NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA SEMINARI DI METODI MATEMATICI PER L’OTTIMIZZAZIONE A.A 2011/2012 NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA PARTE I I NUMERI COMPLESSI SANTAMARIA DANIELE VENTURA MARCO

Contenuti Nascita dei numeri complessi. Rappresentazioni dei numeri complessi. Potenza n-esima. Radici n-esima. Radici n-esima dell’unità. Formule di Eulero Esercizi !

Perché i numeri complessi Niccolò Fontana detto Tartaglia (1500-1559) li utilizzò come «artifici algebrici» per risolvere equazioni di terzo grado (pubblicati da Cardano). Rafael Bombelli (1526-1572) si occupò del caso irriducibile delle equazioni di terzo grado, formulando le leggi formali di calcolo «complesso».

La Soluzione di Cardano: x3+px=q 𝑥= 3 𝑝 3 3 + 𝑞 2 2 + 𝑞 2 − 3 𝑝 3 3 + 𝑞 2 2 − 𝑞 2 Ma se 𝑝 3 3 + 𝑞 2 2 è negativo ?

Bombelli prese in esame le «quantità silvestri» ( le radici immaginarie) introducendo i termini «più di meno» (+i) e «meno di meno (-i) e formulò le seguenti regole ( algebra dei «quaternioni») : Successivamente (nel Seicento) Cartesio chiamò i «nuovi numeri» numeri immaginari e solo nell’Ottocento i numeri non immaginari furono chiamati reali. Nel Settecento si sviluppò la parte teorica dei numeri complessi, fino ad allora utilizzati come «artifizi». (+1)· (+i) = +i (–1)· (+i) = –i (+1)· (–i) = –i (–1)· (–i) = +i (+i)· (+i) = –1 (+i)· (–i) = +1 (–i)· (+i) = +1 (–i)· (–i) = –1

I numeri complessi sono nati, quindi, per risolvere un ampia classe di problemi non risolvibili in R . Un numero complesso nella forma z=x+iy È costituito da una parte reale x E una immaginaria iy dove y è il coefficiente della parte immaginaria . Per y=0 si ottiene l’insieme dei numeri reali, per cui 𝑅 ⊆𝐶

Indicheremo complesso coniugato 𝑧 come il numero complesso che ha la stessa parte reale di 𝑧 ma parte immaginaria opposta. 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 𝑧 =𝑥 −𝑖𝑦 Si definisce modulo di 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 il numero 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 Definiamo inverso di 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 il numero complesso: 𝑧 −1 = 𝑧 𝑧 2 = 𝑥−𝑖𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2

Addizione 𝑎+𝑖𝑏 + 𝑐+𝑖𝑑 = 𝑎+𝑐 +𝑖 𝑏+𝑑 Proprietà associativa. Proprietà commutativa. ∃ 0+𝑖0 . z ammette –z simmetrico rispetto all’addizione (opposto) tale che −𝑧=−𝑎−𝑖𝑏

Moltiplicazione 𝑎+𝑖𝑏 ∙ 𝑐+𝑖𝑑 = 𝑎𝑐−𝑏𝑑 +𝑖 𝑎𝑑+𝑏𝑐 Proprietà associativa e commutativa. ∃ 1+𝑖0 . z ammette il reciproco: 1 𝑧 = 1 𝑎+𝑖𝑏 = 𝑧 𝑧∙ 𝑧 = 𝑎 𝑎 2 + 𝑏 2 −𝑖 𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione vale sia a destra che a sinistra: 𝑢+𝑣 ∙𝑧=𝑢∙𝑧+𝑣∙𝑧 𝑢,𝑣,𝑧∈𝐶 𝑧∙ 𝑢+𝑣 =𝑧∙𝑢+𝑧∙𝑣 𝑢,𝑣,𝑧∈𝐶

A volte la rappresentazione algebrica dei numeri complessi può rilevarsi scomoda per alcune operazioni. È possibile, tuttavia, fare ricorso ad altre rappresentazioni. Rappresentazione Vettoriale. Rappresentazione Geometrica. Rappresentazione Trigonometrica ( o polare) Rappresentazione Esponenziale.

Rappresentazione Vettoriale Chiamiamo piano vettoriale un piano in cui si fissa: Un’origine O; Un vettore unitario 𝑂𝑉 (vettore non nullo); Il verso positivo delle rotazioni attorno O. Definiamo un numero complesso di modulo ρ (numero reale non negativo) e argomento θ ( in radianti) un operatore che associa ad ogni vettore 𝑂𝐴 un vettore vettore 𝑂𝐵 ottenuto nel seguente modo.

Si moltiplica 𝑂𝐴 per ρ e si ottiene 𝑂𝑃 . Si ruota 𝑂𝑃 attorno all’origine O di θ. Due numeri complessi si dicono uguali se hanno moduli uguali e argomenti che differiscono per un multiplo di 2π

Somma di numeri complessi (legge del parallelogramma). Prodotto di numeri complessi (prodotto dei moduli e somma degli argomenti). Il prodotto (scalare) di due vettori è uno scalare. Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore. In C il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso.

Rappresentazione Geometrica Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dato un numero complesso z=x+iy , i suoi numeri reali x e y possono essere interpretati come coordinate cartesiane del punto P 𝑧=𝑥+𝑖𝑦= 𝑂𝑃 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2

Rappresentazione Trigonometrica 𝑥=ρ cos θ . y =ρ sin θ . Da cui 𝑧 =ρ= 𝑥 2 + 𝑦 2 z=ρ( cos θ +𝑖 sin θ ) 𝜗= tan −1 (𝑦/𝑥) , 𝑥≠0 𝑧 −1 = 𝜌 −1 (cosθ −isinθ) Si definisce il prodotto di due numeri complessi z= 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 = ρ 1 ρ 2 ( cos (θ 1 + θ 2 )+𝑖 sin( θ 1 + θ 2 )) ( applicando le formule di addizione del sen e cos)

La Divisione z = 𝑧 1 ÷ 𝑧 2 = = ρ 1 ρ 2 ( cos (θ 1 − θ 2 )+𝑖 sin( θ 1 − θ 2 )) (applicando le formule di sottrazione del sen e cos) La potenza n-esima ( formula di De Moivre) (indotta dalla moltiplicazione) 𝑧 𝑛 = ρ 𝑛 ∙( cos 𝑛θ +𝑖 sin (𝑛𝜃)) , n∈𝑁 Ammette una ed una sola soluzione.

Utilizzando De Moivre si dimostra che per ogni z non nullo e 𝑛∈𝑁 esistono n radici n-esime di z tali che 𝑤 𝑛 =𝑧 Con 𝑤=𝜑(cos⁡(𝜏)+𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜏)) Date dalla formula 𝑤 𝑘 = 𝑛 𝜌 ∙ cos 𝜃+2𝑘𝜋 𝑛 +𝑖 sin ( 𝜃+2𝑘𝜋 𝑛 ) k=0,..n-1

𝑤=𝜑(𝑐𝑜𝑠𝜏+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜏) Si ha che esiste un unico φ 𝑒 ∀𝑘∈𝑍 tali che: 𝜑 𝑛 =𝜌 𝑛𝜏=𝜗+2𝑘𝜋 Per cui le radici distinte sono n ( quelle per cui k=0,1,..n-1 ) Tali punti rappresentano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro O e raggio 𝑛 𝜌 .

Nel caso z=1 si ottengono le radici n-esime dell’unità 𝜀 𝑘,𝑛 = cos θ+2𝑘π 𝑛 +𝑖 sin ( θ+2𝑘π 𝑛 ) per k=0,..,n-1.

Inoltre vale: ( 𝑛 𝑧 ) 𝑛 =𝑧 ma non vale 𝑛 𝑧 𝑛 =z Poiché 𝑧∈{ 𝑛 𝑧 𝑛 }. Analogamente: { 𝑛 𝑚 𝑧 } = { 𝑚𝑛 𝑧 } 𝑛 𝑢 ∙ 𝑚 𝑧 ={ 𝑛𝑚 𝑢𝑧 }

Sono tutti numeri distinti perché distinti sono i beta, inoltre si ha: In generale: La radice n-esima ( con n pari) di un numero positivo dà sempre due radici reali e le altre complesse. La radice n-esima ( con n dispari) di un numero positivo dà sempre una radice reale e le altre complesse. Sia N un numero qualunque, sia x una qualsiasi delle sue radice n-esime (𝑥= 𝑛 𝑁 ), allora i numeri 𝑥 𝛽 0 ,𝑥 𝛽 1 ,𝑥 𝛽 2,… 𝑥 𝛽 𝑛−1 Sono tutti numeri distinti perché distinti sono i beta, inoltre si ha: (𝑥 𝛽 0 ) 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽 0 𝑛 = 𝑥 𝑛 1= 𝑥 𝑛 =𝑁 (𝑥 𝛽 1 ) 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽 1 𝑛 = 𝑥 𝑛 1= 𝑥 𝑛 =𝑁 …….. (𝑥 𝛽 𝑛−1 ) 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽 𝑛−1 𝑛 = 𝑥 𝑛 1= 𝑥 𝑛 =𝑁 Le radici di z non sono “allineate” alle radice dell’unità.

Si dimostra, grazie ai numeri complessi, il teorema fondamentale dell’algebra (generalizzazione): Dato un Polinomio di grado n 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑎 0 𝑥 𝑛 + 𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +..+ 𝑎 𝑛−1 𝑥+ 𝑎 𝑛 , 𝑎 0 ≠0 Esso ha n radici in C, ciascuna contata con la dovuta molteplicità (ad es. per n=5 si può avere x=2 soluzione doppia, x=3 soluzione semplice, x=4 doppia, per cui n=5).

Rappresentazione Esponenziale Un numero complesso z=x+iy si può rappresentare come: 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑖𝑦 = 𝑒 𝑥 ∙( cos 𝑦 +𝑖 sin 𝑦 ) (formula di Eulero) Per un numero complesso di modulo unitario si ha: 𝑒 𝑖𝑦 = cos 𝑦 +𝑖 sin 𝑦

Tali formule sono ottenute a partire dalla forma trigonometrica z=ρ( cos θ +𝑖 sin θ ) sfruttando lo sviluppo in serie del seno, coseno e 𝑒 𝑥 , infatti: 𝑒 𝑥 =1+𝑥+ 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! +… 𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑥− 𝑥 3 3! + 𝑥 5 5! − 𝑥 7 7! +… 𝑐𝑜𝑠𝑥=1− 𝑥 2 2! + 𝑥 4 4! − 𝑥 6 6! +…

Mediante tali relazioni e posto 𝑥=𝜗 si ha: 𝑧=𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜗+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝜌 1− 𝜗 2 2! + 𝜗 4 4! − 𝜗 6 6! +… +𝑖 𝜗− 𝜗 3 3! + 𝜗 5 5! − 𝜗 7 7! +… 1− 𝜗 2 2! + 𝜗 4 4! − 𝜗 6 6! +… +𝑖 𝜗− 𝜗 3 3! + 𝜗 5 5! − 𝜗 7 7! +… = Moltiplicando e ordinando si ha: =𝜌 1+𝑖𝜗− 𝜗 2 2! −𝑖 𝜗 3 3! + 𝜗 4 4! +𝑖 𝜗 5 5! − 𝜗 6 6! −𝑖 𝜗 7 7! +… = =𝜌 1+𝑖𝜗+ (𝑖𝜗) 2 2! + (𝑖 𝜗) 3 3! + (𝑖 𝜗) 4 4! + (𝑖 𝜗) 5 5! + (𝑖 𝜗) 6 6! + (𝑖𝜗) 7 7! +… Per lo sviluppo in serie di 𝑒 𝑥 con 𝑥=𝑖𝜗 si ha 𝑧=𝜌𝑒 𝑖𝜗 ∎

Analogamente alle altre forme si ha, dato il numero complesso z: 𝑧=𝜌 𝑒 𝑖𝜃 𝑧 =𝜌 𝑒 −𝑖𝜃 𝑧 −1 = 𝜌 −1 𝑒 −𝑖𝜃

Formula di De Moivre: Radice n-esima: 𝑛 𝑧 = 𝑛 𝜌 𝑒 𝑖∙ 𝜗+2𝑘𝜋 𝑛 Potenza: 𝑧 𝑛 = 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜗

Eulero introdusse anche le seguenti formule iperboliche: sinh (𝒊𝒛) = 𝑒 𝑖𝒛 − 𝑒 −𝑖𝑧 2 =𝑖 sin 𝑧 cosh (𝑖𝑧) = 𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 2 = cos 𝑧 In particolare, se 𝑥𝜖𝑅 si ha: sinh (𝒊𝒙) = 𝑒 𝑖𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑥 2𝑖 =sin 𝒙 cosh (𝑖𝑥) = 𝑒 𝑖𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑥 2 = cos 𝑥

Dato i numeri complessi possiamo dare un significato geometrico al prodotto 𝑧∙ 𝑧 1 : 𝑧∙ 𝑧 1 = 𝜌𝑒 𝑖𝜗 𝑒 𝑖𝛼 = 𝜌𝑒 𝑖(𝜗+𝛼) ovvero una 𝛼 rotazione in senso antiorario del vettore 𝑧 .

𝑒 𝑖𝜋 +1=0 Dalle formule di Eulero si ottiene anche l’identità: 𝑒 𝑖𝜋 +1=0 In generale valgono le seguenti identità: 𝑒 𝑖𝜋/2 -i=0 𝑒 𝑖𝜋3/2 +i=0 𝑒 𝑖2𝜋 -1=0

Campi di Applicazione Teoria dei numeri Integrali impropri Equazioni differenziali Frattali Dinamica dei fluidi Meccanica Quantistica Relatività

PARTE I FINE