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Scale di misura delle variabili Qualitative: nominali o ordinali –lunico parametro valutabile è la proporzione Quantitative: intervalli o rapporti –possono.

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Presentazione sul tema: "Scale di misura delle variabili Qualitative: nominali o ordinali –lunico parametro valutabile è la proporzione Quantitative: intervalli o rapporti –possono."— Transcript della presentazione:

1 Scale di misura delle variabili Qualitative: nominali o ordinali –lunico parametro valutabile è la proporzione Quantitative: intervalli o rapporti –possono essere eseguiti dei calcoli, i parametri valutabili sono molti (statistiche descrittive numeriche: misure di posizione e di dispersione) –possono essere discrete o continue.

2 Richiami di statistica descrittiva Dati univariati Dati bivariati Dati multivariati Descrivere e sintetizzare i dati osservati attraverso grafici (es. distribuzioni di frequenza), indici di posizione e dispersione

3 Indici di posizione Indicano la tendenza centrale di un insieme di dati Media aritmetica Proprietà della media aritmetica: la sommatoria degli scarti di ogni dato dalla media (momento di 1° ordine) è nulla. la sommatoria del quadrato degli scarti (momento di 2° ordine) è minima (ovvero non esiste alcun altro punto che sostituito alla media dia un valore inferiore

4 Indici di posizione Se i dati sono espressi come frequenze: Se i dati sono espressi come proporzioni: media aritmetica media aritmetica ponderata

5 Moda: è il valore della classe a cui corrisponde la maggiore frequenza. Media armonica: è il reciproco della media dei reciproci, idonea a mediare rapporti tra 2 variabili. Media geometrica: è la radice ennesima del prodotto di n dati. Idonea per mediare tassi. Indici di posizione Mediana: divide la serie ordinata in due parti di uguale numerosità

6 Indici di tendenza centrale resistenti Trimmed mean: media aritmetica nella quale non vengono considerate le code della distribuzione (es. il 5% dei dati) M-estimators (Maximum likelihood estimators): media aritmetica pesata con peso funzione della distanza dal valore centrale. Si differenziano per la funzione di assegnazione dei pesi.

7 Quantili: misure di posizione non centrale. Sono valori che dividono la serie ordinata in un certo numero di parti di uguale numerosità. Percentili: dividono la serie ordinata in 100 parti uguali. Il p-esimo percentile di una distribuzione è quel valore con p% dei valori inferiori ad esso. In statistica inferenziale sono interessanti il 1, 2.5, 5, 95, 97.5 e 99 esimo percentile Quartili dividono la serie ordinata in 4 parti uguali. Sono il 25 esimo, il 50 esimo (è la mediana) e il 75 esimo percentile Lintervallo tra il 25 esimo e il 75 esimo percentile si chiama distanza interquartile. Decili: dividono la serie ordinata in 10 parti uguali. Sono il 10, …80, 90 percentile. Indici di dispersione

8 Campo di variazione (Range): X max - X min Devianza (Sum of Squares) Varianza (o Quadrato Medio o Mean Square) Se i dati sono in frequenze: Scarti dalla media Se i dati sono in proporzioni:

9 Deviazione standard (standard deviation) Indici di dispersione Coefficiente di variazione (CV)

10 Indici di dispersione Teorema di Tchebysheff: indipendentemente dalla distribuzione, fissata una costante K, lintervallo contiene almeno [1-(1/K 2 )] dati. (s è la dev.standard) Es. K = 2 lintervallo contiene almeno il 75% dei dati K = 3 lintervallo contiene almeno l 89% dei dati Approssimativamente, se una distribuzione è simmetrica e a campana: lintervallo contiene il 68% dei dati lintervallo contiene il 95% dei dati lintervallo contiene quasi il 100% dei dati

11 Indici di forma Asimetria (Skewness) Curtosi (Kurtosis) negativa positiva platicurtica leptocurtica

12 Cambio di scala dei dati Se trasformo una variabile: a = cambio di origine b = cambio di scala La media e la varianza vengono trasformate nel modo seguente: Aggiungere una costante ai dati non ha effetto sulla loro varianza

13 Analisi esplorativa dei dati Tra i più comuni strumenti grafici (oltre ai bar charts e histograms) della EDA sono i diagrammi stem and leaf e box plot diagramma stem and leaf 2.2, 2.2, 3.1, 3.1, 3,3, 3,4, 4.2, 4,6, 4,7, 4.8, Si considerano le prime 2 cifre significative ( in questo caso lintero numero). la prima cifra costituisce lo stem, la seconda le leaf si ottiene una specie di distribuzione di frequenza

14 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 7, , , , , , , , , ,00 Extremes (>=10,8) Stem width: 1,0 Each leaf: 1 case(s)

15 Box plot mediana 1° quartile 3° quartile 1,5 * diff. interquartile La mediana e il box indicano asimmetria nella parte centrale della distribuzione, i bracci presenza di code Outlayer (<3*diff int) Outlayer (>3*diff int)

16 Inferenza statistica POPOLAZIONE: insieme di tutte le manifestazioni relative a un certo fenomeno. Può essere finita o infinita. In genere ci si occupa di popolazioni molto grandi. CAMPIONE: sottoinsieme della popolazione. Se estratto casualmente rappresenta la popolazione in esame. Popolazione e campione

17 Obiettivi dellinferenza statistica 1.Test delle ipotesi 2.Stima dei parametri della popolazione

18 Probabilità: definizioni Spazio campione: insieme di tutti i possibili risultati o realizzazioni ottenibili. Realizzazione (outcome): risultato specifico ottenuto. Evento: combinazione di realizzazioni, che ha caratteristiche specifiche di interesse. Esempi spazio campione del lancio di un dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 spazio campione del lancio di 2 dadi:

19 Probabilità: definizioni La probabilità di un evento A è indicata da P(A) ed è sempre compresa tra 0 e 1 Se due eventi si escludono lun laltro, sono detti mutualmente esclusivi. La somma delle probabilità di tutti gli eventi mutualmente esclusivi deve essere = 1 Il complemento di un evento è il non verificarsi di tale evento. Il complemento di A è indicato con Ā P(Ā) = 1 - P(A) Due eventi A e B sono detti indipendenti se la probabilità che si verifichi A non è influenzata dal fatto che si sia verificato B o viceversa.

20 Regole per combinare le probabilità Per combinare le probabilità di più eventi valgono le seguenti regole Se due eventi sono indipendenti, la probabilità che entrambi si verifichino è: P(A and B)= P(A)P(B) La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è: P(A or B)= P(A)+P(B) Se i due eventi non sono mutualmente esclusivi: P(A or B)= P(A)+P(B) - P(A and B)

21 Distribuzioni di probabilità Variabile casuale: numero che viene assegnato a ciascuna realizzazione di un esperimento Distribuzione di probabilità: probabilità associate a ciascun valore della variabile casuale La variabile casuale può essere discreta o continua 1. Distribuzioni di probabilità discrete (di VC discrete) 2. Distribuzioni di probabilità continue (di VC continue) La distribuzione di probabilità è la distribuzione teorica della popolazione, i cui parametri si intendono indagare La media di una distribuzione di probabilità è detta valore atteso della variabile casuale

22 Distribuzioni di probabilità della somma di due dadi da gioco ERRORE NEL GRAFICO DATI TRUCCATI! NORMALI TRUCCATI

23 Distribuzioni di probabilità discrete p(y) 1 p(y) = 1 Valore medio (valore atteso): = y p(y) Varianza: 2 = (y- ) 2 p(y) y p(y)

24 Distribuzioni di probabilità continue 1 Sono descritte da funzioni. Di queste ci interessa solo lintegrale Larea sottesa dalla curva è = 1 Larea sottesa dalla curva tra due valori (es. a-b) è la probabilità che la variabile casuale assuma valori compresi tra a e b a b x y x y

25 Distribuzioni di probabilità di interesse Distribuzione binomiale Distribuzione normale Distribuzione del t di Student Distribuzione di F di Fisher Distribuzione del 2 Distribuzione di Poisson Distribuzione del Q Distribuzione binomiale negativa Distrib Gamma, beta, Cauchy, Gumbel, Weibull, Log-normale ecc…

26 Popolazione binomiale Il caso più semplice di popolazione con variabili qualitative è la popolazione binomiale. Viene detta binomiale perché sono contemplate solo due possibilità, due possibili realizzazioni. Vengono quindi analizzate le proporzioni delle due realizzazioni contemplate, dove: p è la proporzione di individui che presentano una certa caratteristica (1-p) è la proporzione di individui che non la presentano.

27 Convenzionalmente ad una delle due realizzazioni possibili viene assegnata letichetta di successo e viene indicata con 1. Laltra (insuccesso) viene indicata con 0. Si indicano: P(1) = p P(0) = q = (1 - p) La distribuzione binomiale descrive la distribuzione di una variabile casuale Y che è il numero di successi in un campione di numerosità n, composto cioè da n realizzazioni indipendenti dellevento elementare. Distribuzione binomiale

28 La variabile casuale Y (numero di successi in un campione di numerosità n) è una variabile discreta che ha possibili realizzazioni: 0, 1, 2, …, n Si tratta in sostanza di associare una probabilità a ciascuna di queste realizzazioni. La formula è la seguente: Distribuzione binomiale Dove y è una delle possibili realizzazioni di Y

29 Ho un sacco con 40 palline bianche e 60 nere. Levento successo è dato dalla estrazione di una pallina bianca. Estraggo, con reimmissione, 5 palline. Quale probabilità di estrarre 2 palline bianche? p=0.4q=0.6 n=5y=2 - Se i successi sono 2, gli insuccessi saranno 5-2=3 - Poiché le realizzazioni sono indipendenti: P = 0.4*0.4*0.6*0.6*0.6 = = cioè: p 2 q 3 = p 2 (1-p) 3 = p y (1-p) (n-y) Questa è la probabilità di una sola possibile sequenza di estrazioni con 2 successi. (prime 2 estrazioni successo, ultime 3 insuccesso) Origine distribuzione binomiale

30 Non avendo definito la sequenza di successi ed insuccessi a priori, per avere la probabilità di ottenere 2 successi in 5 realizzazioni devo considerare tutte le possibili combinazioni delle possibili estrazioni con 2 successi e applicare la regola additiva delle probabilità. Il numero delle combinazioni possibili si può ottenere dal calcolo combinatorio: Origine distribuzione binomiale Quindi la probabilità di estrarre due palline bianche estraendone 5 da una popolazione con p=0,4 è: p(2) = 10 x =

31 Campione di numerosità 3 da popolazione con p=0.5

32 Campione di numerosità 3 da popolazione con p=0.1

33 Caratteristiche della distribuzione binomiale Dove y è una delle possibili realizzazioni di Y Se i dati sono espressi come frequenze: Valore medio (valore atteso): =np Varianza: 2 = np(1-p) È descritta da un solo parametro: p

34 Distribuzione normale Tra le varie distribuzioni di probabilità, una ha ruolo fondamentale in statistica: la distribuzione normale o Gaussiana E simmetrica intorno alla media ed è a forma di campana Ha il massimo in x= e 2 flessi in E completamente definita da 2 parametri (media e varianza – ovvero dev. St.) e viene sinteticamente indicata con N( ; ) La variabile x (variabile casuale) può avere valore da - a + Tra le proprietà della Gaussiana ricordiamo:

35 Distribuzione normale Esistono infinite curve normali (per ogni possibile media & dev. st.) Le probabilità (superfici sottese) sono in relazione alle distanze dalla media misurata in numero di deviazioni standard

36 la normale standardizzata Tra le curve normali, si fa spesso riferimento alla cosiddettaNormale standardizzata che è N(0;1) e quindi ha: media = 0 deviazione standard = 1 Tutte le normali possono essere ricondotte alla normale standardizzata, sottraendo a ogni dato la media e dividendo per la deviazione standard. La distribuzione normale standardizzata si chiama distribuzione di Z

37 la normale standardizzata Data una normale qualsiasi e un punto x, larea compresa tra il punto x e + è la stessa di quella compresa tra il corrispondente z e + Lintegrale della normale N(, ) tra x e + è calcolabile, ma con notevole difficoltà; lintegrale di z è invece tabulato. (lintegrale della normale N(, ) tra x e + ci dà la probabilità che ununità sperimentale abbia un valore superiore a x)

38 Distribuzione binomiale -> normale allaumentare della numerosità campionaria la distribuzione binomiale tende alla normale. Lapprossimazione è accettabile quando np 5 e n(1-p) 5

39 Uno stimatore è una statistica ottenuta da un campione che stima un parametro della popolazione. Gli stimatori si indicano con lettera latina I parametri della popolazione si indicano con lettera greca Stimatori Lo strumento per valutare lattendibilità di uno stimatore si basa sullo studio della probabilità Mediastimatore di Varianzastimatore di Dev. St. stimatore di

40 Stimatori e distribuzioni campionarie Proprietà di uno stimatore Non distorsione (accuratezza): la media di tutti i possibili valori dello stimatore è uguale al valore del parametro della popolazione. Consistenza: allaumentare della dimensione del campione lo stimatore tende al valore del parametro Efficienza (precisione): è più efficiente, tra tutti gli stimatori non distorti, quello che ha minore varianza campionaria

41 Il miglior stimatore della media di una popolazione è la media del campione. Il miglior stimatore della varianza di una popolazione è: Se si divide per n invece che per n-1 lo stimatore è distorto Non vi sono stimatori non distorti della deviazione standard, è per questo che si usa molto la varianza. Stimatori di media e varianza

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43 Teorema del limite centrale Una variabile che derivi dalla somma di altre tende a essere distribuita normalmente. Tante più variabili concorrono alla somma tanto più lapprossimazione è buona Le medie campionarie, anche se i campioni sono tratti da popolazioni con distribuzioni diverse dalla normale, tendono ad essere distribuite normalmente. Lapprossimazione è tanto maggiore quanto maggiore è la numerosità campionaria

44 Distribuzione campionaria delle medie media = (stimatore non distorto) deviazione standard = varianza = la distribuzione campionaria della media di un campione di numerosità n estratto casualmente da una popolazione di media e varianza 2 ha: Inoltre, per il teorema del limite centrale, se n (numerosità del campione) è sufficiente, la distribuzione delle medie campionarie è normale

45 Errore standard della media Errore percentuale: Errore standard: La deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie, più piccola di di un fattore, si chiama errore standard o deviazione standard della media o errore di campionamento della media.

46 La distribuzione binomiale (popolazione) descrive la probabilità di Y (numero di successi) in un campione di numerosità n. Se ci si riferisce alle proporzioni di successi, è caratterizzata da: Media (valore atteso): =p Varianza: 2 = p(1-p) Lestrazione di un campione casuale di numerosità n fornirà una proporzione campionaria di successi. La proporzione di successi del campione, se n è sufficiente, è una variabile casuale con distribuzione approssimativamente normale e: Media = p Varianza = p(1-p)/n Distribuzione campionaria di una proporzione

47 La distribuzione del t di Student Ve ne sono infinite, in funzione della dimensione campionaria. In altri termini lunico parametro della distribuzione sono i GL di s. Per n= la distribuzione del t diviene quella di z. con: Nella distribuzione delle medie campionarie:

48 La distribuzione del t di Student E tabulata per il n° di gradi di libertà (n-1) con cui si stima la deviazione standard E simmetrica, più appiattita della normale (è tanto più platicurtica tanto più piccola è la dimensione campionaria).

49 La distribuzione F Serve a descrivere la distribuzione del rapporto di due stime della varianza. Dati due campioni indipendenti, estratti da popolazioni con distribuzione normale e varianze È una variabile casuale con la distribuzione F La distribuzione F ha due parametri: 1 e 2 che sono i gradi di libertà con cui sono calcolate le varianze stimate s 2. Si indica con F( 1, 2 )

50 Definita solo per valori non negativi Asimmetrica Per ogni combinazione di gradi di libertà esiste una distribuzione Bisogna scegliere quale varianza mettere a numeratore. Per convenzione si mette sempre la varianza più grande. La distribuzione F Se 2 1= 2 2

51 Distribuzione del X 2 E data dalla sommatoria di n variabili indipendenti z 2. E sempre positiva. E composta da n quote additive a ciascuna delle quali compete 1 grado di libertà (GL). I GL sono quindi dati dal numero di variabili z 2 sommate. Per 1 GL, X 2 =z 2

52 Distribuzione del X 2 Può essere usata per descrivere la distribuzione della varianza campionaria. Ha la distribuzione di X 2 con (n-1) GL. Infatti: Ovvero:


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