Mandelbrot e la geometria della natura: i frattali

Presentazione sul tema: "Mandelbrot e la geometria della natura: i frattali"— Transcript della presentazione:

1 Mandelbrot e la geometria della natura: i frattali
di Franco Federici Teoria e tecniche del problem solving 12/04/2006

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3 Benoît Mandelbrot Factotum della matematica
Interesse verso la scienza economica: studio sulla distribuzione di redditi grandi e piccoli in un’economia I prezzi del cotone: la visione tradizionale degli economisti e le immagini mentali con fenomeni casuali e stocastici Il computer e i dati

4 Benoît Mandelbrot Economisti tradizionali: piccole variazioni transitorie insignificanti (rumore) e forze macroeconomiche profonde Mandelbrot: nessuna dicotomia, ma un unico quadro unitario, strutture che passano da una scala all’altra Variazioni di prezzo casuali e imprevedibili Invarianza di scala

5 Benoît Mandelbrot: la vita
Ai margini della scienza ortodossa Nella storia del caos trovò la propria via Immagine della realtà tradotta in una geometria perfettamente sviluppata La vita di Parigi: l’École Normale Supérieure e l’École Polytechnique Problema analitico:manipolazione di forme

6 Gli studi in USA T.J.Watson Research Center IBM
La linguistica matematica La teoria dei giochi Studi economici: i prezzi delle merci Il rumore delle linee telefoniche: casuale ma con gruppi di errori Distribuzione complessa

7 Il rumore delle linee telefoniche
Rapporto geometrico coerente e proporzione costante tra le raffiche di errori e gli spazi di trasmissione pulita La polvere di Cantor Descrizione astratta ma importante per il controllo degli errori Utilizzare un segnale modesto con ridondanza anziché aumentarne l’intensità

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9 La nuova geometria Le piene e le secche dei fiumi
Effetto Noè ed effetto Giuseppe Noè=discontinuità, Giuseppe=persistenza Irregolarità, errori, polvere di Cantor: come spiegare la complessità (≠ Euclide) La geometria del contorto, dell’intrecciato Le imperfezioni: le chiavi dell’essenza di una cosa

10 La linea di costa “How long is the Coast of Britain?”
La linea di costa: infinitamente lunga ma dipendente dalla lunghezza del righello Il pedone e il satellite Le misurazioni dovrebbero convergere… …ma ↓ scala della misurazione  ↑ senza limite la lunghezza di costa

11 La dimensione Le misure euclidee non colgono l’essenza delle forme irregolari L’idea della dimensione Prospettive macro e microscopiche La vaghezza sull’interposto La dimensione frazionaria L’irregolarità: costante a scale diverse

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13 I frattali 1975 Fractus, frangere, rompere
Frattura, frazione: la nascita dei frattali Un modo per vedere l’infinito Triangolo  curva di Kock (fiocco di neve) Curva continua che non interseca mai se stessa e con lunghezza infinita Paradosso: lunghezza infinita in spazio finito

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15 L’autosomiglianza Caratterizzazione e descrizione precisa della dimensione frattale Risorse di calcolo e intuizioni Strutture irregolari in processi naturali e forme infinitamente complesse: la qualità dell’autosomiglianza Frattale significa simile a sé

16 L’autosomiglianza Omotetia interna: la simmetria da una scala a un’altra Ricorsione: una struttura all’interno di un’altra Particolari di scale sempre più piccole e con certe misurazioni costanti Forme simili a se stesse a qualsiasi ingrandimento

17 L’utilità dei frattali
Lo studio sui terremoti Christopher Scholz: riflessione sui frattali Il problema dei terremoti La distribuzione segue un modello di invarianza di scala Perché questa regolarità?

18 Le superfici Scholz: interesse nelle superfici
Geometria frattale: un aiuto per gli scienziati che studiavano i modi in cui le cose che si fondono insieme, ecc. I geofisici: descrizione della superficie della Terra (faglie, fratture, …)

19 Faglie e fratture La chiave di qualsiasi buona descrizione
Il flusso dei fluidi nel suolo Il comportamento dei terremoti Comprendere la superficie è fondamentale Nessun sistema di riferimento

20 La Terra Le superfici sono forme La superficie della Terra La scala
Scholz: geometria frattale come modo per descrivere l’irregolarità della superficie terrestre

21 Le applicazioni frattali
Problemi connessi alle proprietà di superfici in contatto fra loro Le superfici in contatto tra loro non si toccano dappertutto (irregolarità) Effetto Humpty-Dumpty Scala macro e microscopica

22 Gli aficionados Scholz: uno dei pochi che adottò i frattali
Piccolo pubblico di adepti dei frattali o pubblico più vasto di geofisici <<E’ un singolo modello che ci permette di far fronte alla varietà di dimensioni mutevoli della Terra>>

23 Grandezza e durata Quanto è grande? Quanto tempo dura?
Lo studio degli animali e degli umani: dipendenza dalla scala Fisica dei terremoti, nubi, uragani: indipendenza dalla scala La ricerca della scala come distrazione Le categorie traggono in inganno

24 Adimensionalità I vasi sanguigni: la presenza dei frattali
Nessuna cellula dista da un vaso sanguigno più di tre o quattro cellule I polmoni L’approccio degli anatomisti e l’approccio frattale

25 Il corpo umano frattale
Organizzazione frattale Dotto biliare nel fegato, fibre nel cuore, … La rete di His-Purkyne I cardiologi del caos: spettro di frequenza delle pulsazioni analogo a quello dei terremoti

26 Il corpo umano frattale
Sviluppo dell’architettura? Trasformazioni semplici in Kock, Peano e istruzioni codificate nei geni di un organismo DNA: biforcazione e sviluppo

27 Altre applicazioni Il piumino d’oca sintetico Gli alberi botanici
Al di là di un’eccezione

28 Apprezzamenti Un modo di descrizione, calcolo, riflessione su forme irregolari e frammentate, frastagliate e spezzate Struttura organizzativa dietro la complicazione delle forme Exxon, General Electric, Hollywood Modelli di May e Yorke: regolarità insospettate, descritte da invar. di scala

29 Mandelbrot e i fisici Furono i fisici a creare la scienza del caos
Mandelbrot fornì il linguaggio e un catalogo di immagini della natura

30 Mandelbrot e i fisici Il programma matematico descriveva meglio di quanto non spiegasse Gli scienziati fecero predizioni… …ma i fisici volevano sapere di più: volevano sapere perché La grande sfida In natura c’erano forme che attendevano di essere rivelate

31 Attrattori strani frattali
David Ruelle e Florins Takens Il fenomeno della turbolenza Un attrattore strano è un sottoinsieme di punti nello spazio delle fasi di natura diversa da quella degli oggetti euclidei Dimensione non intera, ma frattale Attrattore caotico ≠ attrattore strano Topologicamente diversi

32 Attrattori strani frattali
Caotico: si fa riferimento alla dinamica caotica del sistema in cui si origina l’attrattore (sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali e orbite confinate) Strano: ci si riferisce alle proprietà geometriche (frattale) Caoticità e forma geometrica sono due prospettive diverse per definire lo stesso oggetto o sono due cose diverse? Orbite confinate in una regione limitata dello spazio delle fasi Due cose fondamentalmente diverse?

33 Attrattori strani frattali
Perlopiù gli attrattori caotici sono strani e gli attrattori strani sono caotici, idea che è all’origine dell’identificazione comune dei due concetti, ma… …sono stati descritti casi di attrattori strani non caotici e casi di caotici non strani

34 La turbolenza La linea di demarcazione dei fisici
Interesse nell’eliminare la turbolenza considerata spesso come un disastro Grande interesse

35 La turbolenza E’ un grande disordine a tutte le scale E’ instabilità
Grande dissipazione di energia E’ movimento diventato casuale Regolare  turbolento ? Tutte le regole sembrano venir meno Il fumo di sigaretta

36 La comparsa dei frattali
I fluidi e i vortici A ogni scala, in un vortice turbolento si trovano nuove regioni di flusso calmo Omogeneità  intermittenza Aspetto altamente frattale: regioni frammiste di irregolarità e regolarità a scale che vanno dal grande al piccolo

37 L’inizio della turbolenza
Passaggio da regolarità a turbolenza Transizioni di fase Caos: comportamento macroscopico difficile da predire sulla base di particolari microscopici

38 Studi quantitativi 1973: Harry Swinney e Jerry Gollub
Flusso fra cilindri rotanti (di Couette-Taylor) L’esperimento si rivelò inefficace Il flusso diventava caotico

39 David Ruelle e Floris Takens
Ruelle e Takens: On the Nature of Turbolence Un’alternativa alla concezione tradizionale

40 L’attrattore strano Vive nello spazio delle fasi
Una delle invenzioni più efficaci della scienza moderna Punti fissi Cicli limite Sistemi complessi con molte variabili indipendenti  spazio delle fasi di dimensioni infinite

41 Un punto fisso? Ruelle: strutture visibili nel moto turbolento riflettevano strutture spiegate da leggi ancora sconosciute Dissipazione di energia in un flusso turbolento verso un attrattore… …non un punto fisso Nel sistema entrava e usciva energia

42 Un ciclo limite? Similarità al pendolo con molla e attrito
Ma è veramente così? La turbolenza in un fluido era cosa diversa Turbolenza come rumore bianco Serve un altro tipo di attrattore Stabile, con un n° piccolo di dimensioni, non periodico Un rompicapo

43 Il precedente Edward Lorenz (1963) Il primo attrattore strano
Curve e spirali infinitamente profonde, che non si univano mai e mai si intersecavano Ma all’interno di uno spazio finito <<l’apparente contraddizione>> La millefoglie e le superfici infinite

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45 Gli sviluppi Tentativi teorici e ricerca sperimentale
Disegnare immagini di attrattori strani: la tecnica della proiezione e… la mappa di Poincaré Si toglie all’attrattore una dimensione, trasformando una linea continua in una collezione di punti Il processo è un campionamento intermittente dello stato di un sistema

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47 Michel Hénon L’attrattore strano più illuminante e più semplice
Meccanica celeste ≠ sistemi terrestri Conservazione e dissipazione Il sistema solare è stabile? Modelli delle orbite delle stelle attorno al centro della loro galassia

48 Michel Hénon Visualizzazione delle orbite stellari attraverso una particolare mappa: Xn+1=1-αxn2+yn e yn+1=βxn L’emergenza di una distribuzione regolare Orbite non completamente regolari, ma che possono essere predette Orbite periodiche Completo disordine e resti di ordine

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50 Gli attrattori di Hénon
La mappa del fornaio Le matrioske Impossibilità di predizione Attrattore strano No path-dependency

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52 La “stranezza” dappertutto
…dovunque c’era casualità Nessuno aveva visto realmente un attrattore strano in laboratorio e… …nessuno sapeva come misurarne le proprietà Era solo chiaro che era frattale Proprietà comuni in sistemi non lineari? Ogni sistema lineare era a se stante

53 L’universo frattale Luciano Pietronero
L’universo ha una struttura frattale irregolare, disuniforme, con immani regioni vuote Il frattale di Julia Frattali deterministici… …e stocastici

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55 L’universo frattale Massa dei solidi pieni: V = L3
Frattali solidi includono molti vuoti Massa proporzionale alla “dimensione frattale” Con D=2, d = L2/L3 = 1/L La scoperta della frattalità delle strutture cosmiche

56 L’universo frattale L’assunto della cosmologia: galassie distribuite in modo uniforme e isotropo, visibili in ugual quantità da qualunque direzione si guardi Fisica statistica: densità delle galassie è autosimile (cosmo frattale) La legge di potenza d = KS-b Distribuzioni prive di scala

57 L’universo frattale Perché la notte è buia?
Perché non è sempre giorno? Varie risposte Risposta “frattale”: la densità decresce con la distanza e quindi non ci arriva luce da vaste zone vuote Ancora misteri…

58 Bibliografia James Gleick, “Caos”, BUR Biblioteca Universale Rizzoli (2000) Cristoforo S. Bertuglia e Franco Vaio, “Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali”, Bollati Boringhieri (2003) Luciano Pietronero, “La scoperta dei frattali cosmici”,