in cui non esiste la derivata (ma f(x) è continua).

8.8 Ricerca max e min relativi Procedimento per la ricerca di massimi e minimi: si calcola f’(x) e se ne determina il dominio si risolve l’equazione f’(x)=0 (punti stazionari) si risolve f’(x)>0 (segno di f’(x)) (massimi, minimi, flessi tang. orizz.) Prendere in esame anche i punti in cui f(x) è continua, ma non derivabile e i valori di f(x) negli estremi finiti del dominio Massimi (e minimi) assoluti: (in un intervallo chiuso e limitato, se f(x) continua, per il teorema di Weierstrass esistono sempre) Scegliere, tra i punti di massimo (minimo) relativo e i valori di f(x) negli estremi finiti, quello in cui f(x) assume valore maggiore (minore) Esempi 1-8 pagg. 338-341