Continuità delle funzioni

Funzione continua in un punto Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x 0 un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x 0 se risulta: lim f(x) = f(x 0 )

Deduzioni Esiste il valore della funzione nel punto x 0 Esiste ed è finito il limite della funzione per Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto

Se conveniamo di porre x = x 0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma: lim f(x 0 +h) = f(x 0 )

Se una funzione f(x) è continua in un punto x0x0 il calcolo del limite per x tendente a x0x0 si ottiene ponendo nella funzione x = x0x0

Esempi di funzioni continue a)La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0 lim k = k

Esempi di funzioni continue b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0 lim x = x 0

Esempi di funzioni continue c) La funzione f(x) = x n con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0 lim x n =

Esempi di funzioni continue d) Se la funzione f(x) è continua in x 0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante; cioè

Esempi di funzioni continue e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x 0 lo sono pure: f(x) + g(x)f(x) - g(x) f(x) * g(x)

Esempi di funzioni continue f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore

Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari

Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = è continua in ogni x (con a>0)

Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = è continua in ogni x>0

Esempi di funzioni continue f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx sono continue in ogni x

Funzione continua in un intervallo Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dellintervallo.

Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nellintervallo il massimo e il minimo assoluto. Teorema di Weirstrass

Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nellintervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti. Teorema di Bolzano

Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dellintervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno allintervallo. Teorema

Funzioni monotone Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se per ogni coppia di punti x 1 e x 2 dellintervallo, con x 1 < x 2 risulta: allora f(x) è crescente non decrescente decrescente non crescente MONOTONAMONOTONA

Funzioni limitate Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dellintervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dellintervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente I valori h e k possono non appartenere al codominio codominio.