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Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti Andrea Capotorti AUTOMOBILI O CAPRE? Un apparente paradosso del Calcolo delle Probabilità.

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1 Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti Andrea Capotorti AUTOMOBILI O CAPRE? Un apparente paradosso del Calcolo delle Probabilità

2 Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti Andrea Capotorti AUTOMOBILI O CAPRE? Un apparente paradosso del Calcolo delle Probabilità

3 Di cosa si tratta ? Siamo in un gioco a premi (che prende spunto da un fortunato show della TV americana chiamato "Monty Hall"), abbiamo davanti a noi tre porte: dietro una di queste c'è una Ferrari, nelle altre due... una capra. Dobbiamo scegliere una porta, e vinceremo quello che troviamo li dietro. Fatta la scelta, Monty Hall ci dice "Ne sei proprio sicuro? Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare e riduco le scelte a due. Ecco: dietro questa porta, c'è una capra". Così dicendo, apre una delle porte che noi non abbiamo scelto, mostrando una capra. Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene cambiare porta, o la cosa e' indifferente? illustrazioni tratte da

4 La risposta "più razionale" risulta spesso quella "meno intuitiva" ed andremo a spiegare il perché....

5 Molti sono portati a dire: “dato che una porta e’ stata aperta rimangono due possibilità e quindi … la probabilità diventa ½. Continuare nella scelta iniziale o cambiare e’ indifferente…” Nulla di più sbagliato !!!!Nulla di più sbagliato !!!! Infatti il conduttore non “apre a caso” ma apre una porta sicuramente “perdente”. Questo “dettaglio” e’ fondamentale…

6 Infatti e’ “certo” che ALMENO una delle due porte che NON abbiamo scelto sia perdente, il fatto che questa ci venga mostrata e’ del tutto ininfluente … Infatti, quando Monty Hall propone di cambiare la scelta ci sta di fatto proponendo di scambiare la porta che avevamo scelto con le DUE non scelte (con dietro ovviamente almeno una capra) … –… e’ quindi “strategicamente” conveniente CAMBIARE !!!

7 (*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da aprire se entrambe fossero perdenti Spiegazione “rigorosa” (*) … Il “teorema di Bayes” del calcolo delle probabilità ci fornisce la risposta razionale del perché convenga cambiare …teorema di Bayes supponiamo infatti di aver scelto la porta n o 1 e che Monty Hall ci mostri “una capra dietro quella n o 2” (evento che denoteremo con C 2 ), ci si prospettano allora le seguenti situazioni alternative (espresse da eventi): situazioneconseguenza F 1 =“Ferrari dietro porta n o 1” vinciamo se non cambiamo idea F 3 =“Ferrari dietro porta n o 3”vinciamo se cambiamo idea

8 Teorema di Bayes In generale, se ci sono da vagliare n ipotesi H 1, …, H n “incompatibili ed esaustive” (cioè se ne può realizzare una ed una sola) alla luce di un’evidenza E (risultato di un esperimento, un’informazione aggiuntiva, etc.) il Teorema di Bayes permette di modificare la fiducia su ognuna delle ipotesi determinando la probabilità condizionata: (torna alla pagina precedente)

9 (*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da aprire se entrambe fossero perdenti … la probabilità di vincere (*) se non cambiamo scelta e’ … se invece cambiamo scelta la probabilita’ di vincita (*) e’

10 ATTENZIONE !!! Il fatto che al cambiamento di scelta si associ una probabilità di vincita maggiore non garantisce una vincita sicura nella singola prova, ma ci suggerisce la “strategia” da seguire in modo sistematico (cioè come comportamento da mantenere fisso in un certo numero di prove ripetute).

11 Durante l’incontro si riproduce il gioco grazie ad un modellino di sipario realizzato dalla dott.sa Emanuela Ughi (a cui va un caloroso ringraziamento) Se non potete essere presenti potete comunque giocare da casa collegandovi a questo sito …questo sito

12 Un altro link utile … Se volete avere maggiori dettagli, sia da un punto di vista teorico che per riferimenti scientifico/storici che per fare delle simulazioni, potete guardare una delle tante pagine web sull’argomento, ad esempio (qui riportato anche in “locale”)“locale”


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