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Buon Compleanno Eulero! Nonostante i tuoi 3 x 10 2 anni sei sempre il più interessante. Auguri!

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Presentazione sul tema: "Buon Compleanno Eulero! Nonostante i tuoi 3 x 10 2 anni sei sempre il più interessante. Auguri!"— Transcript della presentazione:

1 Buon Compleanno Eulero! Nonostante i tuoi 3 x 10 2 anni sei sempre il più interessante. Auguri!

2 Leonhard Euler A 300 anni dalla nascita, il mondo intero lo ricorda ! il mondo intero lo ricorda ! « Eulero calcolava senza sforzo apparente, così come gli uomini respirano o le aquile si sostengono nel vento »

3 Le opere Leonhard Euler conosciuto in Italia come Eulero, nasce a Basilea il 15 Aprile del 1707 ; si interessa di Matematica e di Fisica e per questo è considerato il più importante Matematico dell'Illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, è noto per essere tra i matematici più prolifici di tutti i tempi e per aver regalato alla storia della Matematica pagine di notevole interesse scientifico in diverse aree del sapere: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Leonhard Euler conosciuto in Italia come Eulero, nasce a Basilea il 15 Aprile del 1707 ; si interessa di Matematica e di Fisica e per questo è considerato il più importante Matematico dell'Illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, è noto per essere tra i matematici più prolifici di tutti i tempi e per aver regalato alla storia della Matematica pagine di notevole interesse scientifico in diverse aree del sapere: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.

4 Eulero ha dato il suo nome a una quantità impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni. Eulero ha dato il suo nome a una quantità impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni. In geometria: il cerchio, la retta e i punti di Eulero relativi ai triangoli, più la relazione di Eulero, che riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo. In geometria: il cerchio, la retta e i punti di Eulero relativi ai triangoli, più la relazione di Eulero, che riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo.

5 Teoria dei numeri e meccanica Nella teoria dei numeri: il criterio di Eulero, l' indicatore di Eulero, l' identità di Eulero, la congettura di Eulero; nella meccanica: gli angoli di Eulero, il carico critico di Eulero (per instabilità) Nella teoria dei numeri: il criterio di Eulero, l' indicatore di Eulero, l' identità di Eulero, la congettura di Eulero; nella meccanica: gli angoli di Eulero, il carico critico di Eulero (per instabilità) Angoli di Eulero

6 Analisi,teoria dei grafi,algebra,calcolo differenziale Nell'analisi: la costante di Eulero-Mascheroni; in logica: il diagramma di Eulero-Venn; nella teoria dei grafi: (di nuovo) la relazione di Eulero; nell'algebra: il metodo di Eulero (relativo alla soluzione delle equazioni di quarto grado); nel calcolo differenziale: il metodo di Eulero (riguardante le equazioni differenziali). Nell'analisi: la costante di Eulero-Mascheroni; in logica: il diagramma di Eulero-Venn; nella teoria dei grafi: (di nuovo) la relazione di Eulero; nell'algebra: il metodo di Eulero (relativo alla soluzione delle equazioni di quarto grado); nel calcolo differenziale: il metodo di Eulero (riguardante le equazioni differenziali).

7 Eulero e la Fisica Anche se il nome di Eulero è legato prevalentemente alla Matematica,come scienziato fornì importanti contributi anche alla Fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste. Per esempio sviluppò l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli e le equazioni di Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di molte comete. Anche se il nome di Eulero è legato prevalentemente alla Matematica,come scienziato fornì importanti contributi anche alla Fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste. Per esempio sviluppò l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli e le equazioni di Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di molte comete.

8 Identità di Eulero La prima volta che ci si imbatte nella formula di Eulero non si può fare a meno di rimanere scioccati, oltre che un po' increduli, di fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della matematica completamente diversi incrociano i loro destini in una uguaglianza che più semplice non si poteva: La prima volta che ci si imbatte nella formula di Eulero non si può fare a meno di rimanere scioccati, oltre che un po' increduli, di fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della matematica completamente diversi incrociano i loro destini in una uguaglianza che più semplice non si poteva: e iπ + 1 = 0

9 La Formula di Eulero per i Poliedri La caratteristica di Eulero χ fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula La caratteristica di Eulero χ fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula χ = V S + F, χ = V S + F, dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro. La formula di Eulero asserisce che dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro. La formula di Eulero asserisce che χ = V S + F = 2 χ = V S + F = 2 per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi.semplicemente connessisemplicemente connessi I poliedri convessi rientrano in questa categoria. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.poliedri convessipoliedri convessi

10 Esempi di poliedri convessi La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici: La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:solidi platonicisolidi platonici Tetraedro Cubo Ottaedro DodecaedroIcosaedro

11 Leonardo Eulero e i ponti di Königsberg A Königsberg in Prussia cè un'isola A, chiamata der Kneiphof, e il fiume che la circonda si divide in due rami, come si può vedere in figura;i rami di questo fiume sono muniti di sette ponti a, b, c, d, e, f, g. Circa questi ponti veniva posta questa domanda, si chiedeva se fosse possibile costruire un percorso in modo da transitare attraverso ciascun ponte una e una sola volta. E mi fu detto che alcuni negavano ed altri dubitavano che ciò si potesse fare, ma nessuno lo dava per certo. Da ciò io ho tratto questo problema generale: qualunque sia la configurazione e la distribuzione in rami del fiume e qualunque sia il numero dei ponti, si può scoprire se è possibile passare per ogni ponte una ed una sola volta?

12 La funzione di Eulero La funzione di Eulero associa a un numero intero n il numero dei numeri interi primi con n e minori di n (compreso l'uno); è una funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per n = 6 la funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 sono solo 1 e 5; per n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di Eulero di un numero n si indica di solito con Φ(n). Si dimostra che Φ(n) = n(1 - 1/n 1 )(1 - 1/n 2 )...(1 - 1/n m ) La funzione di Eulero associa a un numero intero n il numero dei numeri interi primi con n e minori di n (compreso l'uno); è una funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per n = 6 la funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 sono solo 1 e 5; per n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di Eulero di un numero n si indica di solito con Φ(n). Si dimostra che Φ(n) = n(1 - 1/n 1 )(1 - 1/n 2 )...(1 - 1/n m )Eulero numeri interi primiquello di Fermat-Eulero numeri interi primiquello di Fermat- dove n 1, n 2... n m sono i fattori primi distinti di n. Se n è primo allora ovviamente Φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1). Infatti Φ(n) = pq(1 - 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la formula data. dove n 1, n 2... n m sono i fattori primi distinti di n. Se n è primo allora ovviamente Φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1). Infatti Φ(n) = pq(1 - 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la formula data.

13 Metodo di Eulero Se abbiamo lequazione ax + by = c ha sempre una e una sola soluzione x 1 e y 1 con 0 x 1 b e una con x 2 e y 2 con 0 y 2 a Le due soluzioni possono coincidere. Se abbiamo lequazione ax + by = c ha sempre una e una sola soluzione x 1 e y 1 con 0 x 1 b e una con x 2 e y 2 con 0 y 2 a Le due soluzioni possono coincidere. ponendo x = 0,1,…, b - 1 Questo metodo è conveniente per coefficienti piccoli ponendo x = 0,1,…, b - 1 Questo metodo è conveniente per coefficienti piccoli Interpretazione grafica del metodo di Eulero

14 I quadrati greco – latini di Eulero In figura, a sinistra il quadrato latino, al centro il quadrato con le lettere greche e a destra il quadrato greco/ latino, ottenuto semplicemente dalla sovrapposizione dei due precedenti. Anche Eulero come molti altri matematici suoi colleghi, si è occupato dello studio dei quadrati magici battezzandone una nuova specie con il nome di quadrati greco-latini. Oggi, dopo due secoli tornano di moda,con il nome di Sudoku: un gioco che mette alla prova le qualità di ragionamento e di intuizione caratteristiche del vero matematico.

15 Eulero e i Colleghi Eulero tenne contatti con numerosi matematici del suo tempo; in particolare intrattenne una lunga corrispondenza con Christian Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri risultati.La cosa fu scambievole infatti anche Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua famosa e ancor oggi irrisolta congettura. Eulero tenne contatti con numerosi matematici del suo tempo; in particolare intrattenne una lunga corrispondenza con Christian Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri risultati.La cosa fu scambievole infatti anche Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua famosa e ancor oggi irrisolta congettura. Lettera di Goldbach ad Eulero, 1742

16 Il Teorema di Fermat-Eulero Enunciato Enunciato Dati due qualsiasi numeri m ed N primi tra di loro allora è: m Φ(N) = 1 (mod N) m Φ(N) = 1 (mod N) o anche o anche m Φ(N) - 1 = 0 (mod N) m Φ(N) - 1 = 0 (mod N) Se poi N è primo allora Φ(N) = N - 1 Φ(N) = N - 1

17 I Francobolli Commemorativi

18 Le Banconote Questa banconota da 10 franchi in uso dal 1976 al 1995, rende omaggio al grande Eulero.

19 Le Lettere di Eulero (1787) Per esprimere sensibilmente la natura di queste quattro spezie di proposizioni, possiam rappresentarle per mezzo di figure, le quali son di un gran soccorso per ispiegare con somma distinzione qual sia lesattezza di un raziocinio. E poiché una nozione generale contiene uninfinità di oggetti individuali, si può supporre a guisa di uno spazio, in cui questi oggetti son racchiusi: per esempio si forma uno spazio per la nozione di uomo (Tav. 1. fig. 1.) in cui si suppone che tutti gli uomini sien radunati. Tav. 1. fig. 1. A

20 E ancora…. Per la nozione di mortale se ne forma un altro (Tav. 1. fig. 2.) dove si suppone che sia compreso quanto vi è di mortale. E quando io pronunzio che tutti gli uomini son mortali, intendo che la prima figura sia contenuta nella seconda. Dunque la rappresentazione di una proposizione universale affermativa sarà quella della Tav. 1. fig. 3., in cui lo spazio A che dinota il soggetto della proposizione vien tutto intero racchiuso nello spazio B che è il predicato (lettera CII, 14 febbraio 1761, II, pp ). Tav. 1. fig. 2. Tav. 1. fig. 3 B A B

21 Questi cerchj o sien questi spazj (imperciocché è indifferente qualunque figura lor si dia) son molto a portata per facilitare le nostre riflessioni sopra questa materia, e per metterci in chiaro quanti misteri la logica si vanta di avere, i quali somma pena han costata per poterli dimostrare, mentre collajuto di tai segni in un istante tutto salta agli occhi... Quanto sin qui si è detto può essere sufficiente a far capire a Vostra Altezza, che tutte le proposizioni possono essere rappresentate con figure; ma il massimo vantaggio si manifesta ne raziocinj, i quali qualora si esprimon con parole chiamansi sillogismi, in cui si tratta di tirare una conclusione esatta da alcune date proposizioni. Con tale invenzione noi potremo subito scandagliare le giuste forme di tutti i sillogismi. Cominciamo da una proposizione affermativa universale ogni A è B... Se la nozione C è contenuta interamente nella nozione A, sarà contenuta anche interamente nello spazio B (Tav. 1. fig. 8.), donde risulta questa forma di sillogismo Ogni A è B MaOgni C è A DunqueOgni C è B e questultima è la conclusione Tav. 1. fig. 8. B A C

22 Per esempio. Disegni la nozione A tutti gli alberi, la nozione B tutto ciò che ha radici, e la nozione C tutti i ciriegi, in tale caso il nostro sillogismo sarà il seguente Ogni arbore ha radici MaOgni ciriegio è un arbore DunqueOgni ciriegio ha radici (lettera CIII, 17 febbraio 1761, II, pp. 113 e

23 Bibliografia Wikipedia, l'enciclopedia libera. E. Castelnuovo,La matematica, Ed. La Nuova Italia Courant,Robins,Che cosè la matematica,Ed. Boringhieri Lucio Lombardo Radice,Istituzioni di Algebra Astratta, Ed Feltrinelli

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