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Progetto lauree scientifiche Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento.

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1 Progetto lauree scientifiche Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica F. Enriques Università degli Studi di Milano

2 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta) Poligoni regolari e circonferenze Il problema ha sempre soluzione! Sarà vero anche per il problema inverso?

3 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto) Poligoni regolari e circonferenze Ad esempio il 7-gono! Cosa sentono le mie orecchie! Ci sono poligoni regolari che non si possono costruire con R & C ! Carl F. Gauss

4 RIEPILOGANDO: 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta) 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto) Il 1° problema ammette sempre soluzione. Il 2° problema no. Poligoni regolari e circonferenze Ne riparleremo la prossima volta. Per ora fidatevi di Gauss.

5 Partiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C. Prime costruzioni Provate voi!

6 Prime costruzioni Ora, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono,... ? Basta dimezzare!

7 Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1: Se il k-gono regolare è costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2 n k-goni per ogni n>0. Prime costruzioni

8 Non è difficile ricavare anche una seconda proprietà: Se l n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n. Ad esempio il 30-gono: 30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori. 2 otteniamo un 15-gono 3 otteniamo un 10-gono 5 otteniamo un 6-gono 6 otteniamo un 5-gono 10 otteniamo un 3-gono Unendo i suoi vertici uno ogni

9 Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C. Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi. Il pentadecagono Oddio...Euclideee! Ve la farò nella prossima lezione! La costruzione del 3-gono la sappiamo fare! Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla già...

10 In una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetterà di costruire il 15-gono regolare. Il pentadecagono Provate voi!

11 Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, larco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di cinque (archi) mentre larco AB, essendo un quinto della circonferenza, Il pentadecagono verrà a constare di tre. Quindi larco BC che rimane consterà di due di quei quindici archi. Si divida larco BC per metà in M. Ciascuno dei due archi BM ed MC è perciò 1/15 della circonferenza. Dagli Elementi di Euclide - Libro IV

12 Poiché 1/5 = 3/15, 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15, larco BM si ricava bisecando larco BC ottenuto dalla differenza tra larco AC e larco AB. Il pentadecagono

13 Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato: Il pentadecagono Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, larco cercato può essere ottenuto come differenza tra larco che sottende due lati del pentagono e larco che sottende il lato del triangolo. ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dellequazione:

14 Il 51-gono regolare Provate a costruire il (3x17)-gono regolare! Ehi… ma il 17-gono chi me lo dà? Il metodo usato per costruire il (3x5)-gono regolare, può essere applicato anche ad altri casi.

15 Il metodo generale usato consiste in questo. Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti. Approfondimento dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto. Tanti (x) archi da 1/m x/m sottratti a tanti (y) archi da 1/n y/n devono dare un arco da 1/mn1/mn Tradotto in equazione:

16 Lequazione si riscrive: (*) Approfondimento cerchiamo le soluzioni intere! Attenzione: cerchiamo le soluzioni intere! E unequazione diofantea! Pitagora aC Anche quella delle mie terne pitagoriche! P. de Fermat Anche quelle del mio ultimo teorema!

17 non sempre Attenzione: non sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio: Approfondimento non ha non ha soluzioni intere. Perché non può essere che... ovvero con x e y interi! Perché?

18 In generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora lequazione Approfondimento E vero anche il viceversa! Non è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo. Andate a leggere il ma ora non ho tempo. Andate a leggere il mio libro VII. non ammette una soluzione intera.

19 Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore proprietà: Approfondimento Proprietà 3 Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.


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