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SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES.

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Presentazione sul tema: "SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES."— Transcript della presentazione:

1 SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

2 Argomenti della lezione Superficie nello spazio. Loro area Superficie nello spazio. Loro area Formule della divergenza e di Stokes Formule della divergenza e di Stokes

3 SUPERFICIE NELLO SPAZIO. LORO AREA

4 Già abbiamo incontrato le superficie in R 3 come grafico di una funzione. Converrà presentare altri modi per descrivere una superficie; precisamente ci occuperemo della loro rappresentazione implicita come superficie di livello di una funzione f(x,y,z) e della loro rappresentazione parametrica

5 x x(u,v) y y(u,v) z z(u,v) con x(u,v), y(u,v), z(u,v) funzioni definite sulla chiusura di un aperto connesso E R 2, che supporremo sufficientemente regolari: tipicamente di classe tipicamente di classe C 1 (E)

6 Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione f: A R 3 R, che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di classe classe C 1 (A) Per il teorema di Dini sulle funzioni implicite sappiamo che se f(x 0,y 0,z 0 ) = 0 e f z (x 0,y 0,z 0 ) 0, allora esistono un intorno U di (x 0,y 0 ) e uno V di z 0, tali che linsieme dei punti che soddisfano lequazione f(x,y,z) = 0 e che stanno

7 in U V è il grafico di una funzione z = g(x,y), definita su U e a valori in V, di classe in V, di classe C 1 (U) Dunque, sotto ipotesi di sufficiente regolarità, unequazione f(x,y,z) = 0 è in grado di descrivere una superficie in R 3 Determiniamo lequazione del piano tangente a una superficie implicitamente definita in un suo punto (x 0,y 0,z 0 ) T

8 Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per il punto (x 0,y 0,z 0 ) T Tale curva abbia equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), z = z(t). Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni t in [0,1] e, per esempio, x(0) = x 0, y(0) = y 0 e z(0) = z 0.

9 Poiché necessariamente F(t) = 0, è, in particolare, F(0) = 0; ma F(0) = = 0 Dunque ogni vettore tangente alla superficie e passante per (x 0,y 0,z 0 ) T è ortogonale a grad f(x 0,y 0,z 0 ) Ma i vettori ortogonale a un assegnato vettore di R 3 stanno tutti su uno stesso piano.

10 Questo piano si dice il piano tangente alla superficie in (x 0,y 0,z 0 ) T Dunque lequazione del piano tangente alla superficie f(x,y,z) = 0 in (x 0,y 0,z 0 ) T è in termini vettoriali f(x 0,y 0,z 0 ),(x x 0,y y 0,z z 0 ) T 0

11 ossia, esplicitamente: ( x f) 0 (x-x 0 ) + ( y f) 0 (y-y 0 ) + ( z f) 0 (z-z 0 ) = 0 ( z f) 0 (z-z 0 ) = 0 Dove ( x f) 0 indica la derivata parziale di f rispetto a x calcolata in (x 0,y 0,z 0 ) T e notazioni analoghe per le altre derivate parziali. Il vettore grad f(x 0,y 0,z 0 ) è normale alla superficie f(x,y,z) = 0 nel punto (x 0,y 0,z 0 ) T

12 Supponiamo ora che una superficie sia data in forma parametrica sia data in forma parametrica : E R 2 R 3: E R 2 R 3 con (u,v) E e (u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) T Diremo che la superficie è regolare se è di classe e inoltre la matrice se è di classe C 1 (E) e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima, cioè 2, in ogni punto interno di E.

13 x u y u z u x v y v z v Esempi di questa situazione sono: (u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v,(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u) T, E = [0, π] [0, 2π] : (sfera di centro lorigine e raggio R)

14 Una superficie si dirà semplice se (u 1,v 1 ) T (u 2,v 2 ) T implica (u 1,v 1 ) (u 1,v 1 ) T (u 2,v 2 ) T implica (u 1,v 1 ) (u 2,v 2 ) quando almeno uno dei due(u 2,v 2 ) quando almeno uno dei due punti è interno ad E Consideriamo una superficie regolare semplice e un punto (u 0,v 0 ) T E. Al variare di u in modo che (u,v 0 ) T E otteniamo una linea dequazione (u, v 0 ) che giace su e passa per(u, v 0 ) che giace su e passa per (u 0, v 0 ). Analogamente troveremo(u 0, v 0 ). Analogamente troveremo

15 una linea dequazione (u 0, v) che giace su e passa per (u 0, v 0 ). Tali linee si diranno linee coordinate della superficie passanti per x 0 = (u 0, v 0 ). Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i due vettori u (u 0, v 0 ) e v (u 0, v 0 ) sono linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore u (u 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) è ortogonale a u (u 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) è ortogonale a V

16 Lequazione del piano tangente si ottiene sviluppando il determinante x x 0 y y 0 z z 0 x u (u 0,v 0 )y u (u 0,v 0 )z u (u 0,v 0 ) x v (u 0,v 0 )y v (u 0,v 0 )z v (u 0,v 0 ) 0

17 N = - f u e 1 - f v e 2 + e 3 Il vettore ha norma |N| = [1+|grad f| 2 ] |N| = [1+|grad f| 2 ] Il versore normale è n = N/|N| Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, x = u, y = v, z = f(u,v), il vettore normale è (1,0,f u ) T (0,1,f v ) T = V

18 Vogliamo ora occuparci del problema della definizione dellarea di una superficie regolare. Il problema non è banale, poiché lidea intuitiva di approssimare una superficie con tratti di superficie triangolare, prendendo il sup di queste aree, non è praticabile. Infatti semplici esempi mostrano come anche un cilindro possa essere avvolto con carta sufficientemente increspata in modo che il sup sia +

19 Partendo dallosservazione che larea di un parallelogramma delimitato da due vettori a e b è data dal modulo del prodotto vettoriale di a e b, definiremo elemento darea sulla superficie come segue d | u v |dudv V Cioè d = |N| dudv

20 Data una superficie regolare semplice dequazione : E R 2 R 3 dequazione : E R 2 R 3 definiremo area della superficie il valore del seguente integrale V A ( ) | u E v |dudv |N|dudv E Se è data in forma cartesiana esplicita E A ( ) 1 | f| 2 dxdy

21 Se è la sfera di centro lorigine e raggio R, avente lequazione parametrica già ricordata, si trova d = R 2 sen u dudv, con 0 u π e 0 v 2 π. Larea è A( ) R 2 senududv 4 R

22 Supponiamo che sia data una linea nel piano x z, x 0, dequazione (u) = (x(u),z(u)) T, u [a,b]. Se(u) = (x(u),z(u)) T, u [a,b]. Se facciamo rotare questa linea intorno allasse z di un angolo ]0,2 π], otteniamo una figura di rotazione. Ricordiamo che x xds ( )

23 dà lascissa del baricentro della curva. Lequazione della superficie di. Lequazione della superficie di rotazione è (u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u)) T(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u)) T con E = [a,b] [0,] u (u 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) = u (u 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) = (- x(u)z(u) cos v, -x(u)z(u) sen v, x(u) x(u) ) T V e il modulo è

24 | u v | x 2 (u) z 2 (u)x(u) | (u)|x(u) Ma Cioè A ( ) x ( ) A ( ) | (u) | dudv x(u)ds E x(u)

25 Quanto abbiamo appena enunciato è il Primo teorema di Pappo-Guldino Larea di una superficie di rotazione ottenuta rotando di un angolo ottenuta rotando di un angolo ]0,2 π] attorno allasse z una curva regolare semplice è data da A ( ) x ( ) dove x è lascissa del baricentro di (I)(I)

26 Larea del toro ottenuto rotando intorno allasse z un cerchio di raggio r nel piano x z, cerchio a distanza R > r con centro sullasse x è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π 2 R r

27

28 R + r x z

29 E x z

30 Sia E un dominio del piano x, z, con x 0, e lo si faccia rotare di un angolo ]0,2 π], intorno allasse z. Vogliamo determinare il volume del solido di rotazione S generato da E. Sia D = E [0,] e sia F: D S data da F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v) T che ha determinante jacobiano = u > 0

31 Allora V(S) 1 dxdydz ududvdw D S dwududv xdm E E 0 x m(E) dove x è lascissa del baricentro del dominio E. Dunque abbiamo

32 Secondo teorema di Pappo - Guldino Il volume di un solido di rotazione S ottenuto rotando di un angolo ]0,2 π], intorno allasse z un ]0,2 π], intorno allasse z un dominio E, contenuto nel piano x, z, con x 0 è dato da V(S) = x m(E) dove x è lascissa del baricentro geometrico di E.

33 Applicato al toro, questo teorema ci dà il volume V(T) = 2πR π r 2 = 2π 2 R r 2

34 FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

35 Una superficie regolare si può orientare localmente scegliendo come positivo uno dei due orientamenti possibili del vettore normale N o -N. In generale si potrà dire che è data, almeno localmente, unorientazione positiva se in un intorno di uno stesso punto è assegnata unorientazione dell vettore normale.

36 Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo con il punto nel quale è calcolato. Se, al variare del punto sulla superficie n è una funzione continua su tutta la superficie, allora la superficie si dice orientabile.

37 Sfortunatamente esistono superficie non orientabili quali il nastro di Möbius

38 Il nastro di Möbius ha equazioni con 0 v 2π e -1 u 1, r > h ) 2 1 (),( )()) 2 1 cos((),( ) )) 2 1 cos((),( vsenhuvuz vsenvhurvuy vv rvux

39 Ma molte superficie sono orientabili come la sfera o come le superficie che delimitano un dominio normale rispetto al piano x y. Data una funzione f : A R 3 R, f continua, e data una superficie regolare con sostegno = (E) A, definiremo lintegrale superficiale di f esteso a, come segue

40 fd f( E (u,v))| u v |dudv V Se indichiamo con E = | u |, con Se indichiamo con E = | u | 2, con G = | v |, e con F = si trova che G = | v | 2, e con F = si trova che | u v | E G F 2 V

41 Sia dato un dominio regolare D normale rispetto al piano x y, delimitato da due superficie di classe, : A R 2 R e sia Z(x,y,z) C 1 (A),, : A R 2 R e sia Z(x,y,z) una funzione continua con la sua derivata rispetto a z su un aperto derivata rispetto a z su un aperto contente D. Allora vale il seguente

42 Teorema (Formula di Gauss) Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha Z z D (x,y,z)dxdydz Z n e,e 3 d

43 Qui si è scelta come positiva la normale esterna. Dalla formula di riduzione per corde si ha Z z D dxdydz dxdy(Z z dz (x,y) (x,y) A ) Z(x,y, (x,y))dxdy Z(x,y, )dxdy A A

44 Z n e,e 3 d Più in generale, con procedimenti analoghi, si può dimostrare che (X x D Y y Z z )dxdydz (X,Y,Z) T,n e d Lo scalare X x + Y y + Z z si dice la divergenza del campo F = (X,Y,Z) T : div F

45 Dunque la divergenza di un campo su un dominio D uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale Infine abbiamo il teorema di Stokes

46 Teorema (Teorema di Stokes) Sia A un dominio nel piano x y avente frontiera A gen. reg. e orientata positivamente. Sia f(x,y) di classe positivamente. Sia f(x,y) di classe C 1 (A)

47 Sia X(x,y,z) continua con le derivate X y e X z su un aperto contenente f(A). Allora vale denXenXXdx zy ),, ( 23 dove = f(A)

48 Infatti, posto g(x,y) = X(x,y f(x,y)), risulta g y = X y + X z f y Per Green denXenX zy ),,( 23 dxdyfXX A yzy )( A dxdy ggdxXdx y

49 Se Y(x,y,z) e Z(x,y,z) soddisfano ipotesi analoghe con le loro derivate opportune, e la superficie è rappresentabile esplicitamente anche nelle variabili x, z e y, z, allora dnrotF ZdzYdyXdx, )( con F = (X,Y,Z) T

50 A A n


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