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Non oltrepasserò mai quel confine. Si denoti con larea del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r). Si dimostri che.

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Presentazione sul tema: "Non oltrepasserò mai quel confine. Si denoti con larea del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r). Si dimostri che."— Transcript della presentazione:

1 Non oltrepasserò mai quel confine

2 Si denoti con larea del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r). Si dimostri che e si trovi unanaloga espressione per larea del poligono regolare di n lati circoscritto a C. Si calcoli il limite di (estratto dal problema n. 2 dell ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO corso di ordinamento, sessione ordinaria 2007)

3 Nel passato: il metodo di esaustione

4 Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., sfruttando il metodo di esaustione già elaborato da Eudosso di Cnido ( a.C. cc), determinò con buona approssimazione la lunghezza della circonferenza, larea del cerchio del segmento parabolico e di numerose altre superfici nonché alcuni volumi di superfici di rotazione.

5 Il metodo di esaustione si basava sullidea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti o circoscritti dal numero di lati via via crescente. Ai matematici greci però mancava il concetto di limite. Il metodo di esaustione non comprendeva alcun passaggio al limite e si arrivava a dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo

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7 Oggi: il concetto di limite

8 1.Data una circonferenza C di raggio r, per ogni numero naturale n si possono costruire poligoni regolari di n lati, sia inscritti che circoscritti ad essa? 2.La lunghezza della circonferenza e larea del cerchio in che relazione sono con i perimetri e le aree dei poligoni sia inscritti che circoscritti ad essi? 3.È possibile esprimere in funzione del raggio r del cerchio e del numero dei lati n del poligono inscritto larea di questultimo e calcolarne il limite per ? Alcuni spunti di riflessione

9 Triangolo da cui

10 Quadrato

11 Pentagono

12 Esagono

13 Si noti che: Generalizzando sul poligono inscritto di n lati otteniamo:

14 Dalle costruzioni fatte si può dedurre che: È possibile costruire una funzione f (successione): che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono inscritto) il numero reale non negativo che rappresenta larea del poligono regolare. La successione dei poligoni regolari inscritti è limitata superiormente ed il suo limite è larea della circonferenza circoscritta Si può dimostrare che la successione è monotona crescente, ossia:

15 Posto: e

16 Ponendosi ha che t tende a 0 quando n tende allinfinito per cui: Ritornando inotterremo:

17 La successione delle aree dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza tende allarea del cerchio che li contiene

18 Possiamo pensare anche ad una rappresentazione della successione in un opportuno riferimento

19 … e i poligoni circoscritti ? Analoghe considerazioni possono essere svolte per i poligoni circoscritti i cui lati risultano essere tangenti alla circonferenza di raggio r.

20 Nel triangolo isoscele AOB, OH=r e HB=r da cui: Larea di AOB è,mentre larea del poligono circoscritto è Si otterrà la successione

21 Dalla costruzione del generico poligono circoscritto alla circonferenza si può dedurre che: È possibile costruire una funzione (successione) che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono circoscritto) un numero reale non negativo (la sua area) La successione dei poligono regolari circoscritti è limitata inferiormente ed il suo limite è larea della circonferenza inscritta Si può dimostrare che la successione è monotona decrescente, ossia:

22 Con analoghe considerazione si perviene a dimostrare che:

23 Quindi sia la successione delle aree dei poligoni inscritti che quella delle aree dei poligoni circoscritti alla medesima circonferenza tende allarea della stessa al crescere del numero dei lati

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25 Hanno partecipato : Castiello Emmanuele Di Costanzo Rossella Ferriero Iacopo Formisano Isabella Marsiglia Giulia Mastantuoni Cesiria Paduano Luigi Pesarino Salvatore Sghairi Ahmed Giovanni Docenti : Rosemary Romano, Maria Rita Tammaro


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