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Come si determina la lunghezza di una linea curva? Esiste un segmento L lungo come AB? A B A B.

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Presentazione sul tema: "Come si determina la lunghezza di una linea curva? Esiste un segmento L lungo come AB? A B A B."— Transcript della presentazione:

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2 Come si determina la lunghezza di una linea curva? Esiste un segmento L lungo come AB? A B A B

3 Lunghezza della circonferenza Esiste un segmento che misura come la circonferenza? Costruisco poligoni regolari inscritti nella circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore. TEOREMA 1 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare inscritto, il perimetro del poligono aumenta A B C M AM+MB>AB

4 TEOREMA 2 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare circoscritto, il perimetro del poligono diminuisce Costruisco poligoni regolari circoscritti alla circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore A B C T DE < AD + AE D E

5 TEOREMA 3 Il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza è sempre minore del perimetro di un poligono circoscritto

6 Abbiamo costruito due classi P n : classe dei perimetri dei poligoni circoscritti p n : classe dei perimetri dei poligoni inscritti Più è grande n più gli elementi P n diminuiscono e gli elementi p n aumentano Tali classi sono separate Esiste lelemento che separa le due classi? ELEMENTO SEPARATORE: il più piccolo della prima classe oppure il più grande della seconda classe oppure un elemento più piccolo di tutti gli elementi della prima classe e più grande di tutti gli elementi della seconda.

7 Le classi sono contigue Esiste lelemento separatore se le due classi sono contigue: presa una lunghezza ε piccola a piacere esistono un poligono inscritto di perimetro p n e un poligono circoscritto di perimetro P n tali che | P n – p n | < ε Dimostriamo che le due classi sono contingue:

8 Dimostrazione: AB= L n lato del poligono circoscritto di n lati AB=l n lato del poligono inscritto di n lati T punto di tangenza (AT=TB) P n : p n = AO : AO P n : p n = AO : OT (P n - p n ) : p n = (AO-OT) : OT (P n - p n ) : p n = 8(AO-OT) : 8OT (P n - p n ) : p n = 8(AO-OT) : P 4 (perimetro del quadrato circoscritto) Poiché p n < P 4 per qualsiasi n, allora (P n - p n ) < 8(AO-OT) ma AO-OT

9 Classi separate e contigue ammettono l elemento separatore C non appartiene né alla prima né alla seconda classe C è più grande di tutti i poligoni inscritti e più piccolo di tutti i poligoni circoscritti Def : CIRCONFERENZA RETTIFICATA Il segmento la cui lunghezza separa le classi contigue dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti.

10 Teorema Le circonferenze rettificate sono proporzionali ai diametri Hp :C circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r C circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r Th:C:2r = C : 2r I perimetri dei poligoni inscritti sono proporzionali ai raggi p n : p n = r :r se r/r =k, allora p n = kp n I perimetri dei poligoni circoscritti sono proporzionali ai raggi P n : P n = r : r se r/r =k, allora P n = kP n p n < C < P n e kp n < kC < k P n p n < kC < P n Per def. di C p n < C < P n Le ultime due relazioni sono vere per ogni n, perciò C=kC Quindi C:C =k=r:r

11 C/2r = C /2r= … = π … quanto vale π ? C:2r = C:2r

12 Area del cerchio Si costruiscono le classi delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti Esse sono separate e contigue Lelemento separatore è larea del cerchio Si dimostra che larea è proporzionale al quadrato del raggio A/r 2 = k =…. π A= πr 2

13 Area del settore circolare Settore circolare: parte di cerchio delimitata da due raggi. A settore che insiste sullarco a B settore che insiste sullarco b A:B=a:b Se B = πr 2 A: πr 2 = a:2πr A = ar /2 r


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