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CIRCONFERENZA TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI.

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Presentazione sul tema: "CIRCONFERENZA TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI."— Transcript della presentazione:

1 CIRCONFERENZA TEORIA PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI

2 CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA

3 ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA A B M N Retta tangente Retta secante Freccia o sagitta Diametro AB ( ) Centro T Punto di tangenza Q P Raggio Arco BQ Corda PQ

4 PROPRIETA' FONDAMENTALI 01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. R L

5 02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti). P Q M N R

6 03.-Corde parallele determinano archi congruenti compresi fra le parallele. A B C D

7 04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza corrispondono archi congruenti. A B C D Corde congruentiArchi congruenti Le corde sono equidistanti dal centro

8 POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE 01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro. r R d = distanza fra i centri ; d : pari a zero

9 R r Distanza fra i centri (d) 02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune. d > R + r Rr

10 d = R + r 03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. r R R r Punto di tangenza Distancza fra i centri (d)

11 d R d = R - r 04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza. d: Distanza fra i centri R r Punto di tangenza

12 05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni che sono i punti d'intersezione. R r ( R – r ) < d < ( R + r ) Distanza fra i centri (d)

13 06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono perpendicolari nel punto d'intersezione. d 2 = R 2 + r 2 Distanza fra i centri (d) r R

14 06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni. R r d d < R - r d: Distanza fra i centri

15 1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono disegnare due rette tangenti che determinano due segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio risulta perpendicolare alla tangente. PROPIETA' DELLE TANGENTI AP = PB A B P R R

16 2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti AB = CD A BC D R R r r

17 3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti. AB = CD A B C D R R r r

18 TEOREMA DI PONCELET.- In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Raggio inscritto Raggio circoscritto

19 TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale. a + c = b + d d a b c Quadrilatero circoscritto

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21 1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale alla misura dell'arco che gli si oppone. A B C r r = AB

22 A C B D 2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale alla semisomma delle misure degli archi opposti

23 A B C 3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto.

24 4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI- INSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto. A B C

25 A B C 1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà della misura dell'arco ABC.

26 A B C O 6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi : a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure degli archi opposti. + AB = 180°

27 A B C O D b.- Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla semidifferenza della misura degli archi opposti.

28 A B C O c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due archi opposti.

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30 50° 70º+x X R S Q 140° 2X X + (X+70) + 50° = 180° X = 30° Per l'angolo escritto PQS Problema Nº 01 RISOLUZIONE P Sostituendo: Nel triangololo PQS: Risolvendo l'equazione: PSQ = x Si disegna la corda SQ Dal punto P esterno a una circonferenza si disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la misura dell'angolo PSQ.

31 20° 70° X X = 40° R Q H Nel triangolo rettangolo RHS 140° Si tratta di proprietà che porta a: 140° + X = 180° Per l'angolo inscritto si ha Problema Nº 02 RISOLUZIONE P S L'angolo S = 70º Risolvendo: PSQ = x QR = 140° Da un punto P esterno a una circonferenza si hanno le due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone un punto S, si traccia la RH perpendicolare alla corda QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR?

32 x 130° A C B D X = 40° 50° Problema Nº 03 RISOLUZIONE P Risolvendo: APD = x Misura dell'angolo interno Misura dell'angolo esterno BC = 50° Da un punto P esterno a una circonferenza si disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º.

33 x X = 18° M N 54° x x Problema Nº 04 RISOLUZIONE P A B APN = x Si disegna ioil raggio OM: o Dati: OM(raggio) = PM Allora il triangolo PMO è isoscele L'angolo al centro è uguale all'arco Misura dell'angolo esterno Risolvendo: In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga fino al punto P, dal quale si disegna una retta secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura dell'angolo APN?

34 x 70° Misura dell'angola inscritto: X = 55° A B C P Q R 110° Problema Nº 05 RISOLUZIONE PRQ = x Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: Risolvendo: 70° + PQ = 180° PQ = 110° In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza. Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti P, Q e R. Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura l'angolo PRQ?

35 Calcola la misura dell'angolo X. Problema Nº 06 70° B A X P Risoluzione

36 RISOLUZIONE Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: Misura dell'angolo inscritto: 70° B A X P C 140º 140º + x = 180º Risolvendo: X = 40º AB=140º

37 Calcolare la misura dell'angolo x Problema Nº 07 B A X P 130º Risoluzione

38 RISOLUZIONE B A XP 130º C Misura dell'angolo inscritto: Nella circonferenza: 260º Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti: X = 80º AB = 260º ACB = 100º ACB + x = 100º 260º + ACB = 360º

39 Calcula il perímetro del triangolo ABC. Problema Nº A B C Risoluzione

40 Teorema di Poncelet: a + b = (2) Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = (2p) = 24 RISOLUZIONE A B C a b a + b = 14 (1) (2) Sostituendo la (1) nella (2) (2p) =

41 X Disegno Q R S 80º P a a Problema Nº 09 Dal punto P esterno alla circonferenza si disegna la tangente PQ e la secante PRS in modo che gli archi SQ e SR siano congruenti. Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza dell'angolo QPR. Risoluzione

42 2a + 80º = 360º a = 140º Misura dell'angolo esterno: X = 30º Nella circonferenza: Risoluzione X Q R S 80º P a a

43 P Q R S 2 3 Disegno Problema Nº 10 In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la lunghezza di PR Risoluzione

44 Teorema di Poncelet: a b c d PQR a + b = PR+2(3) + a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm Dato: a + b + c + d = 22cm PSR c + d = PR+2(2) 22 = 2PR + 10 Risoluzione P Q R S 2 3


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