Distribuzioni limite La distribuzione normale Si consideri una variabile casuale rappresentata mediante una combinazione lineare di altre variabili casuali.

Presentazione sul tema: "Distribuzioni limite La distribuzione normale Si consideri una variabile casuale rappresentata mediante una combinazione lineare di altre variabili casuali."— Transcript della presentazione:

1 Distribuzioni limite La distribuzione normale Si consideri una variabile casuale rappresentata mediante una combinazione lineare di altre variabili casuali e che di tale variabile casuale si voglia determinare la distribuzione di probabilità Teorema del limite centrale “Sotto condizioni molto generali, man mano che il numero delle variabili presenti nella sommatoria diventa grande, la distribuzione della variabile somma si avvicina sempre più alla distribuzione normale”. Oss.: Il teorema vale in “condizioni molto generali” ovvero se (1) le variabili considerate nella sommatoria sono indipendenti e ugualmente distribuite, (2) se le variabili sono indipendenti e diversamente distribuite. Il termine “si avvicina” non va inteso nel senso matematico di limite ma è più opportuno leggerlo come “viene approssimata da”. Infine, il termine “grande” dipende dalla bontà dell’approssimazione richiesta e dalla natura delle distribuzioni delle variabili presenti nella somma.

2 Distribuzioni limite La distribuzione normale

3 Distribuzioni limite La distribuzione normale Variabile standardizzata

4 Modello limite dell’operatore valore estremo Sia Z la variabile massimo di n variabili casuali X i La sua funzione di probabilità cumulata è: Se tutte le X i sono indipendenti:

5 Nel caso in cui tutte le X i abbiano la medesima distribuzione di probabilità, si ha: Modello limite dell’operatore valore estremo

6 La distribuzione di Gumbel Da prima: Se le variabili X i sono a)indipendenti fra di loro b)ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica X i può essere approssimata dalla seguente legge: con g(x) monotona crescente, allora:

7 La distribuzione di Gumbel La media e la varianza della popolazione si stimano con la media e la varianza campionaria Sostituendo le stime della media e della varianza della popolazione nel sistema è possibile stimare i coefficienti u e .

8 La variabile ridotte di Gumbel Sia: dove Ne segue che la distribuzione di probabilità cumulata di Y è: Pertanto:

9 La variabile ridotte di Gumbel Da questo segue: Ma essendo

10 Il piano di Gumbel Quindi: Pertanto nel piano di Gumbel la variabile Z è legata alla variabile ridotta Y da una legge lineare che mostra u come intercetta (parametro di posizione) e  come parametro che ne descrive la pendenza (parametro di scala). 024 6 21050 100

11 Il piano di Gumbel

12 Plotting position Per riportare i punti campionari nel piano di Gumbel si procede nel seguente modo: Si ordina il campione in modo crescente Si stima la frequenza campionaria con una formula del tipo: dove N è il numero dei dati che compongono il campione a e b variano a seconda della formula: nel caso di Gringorten a= 0,44 e b=0,12 i è la posizione del i-esimo valore nel campione ordinato Si associa la frequenza campionaria stimata alla variabile ridotta di Gumbel nel seguente modo:

13 Plotting position Si formano le coppie x i,y i dove x i è il valore numerico del dato campionario che occupata la i-esima posizione nel campione ordinato in modo crescente

14 La distribuzione EV2 Le variabili X i sono a)indipendenti fra di loro b)ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica X i può essere approssimata dalla seguente legge: allora:

15 La distribuzione EV2 Riportiamo la distribuzione EV2 sul piano di Gumbel Introduco una prima variabile ridotta: Da prima:quindi:

16 La distribuzione EV2 Introduco una seconda variabile ridotta: Però non è ancora la variabile ridotta di Gumbel

17 La distribuzione EV2 024 6 21050 100 Poiché k<0 la curva Z 2 =f(Y 1 ) ha una concavità rivolta verso l’alto e andamento esponenziale

18 La distribuzione EV2

19 Essendo Si ha:

20 La distribuzione EV2 Operativamente

21 La distribuzione EV3 Le variabili X i sono a)indipendenti fra di loro b)ugualmente distribuite e se (c) n tende all’infinito (d) la coda della distribuzione di probabilità cumulata della generica X i può essere approssimata dalla seguente legge: allora:

22 La distribuzione EV3 Riportiamo la distribuzione EV3 sul piano di Gumbel Da prima:quindi: Introduco una prima variabile ridotta:

23 La distribuzione EV3 Introduco una seconda variabile ridotta:

24 La distribuzione EV3 024 6 21050 100 Poiché k>0 la curva Z 3 =f(Y 1 ) ha una concavità rivolta verso il basso

25 La distribuzione GEV 024 6 21050 100