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Sottospazi vettoriali. Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto S (sottoinsieme di V) è chiuso rispetto: alla somma: -

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Presentazione sul tema: "Sottospazi vettoriali. Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto S (sottoinsieme di V) è chiuso rispetto: alla somma: -"— Transcript della presentazione:

1 Sottospazi vettoriali

2 Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto S (sottoinsieme di V) è chiuso rispetto: alla somma: - per ogni s, t in S, vale s + t appartiene ad S; e al prodotto per gli scalari: -  s appartenente ad S e  λ appartenente ad R, vale che λs appartiene ad S.

3 Esempio 1 S = X1X2X1X2 x 1 -2 X 2 = 0 E’ un sottospazio di R 2 ? Considero due elementi di S 2a a 2b b Verifico se la loro somma è elemento di S 2a+2b a+b 2(a+b) (a+b) = Verifico se è λ a è elemento di S 2a λ a λ 2a a λ =

4 Esempio 2 T = X1X2X1X2 X 2 ≥ 0 E’ un sottospazio di R 2 ? Considero due elementi di S la loro somma è un elemento di S perché la somma di due numeri positivi o nulli è ancora un numero positivo o nullo Verifico se è λ v è elemento di S. Non è detto NON è UN SOTTOSPAZIO

5 Generatori Sia V uno spazio vettoriale considerare un insieme di vettori di v si dice che n vettori sono un sistema di generatori di V se ogni vettore può essere espresso come combinazione lineare degli n vettori.

6 Combinazione lineare di vettori Dati due o più vettori u 1, u 2, … u n, se se si moltiplica ciascuno di essi per un numero arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i vettori così ottenuti, si ottiene una combinazione lineare dei vettori dati.

7 Combinazione lineare di vettori Quindi se: w = c 1 u 1 + c 2 u 2 + … + c n u n (dove c 1, c 2,…, c n sono numeri non tutti nulli) diciamo che il vettore w è una combinazione lineare dei vettori u 1, u 2, … u n. Es.: u = (2; 3; -5); v = (1; 0; 4) w = 2u + v = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; 6; -6) w è una combinazione lineare dei vettori u e v.

8 Esempio di combinazione Siano v 1 =, v 2 = v 3 = tre vettori di uno spazio tridimensionale. Esempio di combinazioni lineari è :

9 Dipendenza lineare tra vettori N vettori (due o più) (u 1 ; u 2 ; …; u n ) si dicono linearmente dipendenti linearmente dipendenti se ciascuno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri n-1 vettori. Ciò equivale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per valori dei coefficienti c i non tutti nulli.

10 Sono linearmente dipendenti

11 Siano un insieme di vettori di uno spazio vettoriale X Siano scalari Se sussiste la seguente relazione Vettori linearmente indipendenti

12 Come stabilire dipendenza/indipendenza di vettori Fare combinazione lineare dei vettori dati Scrivere il sistema di equazioni nei parametri (sono le incognite del sistema) Risolvere il sistema Se le soluzioni sono tutte nulle i vettori sono linearmente indipendenti, se almeno una soluzione è non nulla allora sono linearmente dipendenti.

13 Si considerino i vettori v 1 = v 2 = v 3 = a)dire se i tre vettori sono linearmente dipendenti ; b) dire quale tra i tre vettori è combinazione lineare dei restanti. a) Consideriamo una generica combinazione lineare nulla dei tre vettori: λ1λ1 +λ2+λ2 +λ3+λ3 = In base alla definizione dobbiamo verificare se tale uguaglianza è verificata con almeno uno, tra gli scalari λ1, λ 2, λ 3, non nullo.

14 Le soluzioni del sistema sono date da λ1 = 0, λ2 = -2 λ3, λ3 = λ3, ; ad esempio λ1 = 0, λ2 = -2, λ3 =1. Poichè vi sono due scalari diversi da zero i tre vettori sono linearmente dipendenti. b) I vettori che sono esprimibili come combinazione lineare dei restanti vettori sono quelli associati a scalari diversi da zero ;

15 Dire se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti Si considerino i vettori v 1 = v 2 = v 3 = Il sistema ha per unica soluzione quella nulla, λ1 = λ2 = λ3 =0, e quindi i vettori sono linearmente indipendenti.

16 Sia X uno spazio vettoriale lineare, e sia un sottoinsieme di X. Possiamo dire che il sottoinsieme, “spanna” cioè genera lo spazio X se e solo se Spanning a Space N.B. La dimensione di uno spazio è costituito dal numero minimo di vettori che generano lo spazio

17 Base Un sistema di generatori v1,v2,…..vn di uno spazio vettoriale V, costituito da vettori linearmente indipendenti è detto base di V Base = n° minimo di generatori = n° massimo di vettori linearmente indipendenti V={ v : v= a 1 v a p v p } dim(V)=p.

18 Come faccio a stabilire se i vettori dati formano una base? Costruisco una matrice con i vettori dati come colonne Calcolo il rango Stabilisco se sono linearmente indipendenti (n° di vettori linearmente indipendenti = rango)


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