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Due parole sullinterpolazione Daniele Marini. Due problemi trovare una funzione incognita a partire da dati campione –che assuma nei punti campione il.

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Presentazione sul tema: "Due parole sullinterpolazione Daniele Marini. Due problemi trovare una funzione incognita a partire da dati campione –che assuma nei punti campione il."— Transcript della presentazione:

1 due parole sullinterpolazione Daniele Marini

2 Due problemi trovare una funzione incognita a partire da dati campione –che assuma nei punti campione il valore dato: interpolazione –che assuma nei punti campione un valore vicino: approssimazione in questo caso si richiedono anche proprietà di smoothing o smussatura/lisciatura

3 Interpolazione di dati dati n punti distinti (x i,y i ) determinare una funzione f(x) tale che f(x i )=y i si possono imporre ulteriori vincoli, ad esempio sulla derivabilità della funzione ai vari ordini e sul valore delle derivate in tutti i punti o nei punti estremi se la funzione f è un polinomio di grado k si parla di interpolazione polinomiale; se k=1 si parla di interpolazione lineare

4 Interpolazione polinomiale se il numero di punti è elevato per garantire linterpolazione bisogna ricorrere a un polinomio di grado elevato (>3) e la funzione interpolante può avere oscillazioni indesiderate in questo caso si ricorre a interpolazione a tratti ad esempio con spline cubiche o di terzo grado

5 Interpolazione a spline cubiche dati N punti si scelgono k funzioni S j polinomiali di terzo grado imponendo: –la funzione S 0 passa per i punti p 0,p 1, p 2, p 3 –la funzione S 1 passa per i punti p 4,p 5,p 6,p 7 –... – si impongono condizioni di continuità in p 3 =p 4, p 7 =p 8,... –si impongono condizioni di continuità sulle derivate prime e seconde nei punti comuni –si impongono condizioni agli estremi (es. S 0 =S k =0)

6 Spline cubiche Si supponga di avere N punti {x k, y k } k=1..N le cui ascisse siano ordinate in modo crescente, ovvero: x 1 < x 2 < · · · < x N Si voglia quindi costruire la funzione S(x), detta Spline cubica, formata da N 1 polinomi cubici S k (x), dove S k (x) = c k,0 +c k,1 (x x k ) +c k,2 (x x k ) 2 +c k,3 (x x k ) 3 per x k x k+1 e k = 1, 2,..., N 1.

7 Spline cubiche Allora la S(x) avrà la forma: Dovranno quindi essere soddisfatte le condizioni: 1.S (x k ) = y k k = 1, 2,..., N 2.S k 1 (x k ) = S k (x k ) k = 2, 3,..., N 1 3.S k 1 (x k ) = S k (x k ) k = 2, 3,..., N 1 4.S k-1 (x k ) = S k (x k ) k = 2, 3,..., N 1

8 Spline cubiche Infine per determinare le funzioni occorre trovare i valori dei coefficienti c k,i, k=1..,N, i=0..3

9 Interpolazione lineare dati due punti (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) si ricava lequazione della retta passante per essi: dati n punti si ricorre allinterpolazione lineare a tratti: ogni coppia di punti è interpolata da un segmento di retta, la funzione interpolante non è continua alle derivate (è una spezzata)

10 Approssimazione si richiede che la funzione incognita passi vicino ai punti campione occorre rendere minima una qualche distanza (norma) –si definisce un residuo: r i =(y i -f(x i )) –si definisce una norma, ad esempio quadratica:

11 Approssimazione -minimi quadrati supponendo che la funzione approssimante sia un polinomio di grado n-1: occorre rendere minima la norma:

12 Approssimazione - spline curve di Bezier costruite con funzioni di Bernstein cubiche altri metodi: B-spline, interpolazione di Hermite,...


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