MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE

Definizione Si dice che un punto x0, interno all’intervallo , è un punto di massimo relativo per la funzione f(x) se esiste un intorno completo del punto x0 , per ogni x del quale risulti:

Si dice che un punto x0, interno all’intervallo , è un punto di minimo relativo per la funzione f(x) se esiste un intorno completo del punto x0 per ogni x del quale risulti:

Si parla di massimo relativo proprio se: f(x)<f(x0). Si parla di minimo relativo proprio se: f(x)>f(x0).

I punti di massimo o minimo relativi si chiamano anche estremanti relativi di una funzione oppure punti di estremo relativi per la funzione f(x). Una funzione può assumere massimi e minimi relativi soltanto nei punti interni all’intervallo

Il massimo assoluto di una funzione continua nell’intervallo è il più grande fra i valori che essa assume nei punti di massimo relativo e i valori che essa assume negli estremi dell’intervallo . Analogamente si procede per i punti di minimo assoluto.

Massimi e minimi relativi di una funzione derivabile Teorema Se x0 è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione y = f(x) e in tale punto la funzione f(x) è derivabile risulta:

Geometricamente questo teorema è evidente, perché è intuitivo che in un punto di massimo o di minimo relativo la tangente alla curva y = f(x) (se esiste) risulta parallela all’asse delle ascisse. Per la validità del teorema è essenziale che si tratti di un massimo o di un minimo relativo, interno all’intervallo La condizione è necessaria ma non sufficiente.

Cioè può non valere l’inverso del teorema, ossia la derivata può essere nulla senza che in quel punto la funzione sia massima o minima. Esempio: y=(x-1)3+2 y’=3(x-1)2 La derivata si annulla per x = 1 ma in tale punto la curva non ha né massimo né minimo perchè non esiste un intorno completo del punto per cui risulti f(x)<f(1) oppure f(x)>f(1).

Condizioni sufficienti per l’esistenza di estremi relativi Primo criterio Teorema Sia y = f(x) una funzione continua e derivabile in un intorno H del punto x0.

1) Se, nell’intorno H, risulta: Allora x0 è un punto di minimo relativo (proprio) per la funzione.

2) Se, nell’intorno H, risulta: Allora x0 è un punto di massimo relativo (proprio) per la funzione.

3) Se la derivata non cambia segno attraversando x0, allora questo punto non è un estremante.

Secondo criterio Teorema Sia f(x) una funzione definita in un intervallo e ivi ammetta derivate prima, seconda, terza continue. Sia x0 un punto interno ad

1) Nelle ipotesi: Allora il punto x0 è un punto di massimo relativo

2) Nelle ipotesi: Allora il punto x0 è un punto di minimo relativo

3) Nelle ipotesi: Allora il punto x0 non è né un punto di massimo relativo né di minimo

Nell’ipotesi che la derivata terza sia uguale a zero, occorre determinare le derivate successive, fino ad arrivare ad una derivata, in x0 ,diversa da zero. Se quest’ultima è di ordine pari, si ha in x0 un massimo se tale derivata, calcolata in x0 , è negativa oppure un minimo se essa è positiva. Se, invece, è di ordine dispari, x0 non è né punto di massimo né punto di minimo.

Concavità e convessità di una curva Si dice che la funzione y = f(x) è convessa (volge la concavità verso l’alto) nel punto x0 se esiste un intorno I di x0 in cui il grafico della funzione non è mai al di sotto della retta tangente alla curva nel punto x0.

Si dice che la funzione y = f(x) è concava (volge la concavità verso il basso) nel punto x0 se esiste un intorno I di x0 in cui il grafico della funzione non è mai al di sopra della retta tangente in x0 alla curva.

Si dice che nel punto di ascissa x0 la curva ha un punto di flesso se in tale punto essa attraversa la tangente. Cioè nell’intorno sinistro di x0 la curva si trova al di sotto della retta tangente e nell’intorno destro si trova al di sopra della tangente o viceversa.

Secondo la posizione che assume la tangente rispetto al sistema cartesiano si parla di: flesso ascendente con tangente orizzontale flesso discendente con tangente orizzontale flesso ascendente con tangente obliqua flesso discendente con tangente obliqua flessi a tangente verticale (punti di non derivabilità)

Teorema Sia y = f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia continua in I. Se è >0 per ogni x appartenente a I allora la funzione è, in I, concava verso l’alto. Se è < 0 per ogni x appartenente a I, allora la funzione è, in I, concava verso il basso.

Metodo per determinare i punti di flesso Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo I tale che: 1) f(x) sia due volte derivabile con derivata seconda continua sia in un intorno destro che sinistro di un punto x0 interno ad I; 2) f”(x0) = 0 3) f”(x) assuma nell’intorno sinistro valori opposti a quelli che assume in un intorno destro

Allora x = x0 è un punto di flesso In particolare se allora x0 è un punto di flesso a tangente obliqua . Se allora x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale

Il punto di flesso si dice ascendente se la concavità della curva è volta verso il basso alla sinistra di x0 e volta verso l’alto alla destra di x0. Cioè la derivata seconda passa da valori negativi (per x < x0) a valori positivi (per x > x0). In caso contrario il flesso è discendente.

Esempi Determina i punti di flesso delle seguenti funzioni

Massimi minimi e flessi Data una funzione y = f(x) derivabile nell’intervallo I e se in x0 appartenente ad I risulta: f’(x0)=0 e f”(x0) > 0 allora x0 è un punto di minimo relativo f’(x0)=0 e f”(x0) < 0 allora x0 è un punto di massimo relativo f’(x0)=f”(x0)=0 e f”’(x0) > 0 allora x0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale f’(x0)=f”(x0)=0 e f”’(x0) < 0 allora x0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale

Generalizzando alle derivate n-esima Se nel punto x0 appartenente ad I sono verificate le seguenti condizioni: f’(x0)=f’’(x0)=….=f n-1(x0)=0 e si avrà uno dei seguenti casi: 1) se n è pari, il punto x0è un punto di massimo o di minimo relativo a seconda che risulti f n(x0)<0 o f n(x0)>0 2) se n è dispari, il punto x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente o discendente a seconda che risulti f n(x0)<0 o f n(x0)>0

Se nel punto x0 appartenente ad I sono verificate le seguenti condizioni: f’’(x0)=….=f n-1(x0)=0 e si avrà uno dei seguenti casi: 1) se n è pari e f n(x0)>0 la funzione è convessa in x0 2) se n è pari e f n(x0)<0 la funzione è concava in x0

3) se n è dispari e f n(x0)>0, il punto x0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua 4) se n è dispari e f n(x0)<0, allora il punto x0 è un punto di flesso a tangente obliqua discendente

Esercizio

Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato Teorema di WEIERSTRASS   Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, fra i valori assunti da f(x) ne esiste sempre uno massimo e uno minimo.    Da questo teorema si deduce che: una funzione continua f(x), definita in un intervallo chiuso e limitato [a, b], è limitata in [a, b].

Un caso particolare di questo teorema è il seguente:   Se la funzione f(x) è crescente (decrescente) in [a,b], essa raggiunge il massimo (minimo) nell'estremo destro b, mentre raggiunge il minimo (massimo) nell'estremo sinistro a .   Le ipotesi enunciate nel teorema di WEIERSTRASS, cioè che [a, b] sia chiuso e limitato e che f(x) sia continua, sono essenziali. Infatti, se viene meno una di queste ipotesi, il teorema può non essere vero.

ESEMPI

La funzione è continua in R (insieme illimitato). Tale funzione è dotata di un massimo ma non di un minimo.

Teorema dei valori intermedi (DARBOUX‑BOLZANO) Conseguenza dei teorema di WEIERSTRASS è il seguente:   Teorema dei valori intermedi (DARBOUX‑BOLZANO) Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], assume almeno una volta, qualunque valore compreso tra f(a) e f(b).

In particolare, applicando questo teorema all'intervallo che ha come estremi i due punti in cui f(x) assume, rispettivamente, il suo massimo e il suo minimo in [a, b], si può enunciare il seguente corollario: C1. Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] assume, almeno una volta, qualunque valore compreso fra il suo minimo e il suo massimo.

Teorema dell’ esistenza degli zeri   Se una funzione f (x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e se, agli estremi dell'intervallo, assume valori di segno opposto, allora essa si annulla almeno in un punto interno all'intervallo, cioè esiste un punto c, interno ad [a, b], tale che: f(c)= 0, con: a<c<b. Infatti lo zero è un valore intermedio tra f (a) ed f (b). Se f (c) = 0, si dice che c è uno “zero” della funzione f (x) e, da questa definizione, deriva il nome del teorema.

Una funzione y = f(x) continua in un intervallo chiuso [a, b] nel quale sia crescente (decrescente), definisce una funzione inversa x = f--1 (y) che è continua e crescente (decrescente) nell’intervallo [m, M], dove m ed M sono, rispettivamente il minimo e il massimo della funzione f in [a b].  

Teorema di ROLLE Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo chiuso[a, b] che abbia le seguenti proprietà: 1) sia continua in [a, b]; 2) sia derivabile in (a, b); 3) assuma valori uguali negli estremi dell'intervallo, cioè: f(a) = f(b).   In tale ipotesi, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a, b] nel quale si annulla la derivata della funzione, cioè risulta: f’( c ) = 0, a < c < b.

Esempi e controesempi

La funzione è continua e derivabile per ogni x, f(-1)=f(0)=0 allora si può applicare Rolle.

La funzione non è continua nell’intervallo, quindi non si può applicare Rolle.

La funzione è continua ma non derivabile in tutti i punti interni, infatti per x=2 derivata destra e sinistra sono diverse

Determina i parametri a e b in modo che la funzione sotto riportata verifichi le ipotesi del teorema di Rolle.

Teorema di LAGRANGE Se f(x) è una funzione continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile internamente ad esso, allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] tale che risulti:  

Conseguenze del teorema di LAGRANGE Corollario 1 Se la derivata prima di una funzione è nulla in tutti i punti di un intervallo (a,b) allora la funzione è costante.

Corollario 2 Due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un intervallo (a,b) che abbiano derivate uguali in tutti i punti dell’intervallo, differiscono per una costante.  

Corollario 3 Se in un intervallo (a,b) la derivata f’(x) di una funzione f(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in Se la derivata f’(x) è sempre negativa, la funzione è decrescente. Tali intervalli sono detti di monotonia. Il corollario 3 non è invertibile.

Teorema di CAUCHY  Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabili internamente ad esso, e se la derivata g’(x) non si annulla mai, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b], tale che sia:

Teorema (detto Regola di DE L'HOSPITAL) Siano f (x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a, tranne, al più il punto stesso. Se valgono le seguenti ipotesi: 1) f (x) e g(x) sono continue in x = a e f (a) =g(a) =0; 2) f(x) e g(x) sono derivabili in Ho = H ‑ {a}; 3) g'(x) è diversa da zero in HO allora esiste anche e risulta:

4) esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate allora esiste anche e risulta:

Ossia esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è uguale al limite del rapporto delle derivate.

Teorema (detto Regola di DE L'HOSPITAL) Siano f (x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a, tranne, al più il punto stesso. Se valgono le seguenti ipotesi: 1) f (x) e g(x) sono infinite per x tendente ad a 2) f(x) e g(x) sono derivabili in Ho = H ‑ {a}; 3) g'(x) è diversa da zero in HO

4) esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate allora esiste anche e risulta:

Ossia esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è uguale al limite del rapporto delle derivate.