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University of Perugia Reti di TLC Esercitazione 3 Ing. Mauro Femminella Reti/

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Presentazione sul tema: "University of Perugia Reti di TLC Esercitazione 3 Ing. Mauro Femminella Reti/"— Transcript della presentazione:

1 University of Perugia Reti di TLC Esercitazione 3 Ing. Mauro Femminella Reti/

2 University of Perugia Sistemi di servizio »Il sistema viene descritto attraverso variabili aleatorie quali: » k = numero di utenti nel sistema » l = numero di utenti nella sola fila dattesa » h = numero di serventi contemporaneamente occupati » x = tempo di servizio » s = tempo di permanenza nel sistema (tempo di coda o di ritardo) » w = tempo di permanenza nella fila dattesa sorgenti di traffico 1 2 n serviziofila dattesa 2 m L 1

3 University of Perugia Sistemi di servizio · La variabile aleatoria k viene caratterizzata attraverso la sua probabilità limite in regime permanente k = p k =probabilità che in un generico istante di osservazione in regime permanente siano presenti k utenti allinterno del sistema

4 University of Perugia Parametri prestazionali »Probabilità di sistema bloccato (m serventi) »Probabilità di rifiuto »r.s.o. richiesta di servizio offerto »Probabilità di servizio bloccato (m serventi) »Probabilità di ritardo »r.s.a. richiesta di servizio attesa

5 University of Perugia Sistemi a coda monoserverte (L= ) · La richiesta in arrivo è servita se trova il servente disponibile, altrimenti viene inserita in fila dattesa. · Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti a pacchetto. 1 2 n servizio sorgenti di traffico fila dattesa

6 University of Perugia Sistema a coda M/M/1/ / · Ipotesi: »tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ingresso di Poisson ; »tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ; »processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. »singolo servente; »un numero comunque elevato di utenti possono trovare posto nella fila dattesa. · Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,1,…} · Il processo di coda K(t) è ergodico se /µ<1

7 University of Perugia Evoluzione temporale nascite morti 0 1 t 2 3 k(t) ingresso servizio 4

8 University of Perugia Frequenze di transizione di stato per k 0 per k 1 frequenza di nascita frequenza di morte 012k... k+1

9 University of Perugia per k 0 Probabilità limite di stato (1) · Per lequilibrio dei flussi si ha: posto = / per <1 si ha lequazione di congruenza Già noto dal Teorema di Little

10 University of Perugia per k=0, 1,... Probabilità limite di stato (2) · Quindi la probabilità di avere k utenti nel sistema è

11 University of Perugia Probabilità limite di stato (3) · Il numero medio di utenti nel sistema è · Il tempo di permanenza medio è (Teorema di Little)

12 University of Perugia Probabilità limite di stato (3) k 0.12 Probabilità limite di stato p k =0.9 La distribuzione è di tipo geometrico con parametro

13 University of Perugia · In condizioni di equilibrio statistico lintensità media di traffico smaltito A s coincide con lintensità di traffico offerto A o · La probabilità di servizio bloccato S r coincide con la probabilità di ritardo r Parametri prestazionali = prob. che il servente sia occupato = la percentuale temporale di occupazione del servente = la prob. che una richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda

14 University of Perugia · l= lunghezza della fila dattesa=numero di utenti nella fila dattesa · h=numero di serventi impegnati · il numero medio di utenti allinterno del sistema è quindi Distribuzioni in equilibrio statistico

15 University of Perugia · Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la distribuzione del tempo di attesa e: · Detto inoltre w r l r-percentile del tempo di attesa (cioè quel valore che non è superato per una percentuale di tempo uguale a r) Tempi di attesa

16 University of Perugia Tempi di coda (1) · La distribuzione del tempo di coda è · detto inoltre s r il percentile r% del tempo di coda

17 University of Perugia Tempi di coda (2) Tempo Distribuzione del tempo di coda =0.5 =0.6

18 University of Perugia Tempi di coda (3) Al crescere dellintensità di traffico il tempo di coda tende allinfinito Intensità media di traffico (Erl) Tempo medio di coda =0.2 1/

19 University of Perugia Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto · Ipotesi: »I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono rappresentabili mediante processi di Poisson »I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono indipendenti tra loro; indipendenti »Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione esponenziale negativa e sono indipendenti tra loro; »Il processo di ingresso complessivo è indipendente dal processo di servizio Canale di uscita 1 2 k

20 University of Perugia Sistemi a coda multiservente · La richiesta in arrivo è servita subito se trova almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti è rifiutata. · Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti telefoniche. 1 2 n S sorgenti di traffico

21 University of Perugia sorgenti di traffico telefonico risorse del sistema di commutazione Modelli per sistemi di commutazione telefonici · Le sorgenti di traffico telefonico presentano richieste di connessione (tentativi di chiamata). giunzione · Il servente del sistema di commutazione (indicato con il termine generico di giunzione) esplica le funzioni necessarie a supportare la chiamata. · Si indica con il termine congestione la condizione in cui si trova il sistema di commutazione quando, al presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in grado di effettuare la connessione.

22 University of Perugia Sistema a coda M/M/m/0/ · Ipotesi: »tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ( ); »tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ( ); »processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. »m serventi, statisticamente identici ed indipendenti; »capacità nulla della fila dattesa. · Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,…, m}. per ogni valore positivo di e µ · Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni valore positivo di e µ (coda a perdita)

23 University of Perugia nascite morti 0 1 t K(t) ingresso servizio Evoluzione temporale · Il numero di utenti nel sistema coincide con il numero di serventi contemporaneamente occupati

24 University of Perugia Frequenze di transizione di stato · k per 0 k m-1frequenza di nascita · k k per 1 k m frequenza di morte 012m-1... m m (m-1)

25 University of Perugia Probabilità limite di stato · Per l equilibrio dei flussi si ha (come nel caso M/M/1): » per 1 k m »inoltre da cui »posto A 0 = traffico offerto al sistema, risulta

26 University of Perugia Probabilità di congestione di chiamata · Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato che la probabilità di r.s.o. é indipendente dallo stato, si ha: · Nel caso di sistema a coda M/M/m/ FORMULA B DI ERLANG

27 University of Perugia Formula B di Erlang · Lespressione della probabilità di sistema bloccato e di rifiuto per un sistema a coda M/M/m a perdita in senso stretto é denominata anche funzione di Erlang del 1° tipo di ordine m e di argomento A o · Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo ricorsivo, infatti: »con il primo elemento pari a:

28 University of Perugia Formula B di Erlang · La grande importanza della formula B di Erlang risiede anche nel fatto che essa risulta valida qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di servizio (ferma restando lipotesi di i.i.d). · In condizioni di equilibrio statistico la distribuzione del numero di utenti nel sistema è funzione del solo tempo medio di servizio 1/m e non della distribuzione del tempo di servizio stesso

29 University of Perugia Parametri prestazionali · Intensità media di traffico smaltito A s, che rappresenta il numero medio di serventi contemporaneamente occupati, dipende da A o e dal numero di serventi m: · Intensità media di traffico rifiutato: · Coefficiente di utilizzazione del servente:

30 University of Perugia Probabilità di rifiuto in funzione di m · La probabilità di rifiuto, a parità di A 0, decresce al crescere del numero di serventi m A o =1 A o =10 A o =20 A o =30 A o =40 A o =50 Numero di serventi m Probabilità di rifiuto

31 University of Perugia Dimensionamento di m in funzione di p · La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una funzione monotona crescente di A 0 Intensità media di traffico offerto A 0 (Erl) Numero di serventi m p =0.01 p =0. 1

32 University of Perugia Probabilità di rifiuto in funzione di A0

33 University of Perugia in funzione di A 0 (1) Probabilità di rifiuto p= Intensità media di traffico offerto A o (Erl) Coefficiente di utilizzazione Numero di serventi (scala logaritmica)

34 University of Perugia in funzione di A 0 (2) in condizioni di equilibrio statistico MIGLIORE »A parità di congestione di chiamata, sistemi con elevato numero di serventi presentano, in condizioni di equilibrio statistico, un rendimento MIGLIORE rispetto a sistemi con pochi serventi. Probabilità di rifiuto p= Intensità media di traffico offerto A o (Erl) Coefficiente di utilizzazione Numero serventi (scala logaritmica) 16 25

35 University of Perugia Esempio numerico 1 »Traffico offerto ad una linea telefonica A o =100 Erl »Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l1% »Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci con n=2, 4, 10,25, 50, 100 »Si può notare come allaumentare di n aumenta il numero di fasci necessari e diminuisce il di ogni singolo fascio m=117

36 University of Perugia · Dimensionamento del sistema: stimato il traffico offerto A 0 e fissato il valore massimo per la probabilità di congestione di chiamata max, determinare m: »trovare il più piccolo valore di m tale per cui »tale valore può essere facilmente determinato per tentativi a partire da m=1 »il valore effettivo della congestione di chiamata potrà risultare inferiore a max B di Erlang: dimensionamento del sistema

37 University of Perugia · Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei serventi ed il traffico offerto, determinare la probabilità di di congestione di chiamata: »Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito A s * e il numero di serventi m da cui si può stimare A 0 attraverso la relazione seguente »Una volta calcolato A 0 si calcola la probabilità di congestione di chiamata B di Erlang: valutazione delle prestazioni

38 University of Perugia Esempio numerico 2 (1) »Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una grande azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale (RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali. »Si consideri inoltre che: »nellora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette verso la RTN; »nellora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è mediamente 180; »il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano; »la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con valor medio pari a 3 minuti; »la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4; »il PABX è del tipo a perdita pura. »Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con congestione di chiamata non superiore all1%. »Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita nellora di punta.

39 University of Perugia Esempio numerico 2 (2) · Il PABX può essere modellato con un sistema a coda del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra PABX e RTN · Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari alla somma del traffico uscente · e del traffico entrante · quindi

40 University of Perugia Esempio numerico 2 (3) · Per calcolare il numero di linee necessario a garantire una probabilità di congestione di chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più piccolo m tale per cui · Si ottiene in tal caso m=25 · A causa del vincolo sulla modularità il numero di linee da inserire sarà pari quindi a m=28 · Dato tale numero di linee la congestione di chiamata sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti

41 University of Perugia Esempio numerico 2 (4) · Per determinare la frequenza massima delle chiamate consentita nellora di punta si calcola prima il valore di A 0,max tale per cui · da cui si ricava A 0,max = · per cui

42 University of Perugia Esempio numerico 3 (1) · Si consideri il PABX dellesempio 1 dimensionato con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete Telefonica Nazionale. · A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a seguito di una campagna di misure si è riscontrato, nellora di punta, un valore di intensità media di traffico smaltito pari a circa Erl.

43 University of Perugia Esempio numerico 3 (2) · Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico offerto al sistema risolvendo lequazione »da cui si ha · Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha · Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado di servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un leggero incremento dellutenza. Bisognerà quindi ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità di rifiuto sotto la soglia dello 0.01


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