Luigi Borzacchini (Dipartimento di Matematica, Università di Bari) Le stagioni della matematica e della logica Orientamento Consapevole Bari, 13 marzo.

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1 Luigi Borzacchini (Dipartimento di Matematica, Università di Bari) Le stagioni della matematica e della logica Orientamento Consapevole Bari, 13 marzo 2015

2 Le tecniche e le teorie matematiche L’idea più diffusa oggi è che la matematica sia uno strumento di natura linguistica per la scienza e per la tecnica, che sia una sorta di deposito di algoritmi, teorie e tecniche in cui tradurre i problemi reali. La matematica è certamente utile nelle tecnologie e in tutte le professioni moderne, magari ha anche un suo fascino, ma non viene ritenuta (spesso neanche dai matematici) vera cultura come la filosofia, la storia, la letteratura, il diritto, l’arte, il cinema, etc. Ed è anche considerata fredda, poco umana, solo tecnica, per giunta difficile e artificiosa.

3 Logica, storia e filosofia della matematica discipline ai ‘confini del matematica’. Infatti nessun teorema o algoritmo consiste in un’indagine storica o filosofica, e nessun teorema o algoritmo è stato mai scoperto per vie strettamente logiche. Infatti l’ intelligenza matematica non ha né una natura storica né una struttura immediatamente formale: è più intuitiva, e si raffina nello studio delle discipline matematiche. Ma spesso alla radice di quelle intuizioni ci troviamo riflessioni storiche o filosofiche, e sempre alla fine delle loro scoperte i matematici cercano di dare a quelle scoperte un rigore logico.

4 La matematica al centro della storia della cultura, con la filosofia, l’arte e la musica, la religione, il lavoro e la tecnica, il linguaggio e la letteratura. Sono discipline che disegnano una matematica che non è solo teoremi, teorie e algoritmi. Sono discipline ai confini della intelligenza matematica sono però al centro della cultura matematica. E pongono interrogativi, creano dubbi. Vanno in direzione opposta alle consuete discipline matematiche che invece cercano di dare certezze. Ed anche per questo sono discipline borderline, discipline di frontiera Storia e filosofia della matematica

5 La cultura matematica La matematica è la più antica delle discipline, è riconoscibile già nelle tavolette mesopotamiche di 5000 anni fa, e tracce si trovano già nel paleolitico. Il teorema di Pitagora era noto prima di Pitagora ai Babilonesi e forse anche ai Cinesi. Forse solo la medicina è altrettanto antica, ma nessuno oggi si farebbe curare da un medico babilonese, mentre …

6 Eterna e Universale, Certa e Oggettiva La matematica è eterna: il teorema di Pitagora è vero oggi quanto duemila anni fa. La matematica è universale: a New York, nella giungla africana o fra i talebani la matematica si insegna ed è la stessa, tutte le altre discipline no. La verità matematica è certa, diversa da quella empirica, che è solo verosimile. La matematica è presente nella realtà. Wigner: the unreasonable effectiveness of mathematics. Eternità, universalità, certezza, presenza nel reale: la matematica è stata sempre connessa al divino

7 La filosofia della Matematica Tre questioni: i) qual è la natura degli enti matematici? Esistono realmente o sono costruzioni solo mentali? Da dove deriva la loro certezza? ii) perché sono perfettamente applicabili alla realtà naturale? iii) e come li conosciamo, quale è la nostra via di accesso alla matematica? La risposta platonica: gli enti matematici esistono in un mondo ideale, si riflettono nel mondo reale, e li percepiamo con gli occhi della mente La risposta aristotelica: gli enti matematici sono solo concetti astratti dalla realtà, eliminandone aspetti materiali e variabili: certi perché poveri, solo logici.

8 Logica, Storia e Filosofia della Matematica… … appaiono a prima vista molto diverse. La logica matematica appare una disciplina molto tecnica con un linguaggio di tipo algebrico. La filosofia della matematica oggi non la fanno più i filosofi, che conoscono troppo poco la matematica, bensì i logici, che descrivono i fondamenti logici della matematica. La storia della matematica è considerata invece puramente descrittiva, da fare empiricamente in archivio e in biblioteca per descrivere l’evoluzione dei risultati matematici Ma possiamo collegarle fra di loro, ad esempio …

9 … la verità e la dimostrazione L’idea di dimostrazione prima di Euclide era sostanzialmente quella di una costruzione geometrica che rendeva evidente una certa proprietà: ad esempio il teorema di Pitagora. Con Aristotele e Euclide la dimostrazione assume forma sintattica, quasi una traduzione della costruzione. E la dimostrazione per assurdo? La verità è un concetto semantico, riguarda cioè il rapporto tra una asserzione e lo stato delle cose, ed è essenzialmente empirica. Ma in matematica è anche dimostrativa: la dimostrazione dovrebbe garantire un accesso immediato e certo, non empirico, alla verità. Ma come nasce, e da dove, la dimostrazione? assente non solo negli animali ma anche nelle popolazioni primitive, e ignota prima dei Greci ? La verità è un concetto semantico, la dimostrazione è un concetto sintattico

10 Ma verità e dimostrabilità sono due cose molto diverse. Dimostrare che è una paginetta nel libro di geometria che garantisce la certezza del teorema, verificarlo significa effettuare infinite misure, per giunta un risultato solo verosimile! : T. Ma T è vera? Non è empiricamente vera, allora : T’. Ma T’ è vera? Non è empiricamente vera, allora : T’’. Ma T’’ è vera? … La giustificazione logica della dimostrazione si traduce in un regresso infinito (Charles Dodgson)  Lewis Carroll

11 Non si può dimostrare che la dimostrazione consenta l’accesso completo alla verità Storicamente questo accesso si è verificato attraverso la costruzione geometrica evidente Ma chi garantisce che questo accesso sia universale, valido anche per le costruzioni degli altri casi? E il teorema di incompletezza di Kurt Gödel ci dimostra anzi che nessuna idea di dimostrazione può garantirci l’accesso completo alle verità neanche in aritmetica. Storia, filosofia e logica della matematica mostrano così che la matematica non è un edificio costruito sul granito ma un’avventura dell’intelligenza.

12 … ma la matematica antica era la nostra matematica elementare?’ Solo in parte. E anche l’insegnamento della matematica era più naturale ed intuitivo, basato su figure, senza lettere e meno mnemonico. Per Platone l’aritmetica andava ‘ricordata’, e «niente di matematico deve essere insegnato per costrizione all’uomo libero» (Respublica). E la geometria era alla base della formazione nella Accademia (Plutarco) Nel Rinascimento l’apprendimento diventa fortemente mnemonico e autoritario (la tabellina pitagorica, einmaleins, la prova del nove, l’algoritmo per estrarre le radici, la regola del tre, etc.)

13 Ma servono le tabelline? 12345678910 2468 1214161820 36912151821242730 481216202428323640 5101520253035404550 6121824303642485460 7142128354249566370 8162432404856647280 9182736455463728190 102030405060708090100 Gli egiziani ne facevano a meno, bastava il raddoppio. Esempio: per fare 21x13, decompongo uno dei due fattori in potenze di 2: 21 = 1+(2)+4+(8)+16 e calcolo i corrispondenti raddoppi dell’altro fattore: 13 +(26)+52+(104)+208 e sommo = 273. Le tabelline non servono? Come sforzo mnemonico, no

14 … e nessuno dimostra la prova del 9 Le congruenze: il resto della somma è la somma dei resti, il resto del prodotto è il prodotto dei resti: 20 X 30 = 600 Resto rispetto a 7: 6 x 2 = 12 ≡ 5 (resto nella divisione per 7) 2 Ma questo va bene per ogni Intero! Perché il 9? Perché è più facile 12 calcolare i resti 6 5

15 Si può dimostrare che il resto nella divisione per 9 si ottiene sommando le cifre. Ad esempio il resto di 3757 sarebbe 3+7+5+7=22 e quindi ≡ 2+2=4. Infatti 3757= 3 x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 +7 Basta far vedere che il resto di 10 n diviso per 9 è sempre 1 1000000…| 9 9 11111... 10 9 10 9 10 9 10 9 1 ……… 10 n+1 =9x10 n +10 n ≡ 10 n

16 L’algebra geometrica ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2, L’algoritmo della radice quadrata: calcolare √Q. Sia a una prima approssimazione e b il resto, b<<a. Se tolgo il quadrato nero grande da quello iniziale e ignoro Q=( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ≈ a 2 + 2 a b, da cui b ≈ (Q- a 2 )/2a quello nero piccolo ho i due rettangoli, da cui ho un’approssimazione di b, e ripeto la procedura Fino al Medioevo non esisteva l’algebra simbolica

17 … ed anche le equazioni di II grado Per noi x 2 + bx = c si risolve aggiungendo b 2 /4 ad ambo i membri, da cui (x + b/2) 2 = c+b 2 /4 e x = -b/2  (c+ b 2 /4). Per al-Khwarizmi il quadrato centrale ha area x 2 e quindi la croce centrale ha area c: se gli aggiungiamo i 4 quadratini di area b 2 /16 otteniamo che il quadrato grande di lato x + b/2 ha area c + b 2 /4. Estrai la radice e sottrai b/2, ottieni x. In entrambi hai il ‘completamento del quadrato’. Ma perché la matematica moderna è più complicata? CC C b 2 /16 b x/4

18 L’infinito Per i Greci era un concetto impraticabile, una zuppa di paradossi (Zenone), e rendeva impraticabile descrivere la retta sia come infinita sia come un continuo composto di infiniti punti (Euclide). L’infinito potenziale, «puoi sempre aggiungere qualcosa» era accettabile (i numeri non avevano un massimo, l’intervallo era prolungabile). L’infinito attuale, «non puoi aggiungere più nulla» era invece impraticabile sia matematicamente che filosoficamente. I due infiniti erano non l’opposto del finito, ma l’uno l’opposto dell’altro

19 Discreto e Continuo: Numeri e Grandezze Prima dei greci sull’abaco non vi era una vera distinzione tra discreto e continuo, la differenza tra unità e punto era solo nell’avere o no una posizione. Nella matematica greca invece vi era una divisione netta tra esse, unico ponte il concetto di rapporto. Il Medioevo è più pragmatico, nella misura si usa il numero per le grandezze continue, e poi l’infinito è indispensabile perché attributo divino. Lo scandalo della storia: l’idea di numero reale non esiste fino al Cinquecento, poi diventa ovvia, intuitiva con Descartes e Stevin, ma verrà analizzata solo alla fine dell’Ottocento (Dedekind, Cantor).

20 Il Rinascimento e la Rivoluzione Scientifica Torniamo alla matematica ‘complicata’: gli psicologi cognitivi hanno sempre notato un salto nella formazione matematica tra la matematica iniziale ‘di numeri e figure’ e quella ‘con le lettere’. Alla fine del Cinquecento nasce una matematica del tutto nuova, con due nuovi intrusi: i segni algebrici e l’infinito, estranei alla conoscenza comune, e da cui nascono altri enti matematici ‘inesistenti’: i numeri reali e i logaritmi, le serie, gli infinitesimi, derivate e integrali, la geometria analitica, l’algebra simbolica, etc. E la didattica diventa allora necessariamente più autoritaria e mnemonica.

21 I segni e l’infinito: il numero reale: 3.14159……. Le due grandi novità della matematica moderna: due temi inesistenti nella matematica greca. Il punticino separa due mondi: a sinistra un numero finito e potenzialmente infinito, a destra una sequenza attualmente infinita: il numero reale è una grande invenzione ma assurda! e qui?

22 Il labirinto del continuo (Leibniz) Il continuo era per Leibniz un ‘labirinto’, in cui la mente si perde. Se la retta è composta di infiniti punti di dimensione 0, come può una somma di infiniti 0 essere diversa da 0? E poi tutti i segmenti sarebbero uguali. E qual è il punto immediatamente a destra di un punto dato? Se non coincide c’è un intervallo con un punto medio, e allora il secondo punto non è l’immediato successore.

23 I segni nell’abaco non servivano. Le cifre indo-arabe erano gli ingredienti essenziali degli algoritmi (da Al-Khwarizmi). Ed anche algebra è una parola araba (da al jabr), ma l’algebra islamica non manipolava ‘segni’, solo parole. Nel Medioevo in Europa la matematica non è più un frammento del linguaggio naturale, nasce il primo ‘linguaggio artificiale’ della storia: l’algebra simbolica, in cui i segni algebrici appaiono nella abitudine degli Amanuensi di troncare, legare, fondere i caratteri. Impensabile per un popolo con una lingua sacra come l’arabo, ma accettabile per una lingua ‘senza aura’ come il latino medievale. E trai segni appaiono anche quelli algebrici

24 Dalla geometria all’algebra: il sisma e la crisi Sin dai Greci la ‘matematica’ era stata soprattutto geometria, con la dimostrazione euclidea quale paradigma della ragione, e dal Cinquecento anche fondamento della meccanica. L’aritmetica era solo pratica, con problemi ma quasi senza dimostrazioni La matematica moderna pone invece al centro algebra e aritmetica, e diventa autonoma e formale. I due pilastri che fondavano la matematica, la evidenza della dimostrazione geometrica e il rapporto con la fisica finiscono nel regno dei segni. E appare allora una domanda inedita: Qual è il fondamento della matematica?

25 La logica e i fondamenti della matematica Molti filosofi della matematica oggi vedono nella logica l’ingrediente essenziale per descrivere le basi della matematica, anzi con la logica pensano di poter fondare la matematica senza conoscerla. D’altro canto la maggior parte dei matematici pensano che la logica sia inutile: è per loro sufficiente la logica implicita, acquisita nella conoscenza della matematica: «la matematica è quello che fanno i matematici» Sbagliano entrambi, ma non tantissimo…: la logica ci mostra la struttura fine della ragione formale, ma non la creazione matematica

26 La logica matematica … …. è stata uno dei fatti culturali più importanti del XX secolo, sia teoricamente che praticamente. Il computer ha un corpo elettronico, ma un’anima logica: le macchine di Turing, l’architettura di von Neumann. I teoremi di incompletezza di Gödel sono forse, con la fisica quantistica, il tema culturale più analizzato dell’ultimo secolo, persino da filosofi e artisti. Il linguaggio logico è la base, anche se spesso implicita, di tutto il formalismo delle scienze moderne e non solo della matematica: dalla fisica alla computer science e alle scienze della vita.

27 La logica: la ragione umana si esprime attraverso il linguaggio. La logica formale: la struttura della ragione si riflette in quella della sintassi. La ragione formale consiste nel ragionare senza comprendere. da «Michele è brindisino» e «Tutti i brindisini sono pugliesi» si deduce «Michele è pugliese», ed il significato è chiaro ed evidente. Ma se dico: «Michele è un sarchiapone» e «Tutti i sarchiaponi sono sesquipedali», posso dedurre formalmente «Michele è sesquipedale», ma il significato è oscuro: la deduzione è un fatto solo sintattico, relativo ad una forma del tipo «a è un B», «tutti i B sono C», e dunque «a è un C». La verità era invece un fatto semantico.

28 La logica aristotelica Proposizioni: Sillogismo:, , ma,  ?? Oggetto: filosofia naturale, come scienza delle cause e degli universali. Conoscere la causa della eclisse è scienza, conoscerne la data no. Limiti: individui, negativi e relazioni. Da non si poteva dedurre. Paradossi dei relativi, l’infinito. Il mentitore: «io sto mentendo»

29 La logica scolastica e il Rinascimento Nel medioevo si sviluppa una nuova forma della logica aristotelica, il cui oggetto però non è la natura ma i testi, la Bibbia e poi i commenti ai testi sacri e aristotelici. Il ruolo della tecnica e dell’infinito La fine del Medioevo e il Rinascimento iniziano la crisi della logica aristotelica: da Leonardo a Galileo la logica della scienza diventa la matematica. Leibniz: la deduzione come calcolo, il calcolo come deduzione: definire 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, etc. e poi, sostituendo gli uguali: 3+2=3+1+1=4+1=5

30 Una logica per la nuova scienza «I matematici non studiano gli oggetti, ma le relazioni tra oggetti» (Poincarè). Gli interi e le figure erano aggettivi, la misura era un numero, mentre i numeri reali sono rapporti tra grandezze, le curve come equazioni sono relazioni tra variabili, la misura è relativa ad una unità campione: la scienza moderna è fatta di relazioni. L’analisi in forma algebrica diventa il linguaggio simbolico della scienza. Serve una logica di simboli, che tratti le relazioni e l’infinito. L’infinito, le relazioni e l’individuale, diventati essenziali in matematica, lo sono anche nella nuova logica.

31 La logica di Frege Proposizioni: Predicato(t 1, t 2, ….. t n ), per trattare gli individui e le relazioni: regalo(Anna, Michele, libro). Dimostrazione: una sequenza di formule ciascuna delle quali o è già nota (assioma o teorema già dimostrato) o si ricava dalle formule precedenti mediante regole di inferenza sintattiche, ad esempio da A e A  B puoi inferire B. Oggetto: la matematica. Il formalismo matematico sostituirà l’idea di ‘verità’ con l’idea di ‘dimostrazione’, che appare ormai come un ‘calcolo’ meccanico: non c’è nulla da capire

32 I numeri e i segni I Principia Mathematica di Russell e Whitehead. «Se ci vogliono 27 equazioni per provare che 1 è un numero, quante ce ne vorranno per dimostrare un vero teorema?» (Poincarè). I teoremi matematici come ‘compressione’ di teoremi logici. E nonostante il teorema di incompletezza la matematica moderna si basa su un approccio formale.

33 Tutta la teoria degli algoritmi e la stessa matematica formale trattano i segni come numeri e viceversa. Ma la riduzione alla manipolazione dei segni non è stata solo una nuova fondazione per la matematica: ha prodotto anche innovazioni tecnologiche e culturali pervasive come il computer che calcola manipolando segni. E questo è il quesito più basilare della filosofia della matematica oggi: che rapporto c’è tra i segni e la matematica? Abbiamo fatto un viaggio nel rapporto tra i numeri, i segni e la ragione umana. I numeri sono solo i segni con cui li indichiamo e con cui calcoliamo? I segni sono solo numeri astratti, come la x in algebra? I due mondi coincidono?

34 Questa presentazione potete trovarla in rete nel sito: www.dm.uniba.it/Members/borzacchini nella cartella Orientamento Consapevole. Nello stesso sito trovate un testo introduttivo di storia e fondamenti della matematica e un corso introduttivo alla logica matematica di slides e tutorials Auguri!