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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

2 Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. Argomenti della lezione Massimi e minimi liberi. Massimi e minimi liberi.

3 FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

4 Ricordiamo la formula di Taylor, con il resto alla Lagrange, per le funzioni di una variabile: Se f : U R R, è una funzione n+1 volte derivabile in un intorno U del punto x 0, allora esiste un solo polinomio T n (x), detto di Taylor, di grado n, tale che f(x)= T n (x)+ r n (x) con r n (x)= ((D n+1 f)( )/(n+1)! ) (x-x 0 ) n+1, compreso tra x e x 0.

5 k! T n (x)= k=0 n (D k f)(x 0 ) _______ (x-x 0 ) k Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simile per le funzioni di più variabili. Iniziamo dal caso di due variabili. r n (x)= (x) (x-x 0 ) n, con (x) 0 per x x 0, ossia r n (x)= o((x-x 0 ) n )

6 Teorema (di Taylor, per funzioni R 2 R ) Se f : A R 2 R, ha derivate continue fino allordine n+1, allora f(x,y)= T n (x,y)+ r n (x,y), con r n (x,y)= o(|(x,y) T -(x 0,y 0 ) T | n )

7 Siano h e k, le due componenti di un vettore incremento di (x 0,y 0 ) T in R 2. v = (h,k) T, (x,y) T = (x 0,y 0 ) T + v. Lequazione del segmento che va da (x 0,y 0 ) T a (x,y) T è: (x(t),y(t)) T = (x 0 + t h,y 0 + t k) T, 0 t 1. F(t) = f (x 0 + t h,y 0 + t k) = F(0) + F (0) t + Prendendo come punto base t 0 =0, si trova: + t 2 + … + _____ F (0) 2! F (n) (0) ______ n! t n + F (n+1) ( ) ________ (n+1)! t n+1

8 Con compreso tra 0 e t. In particolare, prendendo t=1 : F(1) = f(x 0 + h,y 0 + k) = F(0) + F (0) + Si tratta ora di calcolare, utilizzando la formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presenti nella formula di Taylor-Lagrange. + + … + _____ F (0) 2! F (n) (0) ______ n! + F (n+1) ( ) ________ (n+1)!, (0< <1)

9 F(0) = f(x 0,y 0 ), F (0) = D t (f x(t),y(t))(0) = (D 1 f)(x 0 )h+(D 2 f)(x 0 )k, F (0)= D t 2 (f x(t),y(t))(0)=( D 11 f)(x 0 )h 2 + +(D 21 f)(x 0 ) kh +(D 12 f)(x 0 )hk +(D 22 f)(x 0 )k 2 = =(D 11 f)(x 0 )h 2 +2(D 21 f)(x 0 ) kh +(D 22 f)(x 0 )k 2 Nellultima formula abbiamo utilizzato il Teorema di Schwarz.

10 In generale se, v 1 =h e v 2 =k : 2 F (p) (0) = i 1, i 2,…, i p = 1 (D i 1 i 2 …i p f)(x 0,y 0 ) v i 1 v i 2 v i p Sappiamo che F (0) = df (x 0,y 0 ) (v). Definiamo d 2 f (x 0,y 0 ) (v,v) = F (0) = = (D i 1 i 2 f )(x 0,y 0 ) v i 1 v i 2. i 1, i 2 = 1 2

11 Definiamo in generale 2 F (p) (0) = i 1, i 2,…, i p = 1 (D i 1 i 2 …i p f)(x 0,y 0 ) v i 1 v i 2 v i p d p f (x 0,y 0 ) (v,v,…,v) = Usando la notazione dei differenziali successivi, la formula di Taylor- Lagrange diviene

12 f(x 0 + v) = f (x 0 ) + df (x 0,y 0 ) ( v) +(1/2!) d 2 f (x 0,y 0 ) (v,v) + … + (1/n!)d n f (x 0,y 0 ) (v,v,..,v) + + (1/(n+1)!)d n+1 f (x 0,y 0 )+ v T (v,v,..,v,v) Osserviamo che d n+1 f (x 0,y 0 )+ v T (v,v,…,v,v) = f)(x 0 + h, y 0 + k ) v i 1 v i 2 v i n v i n+1 2 = i 1, i 2,…, i n, i n+1 = 1 (D i 1 i 2 … i n, i n+1

13 Ma su una sfera chiusa e limitata di centro (x 0,y 0 ) e raggio |v| le derivate dordine n+1 sono tutte limitate da una costante M e v = |v|, con versore. f)(x 0 + h, y 0 + k ) v i 1 v i 2 v i n v i n+1 = 2 i 1, i 2,…, i n, i n+1 = 1 (D i 1 i 2 … i n, i n+1 f)((x 0,y 0 )+ v T ) i 1 i 2 i n i n+1 2 =|v| n+1 i 1, i 2,…, i n, i n+1 = 1 (D i 1 i 2 … i n, i n+1

14 Perciò |d n+ 1 f x 0 + v T (v,v,…,v,v)| | i 1, i 2,…, i n, i n+1 = 1 2 M i 1 i 2 i n i n+1 | |v| n+1 2 (n+1) M 2 (n+1) |v| n+1 = o(|(x,y) T -(x 0,y 0 ) T | n ). Infatti v = (x,y) T -(x 0,y 0 ) T.

15 Se f : A R m R, è una funzione di classe C n+1 (A), allora vale un teorema analogo al precedente per funzioni delle m variabili x 1, x 2, …, x m. Non lo enunciamo per brevità.

16 2 F (p) (0) = i 1, i 2,…, i p = 1 (D i 1 i 2 …i p f)(x 0,y 0 ) v i 1 v i 2 v i p d p f (x 0,y 0 ) (v,v,…,v) = Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x 0,y 0 ) T valutato sullincremento v= (h,k) T di (x 0,y 0 ) T :

17 Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y, (r+ s = p), tenendo presente che dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando il Teorema di Schwarz, si può verificare che: d p f (x 0,y 0 ) = r+s=p p! _____ r! s! p f ______ x r y s (x 0,y 0 ) dx r dy s

18 In particolare, per il differenziale secondo si ha: d 2 f (x 0,y 0 ) = ____ x2x2 2 f (x 0,y 0 ) dx ____ 2 f x yx y (x 0,y 0 ) dx dy + 2 f ____ y2y2 (x 0,y 0 ) dy 2

19 Per funzioni di m variabili: d 2 f x 0 = i,j =1 m 2 f ______ x i x j (x 1 0,x 2 0,..,x m 0 ) dx i dx j

20 MASSIMI E MINIMI LIBERI

21 Ricordiamo che, data una funzione f : A R m R, A aperto, un punto x 0 A si dice che x 0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x 0 ) tale che per ogni x U vale f(x) f(x 0 ) Se per ogni x U vale invece f(x) f(x 0 ) x 0 si dice punto di minimo relativo per f

22 Si dice che x 0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A R m R, se per ogni x A vale f(x) f(x 0 ) ( rispettivamente f(x) f(x 0 ) ) Vale il seguente

23 Teorema (di Fermat) Sia f : A R m R, A aperto. Sia x 0 A punto di massimo o di minimo relativo e sia f derivabile in x 0. Allora f(x 0 )= 0.

24 Basta ricordare che la funzione g 1 (t) = f(t,x 2 0,..,x m 0 ) ha max o min relativo in x 1 0 e quindi g 1 (x 1 0 ) = 0 = D 1 f (x 1 0,x 2 0,..,x m 0 ). Analogamente g 2 (t)=f(x 1 0,t,..,x m 0 ), …, g m (t)=f(x 1 0,x 2 0,..,t) hanno max o min relativo in x 2 0,..,x m 0

25 e quindi g 2 (x 2 0 ) = 0 = D 2 f (x 1 0,x 2 0,..,x m 0 ) …... g m (x m 0 ) = 0 = D m f (x 1 0,x 2 0,..,x m 0 ) Dunque f(x 0 )= 0.

26 I punti x 0 A, nei quali f(x 0 )= 0 si dicono punti critici o stazionari di A. I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A R m sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se f C 1 (A), tra quelli che soddisfano le m equazioni D k f (x 1,x 2,..,x m )=0, k = 1,…,m.


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