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2D Motion Estimation Materiale di supporto allinsegnamento di ELABORAZIONI IMMAGINI 1 Prof. Carlo Regazzoni.

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1 2D Motion Estimation Materiale di supporto allinsegnamento di ELABORAZIONI IMMAGINI 1 Prof. Carlo Regazzoni

2 2 2D Motion e Optical Flow Locchio umano percepisce il movimento identificando i punti corrispondenti a diversi intervalli di tempo. Tali corrispondenze sono determinate assumendo che il colore o la luminosità di due punti non cambia durante il movimento. È interessante notare che il movimento 2D osservato può essere diverso dal reale movimento 2D. 1) la sfera ruota, ma i punti della sua superficie, non cambiando colore/luminosità ed appaiono stazionari; 2) la sfera è ferma e la fonte luminosa ruota attorno alla sfera, che darà allosservatore una sensazione di rotazione. Il moto osservato o apparente è noto come Optical Flow

3 3 Equazione Optical Flow Consideriamo una sequenza video la cui variazione di illuminazione è rappresentata da Ψ(x,y,t). Supponendo un punto dellimmagine (x,y) al tempo t questo si è mosso da (x+dx,y+dy) al tempo t+dt. Sotto la constant intensity assumption unimmagine dello stesso oggetto in due istanti di tempo ha lo stesso valore di luminanza. Allora: Usando lespansione di Taylor, con dx,dy,dt abbiamo:.

4 4 Equazione Optical Flow Combinando le equazioni precedenti e dividendo per dt si ottiene la Optical Flow Equation: Gradiente spaziale del vettore luminosità Assumendo che lintervallo temporale sia breve: V Con V=(v x,v y )

5 5 Equazione Optical Flow flow vectorvIl flow vector v può essere decomposto come in figura: V Scomponendo il vettore V come: V V=e t v t +e n v n La Optical flow equation può essere riscritta come segue 90°

6 6 Equazione Optical Flow Le conseguenze delle equazioni scritte sono tre: 1.Per ogni pixel, non è possibile determinare il motion vector v basandoci su e separatamente. È necessario un vincolo che generalmente è espresso come il fatto che il flow vector deve variare in maniera dolce

7 7 Equazione Optical Flow Aperture Problem 2.Dati la proiezione del motion vector lungo la normale è fissata, mentre lungo la direzione tangente è indeterminata. Ogni valore di tale proiezione soddisfa l optical flow equation. Questa ambiguità è nota come Aperture Problem. Il termine Aperture si riferisce allintervallo temporale entro il quale si può applicare la constant intensity assumption. Il movimento si può stimare unicamente se lapertura contiene almeno due differenti direzione di gradiente come mostrato in figura.

8 8 Equazione Optical Flow 3.In regioni con luminosità costante il vector flow è indeterminato. La stima del moto è realizzabile solo in regioni dove sono presenti variazioni di luminosità, ovvero regioni con contorni o dove è presente una tessitura non uniforme.

9 9 Metodologie generali Anchor FrameTracked FrameConsideriamo la stima del moto tra due frame Ψ(x,y, t 1 ) e Ψ(x,y, t 2 ). Chiamiamo il frame al tempo t 1 Anchor Frame ed il frame al tempo t 2 Tracked Frame..

10 10 Metodologie generali In generale possiamo rappresentare un vettore di moto come d(x,a), dove: a=[a 1, a 2, a 3, a 4,…., a L ] è un vettore contenente i parametri caratterizzanti il moto. Il problema di stima del moto si riduce a stimare i parametri caratterizzanti il moto. I metodi sviluppati si dividono in due grosse categorie: Feature basedFeature based: si utilizzano delle caratteristiche prestabilite al fine di stimare il moto fra due frame distinti Intensity basedIntensity based: applica la optical flow equation ad ogni pixel

11 11 Rappresentazione del Moto Rappresent azione TecnicaProblemi..graficamente.. Pixel Based Stima del moto eseguita sui singoli pixel generalmente sempre applicabile ma richiede la stima di molti parametri non noti Region Based in scene con molti oggetti presenti è più appropriato dividere limmagine in più regioni in modo da caratterizzare meglio il vettore di moto. Il problema è che non si conosce a priori quali blocchi hanno vettore di moto simile e dunque il processo di segmentazione e stima deve essere iterativo; Block Based un metodo per ridurre la complessità del Region-based è quella di dividere limmagine in un numero fissato di piccoli blocchi. Questo metodo fornisce un buon compromesso in termini di complssità ed accuratezza, ma non impone alcun vincolo di transizione tra blocchi adiacenti causando una certa discontinuità; Mesh Based il miglioramento al metodo precedente consiste nel partizionare limmagine in elementi poligonali non sovrapposti, che porta ad avere un vettore di moto continuo.

12 12 Criteri di stima del moto: Displaced Frame Difference Il criterio più popolare per la stima del moto è basato sulla minimizzazione della somma degli errori tra le luminanze dei due frame Ψ 1 e Ψ 2. La funzione obiettivo sarà: ΛΛ= dominio dei pixel, w(x,a)=x+dx La condizione per minimizzare la funzione è porre il gradiente a zero al fine di ricavare i parametri caratterizzanti il moto. Il gradiente per p=2:.

13 13 Criterio basato sulla Optical Flow Equation Un altro approccio è risolvere il sistema di equazioni basato sul voncolo di Optical Flow. Se la la variazione temporale dt tra due frame e piccola possiamo scrivere: xRisolvendo per x ci riduciamo ad un problema di minimizzazione con la seguente funzione obiettivo:.

14 14 Criterio Bayesiano Lo stimatore Bayesiano è basato sulla formulazione probabilistica del problema di stima del moto fatta da Konrad e Dubois [1][2]. Ψ, d D.Sotto questa formulazione dato lAnchor Frame Ψ 1, il Tracked frame Ψ 2 è considerato come una realizzazione del campo casuale Ψ, mentre il campo di moto d è una realizzazione del campo probabilistico D. D Ψ :La probabilità a posteriori di D data Ψ può essere scritta come:.

15 15 Criterio Bayesiano dUna stima basata sul criterio Bayesiano vuole massimizzare la probabilità a posteriori. Ma dati Ψ 1, Ψ 2 è cosa equivalente massimizzare solo il numeratore. Dunque la massima stima a posteriori (MAP) di d è: Rappresentando ε lo spazio di probabilità di una immagine DFD allora per e(x)= Ψ 2 (x+d), Ψ 1 (x) dati x e Ψ 1 : E dunque:.

16 16 Criterio Bayesiano Dalla teoria di codifica della sorgente la lunghezza minima di codice per una sorgente è la sua entropia. motion field d. minimun description lenght (MDL)La stima MAP è equivalente a minimizzare la somma della lunghezza del codice e il motion field d. Dunque la MAP stimata per d è equivalente ad una stima di tipo a minimun description lenght (MDL) Essendo lo scopo degli stimatori di moto nella codifica video il minimizzare la bit rate, il criterio MAP è la migliore scelta che minimizza lerrore di predizione.

17 17 Pixel Based Motion Estimation Nei metodi di stima di moto pixel-based si prova a stimare il vettore di moto per ogni pixel. Il problema in oggetto è mal posto. Sotto lipotesi di constant intensity assumption ci saranno pixel che non potranno essere inseguiti nel Tracked Frame poiché la loro luminosità rimane invariata nel tempo. Sotto lipotesi optical flow il problema sarà ancora indeterminato.(1 equazioni, 2 incognite)

18 18 Pixel Based Motion Estimation Per ovviare a questi problemi sono usati quattro approcci: 1.Tecniche di regolarizzazione; 2.Ipotesi di constant intensity o optical flow solo in una regione limitata; 3.Invariants constraints; 4.Fare uso delle relazioni fra funzioni di fase e frame prima e dopo il movimento.

19 19 Pixel Based Regolarizzazione basata su Motion Smoothness Constraint Metodo che combina i criteri basati su: Optical Flow Motion Smooth Horn e Schunck propongono di stimare il vettore movimento minimizzando la seguente funzione obiettivo: La minimizzazione di tale funzione è realizzata tramite un metodo Gradient Based conosciuto come Gauss-Siedel.

20 20 Pixel Based Multipont Neighborhood x n B(x n )d nIn questo approccio stimiamo il vettore di moto al pixel x n e assumiamo che il vettore di moto di tutti i pixel in una regione B(x n ) siano gli stessi d n. B(x n )Minimizzando l errore DFD su B(x n ): x nCon w(x) sono i pesi assegnati a ogni pixel che decrescono allontanandosi da x n

21 21 Pixel Based Multipont Neighborhood d nIl gradiente rispetto a d n è: d n lLalgoritmo di update determinato, essendo d n l la stima alliterazione l-esima: L aggiornamento dipende dalla somma dellimmagine gradiente scalata dai valori di DFD pesati ad ogni pixel. In generale questo algoritmo richiede molta computazione per ogni pixel

22 22 Block Matching Algorithms Un problema con i metodi pixel-based è che bisogna rilassare alcuni vincoli al fine di regolarizzare il problema. Un metodo per rilassare tali vincoli è dividere il dominio in regioni di immagini non sovrapposte, chiamate blocchi, ed assumere che il movimento in tali blocchi sia parametrizzabile semplicemente. Nel caso più semplice il movimento in ogni blocco è assunto come costante e ogni blocco è soggetto a traslazione (block-wise translational model)

23 23 Block Matching Exhaustive Search Block Matching Algorithm (EBMA) B m B mDato un blocco dellimmagine nel anchor frame B m il problema della stima del motoè determinare il blocco più appropriato B m nel tracked frame in modo tale che lerrore tra i due blocchi sia minimizzato. Lo scostamento d m tra la posizione spaziale dei due blocchi è il vettore di moto (MV).

24 24 Block Matching Exhaustive Search Block Matching Algorithm (EBMA) Sotto le assunzioni fatte lerrore può essere scritto come: Essendo la stima di MV di un singolo blocco affetta solo dallerrore di predizione del singolo blocco si può stimare ogni blocco individualmente, minimizzando lerrore di predizione accumulato sul blocco:.

25 25 Block Matching Exhaustive Search Block Matching Algorithm (EBMA) d mUn metodo per determinare d m che minimizza lerrore suddetto è usare la exhaustive search. d m B m Fig.1Si determina lottimo d m per un dato blocco B m nell anchor frame comparandolo con i blocchi candidati B m nel tracked frame in una regione predefinita e trovando quello ad errore minimo. (Fig.1 slide successiva)

26 26 Block Matching Exhaustive Search Block Matching Algorithm (EBMA) Fig.1

27 27 Block Matching Fractional Accuracy Search Il passo con cui si cerca la corrispondenza dei blocchi non dovrebbe essere intero. Per una più accurata rappresentazione del moto le frazioni di pixel sono necessarie. Un problema usando le frazioni di pixel è che potrebbero non esserci punti di corrispondenza tra anchor e tracked frame. È quindi necessaria una interpolazione che ad esempio può essere di tipo bi-lineare. La scelta del passo è generalmente application-dependent. Questo tipo di algoritmo porta ad una crescita notevole del carico computazionale.

28 28 …qualche esempio… (a)tracked frame (b)anchor frame (c-d) MV e immagine predetta con EBMA accuratezza a meta pixel (e-f) MV deformato e stima basata su un algoritmo mesh-oriented

29 29 Rappresentazione del moto Node Based Introduciamo un modello di movimento basato sul movimento di alcuni punti di un determinato blocco, chiamati nodi. In questo modello assumiamo che un insieme selezionato di nodi di controllo in un blocco può muoversi liberamente e che lo spostamento di ogni punto interno può essere interpolato dallo spostamento dei nodi scelti.

30 30 Rappresentazione del moto Node Based Siano: –K= numero dei nodi di controllo –B m = blocco –d m = vettore del moto La funzione del moto sarà: ΦTale funzione esprime lo spostamento di ogni punto nel blocco come interpolazione dei nodi come mostrato in figura1. Il Kernel interpolatore Φ dipende da quale peso si assegna al k-esimo punto di controllo.

31 31 Stima del moto usando il modello Node Based mLa stima del moviemnto è indipendente blocco per blocco, dunque non considereremo tutti gli m blocchi di unimmagine. Siano: –ad k KK –a= [d k,kЄK], K={1,2,3,…..,K} I parametri del moto possono essere stimati minimizzando lerrore di predizione:.

32 32 Stima del moto usando il modello Node Based Ci sono molti modi per minimizzare tale errore inclusi l exhaustive search e metodi basati sul gradiente. Il metodo proposto è basato sullalgoritmo di Newton-Ralphson. Definiamo: EEseguendo la derivazione di E rispetto ad a dopo alcuni passaggi si ottengono le equazioni di aggiornamento dellalgoritmo.

33 33 Usando si può calcolare il gradiente dellerrore: Stima del moto usando il modello Node Based

34 34 Stima del moto usando il modello Node Based La matrice essiana (eliminando il gradiente del secondo ordine):

35 35 Stima del moto usando il modello Node Based In figura le equazioni di aggiornamento dellalgoritmo: Come per tutti i processi iterativi basati sul gradiente, anche questo può raggiungere un minimo locale non corretto se la soluzione iniziale non è scelta propriamente.

36 36 Stima del moto basata sul Mesh-Based Senza la conoscenza dei parametri di moto dei blocchi adiacenti la stima dei vettori di moto è spesso caotica, come in figura. Un metodo per evitare ciò è usare una rappresentazione del moto basata sul modello a mesh (maglia).. Anchor frame l anchor frame è coperto da una mesh, ed il problema di stima del moto è trovare il movimento per ogni nodo Tracked frame

37 37 Stima del moto basata sul Mesh-Based Il metodo di rappresentazione mesh-based garantisce una continuità di rappresentazione dellimmagine ed è maggiormente robusto agli artefatti che i metodi di rappresentazione block-based possono produrre. Un altro beneficio di una rappresentazione mesh-based è che consente in tracking continuo dellinsieme di nodi fra i frame consecutivi, il che è desiderabile nelle applicazione di object-tracking

38 38 Rappresentazione del moto basata sulle Mesh Con un approccio mesh-based limmagine è partizionata in elemento poligonali non sovrapposti. Fig.1Ogni elemento è definito da pochi nodi e collegamenti tra nodi, come mostrato in Fig.1 Nella rappresentazione mesh-based linsieme dei vettori di moto è descritto per mezzo dei nodi Fig.1 Fig.1 Si usa una mesh (griglia) triangolare con tre nodi connessi ad ogni elemento

39 39 Rappresentazione del moto basata sulle Mesh Siano: M –M = numero elementi M = {1,2,…..,M} N –N = numero nodi N = {1,2,…..,N} K –K = numero di nodi che definisce ogni elemento K = {1,2,…..,K} M x N dx x –Dato l m-esimo elemento, n-esimo nodo al frame t (t 1 = anchor t 2 = tracked). denotati da B t,m mЄ M e x t,n n Є N ed il vettore di moto dell n-esimo nodo da d n = x 2,n - x 1,n. dIl campo di moto nellelemento B 1,m è legato al vettore del moto d n da:

40 40 Rappresentazione del moto basata sulle Mesh ΦLa funzione Φ è il kernel interpolatore e, come nel caso precedente, dipende dal contributo che sivuole dare ad ogni nodo. Per garantire la continuità sugli elementi dellimmagine il kernel deve soddisfare:

41 41 Rappresentazione del moto basata sulle Mesh Fig.1Ad esempio un elemento standard a quattro lati (Fig.1) può essere rappresentato da funzioni di kernel come segue: Fig.1

42 42 Rappresentazione del moto basata sulle Mesh mesh-based node-basedÈ importante non confondere l approccio mesh-based da quello node-based introdotto precedentemente. node-basedNellapproccio node-based sebbene blocchi adiacenti possano condividere gli stessi nodi, il vettore di moto è determinato indipendentemente blocco per blocco. mesh-basednNellapproccio mesh-based, al nodo n è assegnato il singolo vettore di moto il quale influenzerà la funzione di interpolazione negli elementi collegati a questo nodo. node-basednNellapproccio node-based, il nodo n può avere 4 differenti vettori di moto associati.

43 43 Stima del moto basato su mesh-based model Con i metodi di rappresentazione del moto basato sulle mesh ci sono due insiemi di problemi da risolvere: –Data una mesh come determinare la posizione dei nodi nel tracked frame. Questo è essenzialmente un problema di motion estimation –Come definire la mesh nellanchor frame in conformità con la forma delloggetto Una mesh costruita in maniera arbitraria porterà a risultati in generale scadenti Ci occuperemo comunque solo del primo problema. Il secondo problema è trattato in [1][2]. [1]Y. Wang and O. Lee. Active mesh | a feature seeking and tracking image sequence representation scheme. IEEE Trans. Image Process., 3:610{624, Sept [2] Y. Wang and J. Ostermann. Evaluation of mesh-based motion estimation in h.263 like coders. IEEE Trans. Circuits Syst. for Video Technology, 8:243{252, June 1998.

44 44 Stima del moto basato su mesh-based model I parametri del moto possono essere stimati servendoci ancora dellapproccio riguardante la minimizzazione della funzione errore. Sotto le ipotesi del modello mesh-based: E ricordando lequazione del vettore di moto nel caso mesh-based si ha:

45 45 Stima del moto Globale Abbiamo mostrato che, indipendentemente dal movimento della camera e delloggetto, la funzione che mappa la corrispondenza tra due frame può essere descritta da una traslazione, una trasformazione geometrica,etc…… globalmenteCi sono in generale due approcci per stimare il moto globalmente. –Stimare i parametri di moto globale minimizzando lerrore di predizione lerrore di predizione dato un insieme di parametri; –Determinando i vettori di moto dei pixel o di blocchi di pixel e dunque usando metodi di regressione per trovare il modello globale di movimento che meglio si adatta al campo di moto stimato

46 46 Stimatori Robusti Il movimento di ogni pixel può essere decomposto in: –Global motion: causato dal movimento della camera –Local motion: a causa del movimento degli oggetti nella scena Non tutti i pixel dello stesso frame portano conoscenza del movimento globale e idealmente non si potrebbe applicare lo stesso modello di movimento allo stesso frame.

47 47 Stimatori Robusti stimatore robustoQuesti problemi possono essere superati da un metodo detto stimatore robusto se il movimento globale e dominante sul movimento locale Lidea di base è che i pixel sono governati dal movimento globale. I passi da seguire sono: 1.Tutti i pixel hanno stesso modello di movimento globale e si stimano i parametri di moto minimizzando lerrore di predizione. 2.Si determina un insieme iniziale di parametri 3.Calcolo dellerrore di predizione su ogni pixel 4.I pixel che avranno errore di predizione sopra una certa soglia saranno scartati dalliterazione successiva 5.Si ripete iterativamente il processo

48 48 Stima del moto Region-Based Come evidenziato nelle slide precedenti ci sono generalmente molteplici tipi di movimento in una scena I stimatori del moto region-based segmentano limmagine in regioni multiple e stimano i parametri di moto in ogni regione Le principali tecniche di segmentazione sono: –Clustering –Clustering: il modello di movimento in una regione è una traslazione pura e la segmentazione tiene in considerazione tutti i pixel connessi con vettori di moto simili –Layered –Layered :si dividono le regioni di movimento in più layer (piani) dal primo, che è il più significativo allultimo

49 49 Stima del moto Multi-Resolution Come visto dalle precedenti slide, i vari approcci di stima del moto si risolvono in minimizzazioni dellerrore. Le due difficoltà maggiori nellottenere la soluzione corretta sono: –Non è facile trovare il minimo globale e spesso le condizioni iniziali influenzano negativamente la sua ricerca –Il carico computazionale è eccessivo Multi-ResolutionL approccio Multi-Resolution cerca la soluzione migliore a diversi gradi di ottimizzazione, partendo da un primo livello che porterà ad una prima soluzione grossolana

50 50 Multi-Resolution Formulazione Generale La rappresentazione piramidale in figura rappresenta la divisione in livelli ottenuti filtraggi spaziali low-pass e sottocampionamento delle immagini. Il livello più in basso è limmagine originale. ANCHOR FRAMETRACKED FRAME Immagine a bassa risoluzione Immagine a bassa risoluzione Immagine originale

51 51 Multi-Resolution Formulazione Generale I vettori di moto fra i livelli corrispondenti delle due piramidi sono stimati, partendo dal livello sottocampionato progressivamente fino al livello dellimmagine originale. Ad ogni livello di risoluzione più fine il campo di moto ottenuto dal precedente livello più grezzo è interpolato per ottenere la stima del moto al livello corrente.

52 52 Algoritmo di Block Matching Gerarchico I benefici di tale approccio sono: –A livelli di risoluzione bassa il problema è meno mal posto e dunque la soluzione meglio approssima la soluzione ideale; –Linterpolazione porta ad una prima soluzione buona; –la stima ad ogni livello può essere confinata in termini di iterazioni ottenendo ottimi risultati rispetto alla stima ottima del movimento. Un caso particolare di Block Matching Gerarchico è il Hierarchical Block Matching Algorithm (HBMA) che è un caso speciale del multi-resolution, dove l EBMA è applicato per stimare i campi di moto dei blocchi nei livelli.

53 53 Algoritmo di Block Matching Gerarchico Esempio di stima del moto usando lalgoritmo HBMA per due immagini. (a-b) (a-b) campo di moto e immagine predetta al livello più grezzo (c-d) (c-d) campo di moto e immagine predetta ad un livello più fine (e-f) (e-f) campo di moto e immagine predetta al livello più fine

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