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Probabilità. Un percorso didattico ancora sulla legge della moltiplicazione probabilità che dipendono da altre 12 Giugno 2014 1 Didattica probabilità e.

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1 Probabilità. Un percorso didattico ancora sulla legge della moltiplicazione probabilità che dipendono da altre 12 Giugno Didattica probabilità e statistica PAS 2014 L. Cappello, C. Bonmassar a cura di L. Cappello

2 Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi Il daltonismodaltonismo letture per la classe oppure approfondimento per alcuni che poi espongono Noto il patrimonio genetico dei genitori, sono indipendenti gli eventi “avere un figlio daltonico” e “avere un figlio maschio”? 2 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Alcune abilità coinvolte: - interpretare un testo scientifico-matematico - modellizzare in vari modi schemi con frecce, diagramma di Punnet, grafo ad albero, … - effettuare collegamenti con le altre discipline raccomandato nelle Indicazioni nazionali - giustificare e argomentare

3 18 giugno Los Angeles. Juanita Brooks viene derubata. I testimoni individuano sei caratteristiche dei due responsabili: - uomo di colore con la barba - uomo con i baffi - donna bianca con capelli biondi - donna con la coda di cavallo - coppia mista in un’automobile - automobile gialla L’accusa stima la probabilità che una coppia possieda una di tali caratteristiche. 1/10 1/4 1/3 1/10 1/1000 1/10 Qual è la probabilità che una coppia qualunque possieda le 6 caratteristiche? … per il consulente E’ arrestata la coppia Malcom e Janet Collins. Presenta tali caratteristiche. Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi 3 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Un caso giudiziario diventato un classicogiudiziario

4 1964. La giuria dichiara colpevole la coppia arrestata La corte suprema dello Stato della California annulla la sentenza. Quali errori sono stati commessi nel primo processo? Esaminiamone uno. La legge della moltiplicazione ha la forma p(A e B) = p(A) ∙ p(B) solo se A, B sono indipendenti. Ma le 6 caratteristiche (A = “uomo di colore con la barba” … ) non sono indipendenti! Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi 4 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Un caso giudiziario diventato un classico

5 - Tra gli scialpinisti, gli arrampicatori saranno ( ragionevolmente ) più di 1/10, che è il rapporto relativo all’intera scuola. Praticare lo scialpinismo ed arrampicare non sono eventi indipendenti! In un Istituto 1 studente su 30 pratica lo scialpinismo, 1 su 10 l’arrampicata. La probabilità che un suo studente scelto a caso pratichi entrambi gli sport è - Per applicare la legge della moltiplicazione serve sapere la percentuale di scialpinisti dell’Istituto che arrampica. Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi 5 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 esaminiamo l’errore mediante un esempio - Se, tra gli scialpinisti, gli arrampicatori sono 1/4, allora la probabilità richiesta è Un caso giudiziario diventato un classico Quindi attenzione nell’applicare la legge della moltiplicazione!

6 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Attività - Esaminare i compleanni di alcune classi - Ogni studente scrive un naturale “a caso” tra 1 e 365; poi si confrontano i numeri scritti - Esaminare i compleanni dei titolari e dell’arbitro (22+1) di alcune partite di calcio della squadra del cuore Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno due tra esse compiano gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)? gli studenti formulano delle congetture sul risultato del problema iniziale 6 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Mondiale di calcio Ogni squadra deve convocare 23 giocatori. Per 15 squadre su 32: almeno due giocatori compiono gli anni nello stesso giorno. (dati da wikipedia, 1/06)wikipedia

7 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Risolviamo il problema - un caso più semplice: alla festa ci sono 3 persone un suggerimento: consideriamo l’evento complementare risoluzione e osservazionirisoluzione 7 Didattica probabilità e statistica PAS le ipotesi: non condizioni astratte … le nascite secondo l’Istatnascite la formalizzazione: esigenza di precisione e coincisione

8 p n Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Diamo i numeri … Ad una festa scommetti che almeno due partecipanti compiano gli anni in uno stesso giorno. Affinché la tua probabilità di vittoria sia maggiore del 50%, i partecipanti devono essere più di 182? Qual è il più piccolo naturale per cui tale probabilità è maggiore di un dato valore? 8 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

9 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Vogliamo comprendere Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno una tra esse compia gli anni nel tuo stesso giorno (oltre a te)? Perché la probabilità del problema iniziale è “grande”? L’idea: - nel pb iniziale (“in uno stesso giorno”) i casi favorevoli non sono 23 intervengono le coppie di persone … 23 ∙ 22 /2 - in questo pb (“nel tuo stesso giorno”) le coppie sono 22 9 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 un approfondimento: compleanni e coincidenzecoincidenze

10 Qual è la probabilità che una quarantenne viva almeno fino a 70 anni? Tavole di mortalità - ISTAT 2010ISTAT etànum. viventi maschinum. viventi femmine popolazione stazionaria scelta a caso Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni già incontrate nelle attività precedenti, ora approfondiamo (secondo biennio) Didattica probabilità e statistica PAS 2014

11 - si ha {40-enni} I Vale Perché le due probabilità sono diverse? etàn. viventi maschin. viventi femmine In “70 da 40” usiamo informazioni in piùprobabilità condizionata Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni Più precisamente - casi favorevoli: {70-enni} - casi possibili di “70 da 40”: {40-enni} di “70”: insieme I { 40-enni} { 70-enni} I 11 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Un’altra giustificazione

12 invece Su una popolazione di individui, hanno una certa malattia; di questi ultimi, sono fumatori. I fumatori costituiscono il 20% della popolazione. Qual è la probabilità di avere tale malattia per un fumatore? Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni Insieme dei nuovi “casi possibili”? Insieme dei “casi favorevoli”? F M ∩ F Fumatori 12 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 F = {fumatori} M = {ammalati} U = {individui pop.}

13 Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni Calcola la probabilità che in un lancio di due dadi, uno bianco e l’altro giallo, escano due “6” a)senza informazioni aggiuntive b)sapendo che è uscito almeno un “6” c)sapendo che l’esito del dado giallo è “6” Le nuove informazioni modificano l’insieme dei “casi possibili”. Due dadi 13 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 una rappresentazione grafica della questionegrafica le risposte: a) 1/36 b) 1/11 c) 1/6 proporre però anche contesti ricchi

14 Probabilità che dipendono da altre – Le attenzioni Ok ricorrere all’intuizione, ma attenzione: - dipendenza non è sempre “influenza” tra eventi statistica sulle case inglesi dopo la seconda guerra mondiale - indipendenza non è sempre intuitiva esempio del lancio di un dado Se vi sono dubbi si può ricorrere alla condizione formale di indipendenza degli eventi A, B: 14 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 alcune precisazioni … per le classi che possono apprezzarle

15 Dati due eventi A e B tali che p(B)≠0, diciamo probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B. Probabilità che dipendono da altre – Il punto Insieme dei nuovi “casi possibili” = B Insieme dei “casi favorevoli” = A ∩ B U BA U A∩B Si ha dove le probabilità p sono valutate rispetto all’insieme U in cui si considerano contenuti A, B. 15 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 E la indichiamo con

16 Si è verificato B; qual è la nuova probabilità di A? Con lo schema classico U BA U entrambe le misure sono effettuate rispetto allo stesso insieme U Probabilità che dipendono da altre – Il punto Ma nella interpretazione geometrica della probabilità, la probabilità di un insieme è una sua misura. Pertanto Una giustificazione della formula 16 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 RiferimentoRiferimento per la formula (*) e attività che la preparano o consolidano

17 Probabilità che dipendono da altre – Il docente Quanto appena proposto sulla probabilità condizionata è rivolto agli studenti di scuola secondaria. 17 Didattica probabilità e statistica PAS a partire dalla definizione (*) si dimostra che nell’approccio classico la probabilità condizionata è la probabilità dell’evento sapendo che …(slide 15) ll docente dovrebbe tenere presente che - la formula (*) è la definizione di probabilità condizionata nell’ambito della teoria assiomatica A | B non è un evento - questo ultimo risultato è il significato di probabilità condizionata nell’approccio classico

18 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Il test “Elisa”, relativo all’HIV, può fornire esiti errati. Precisamente vi è una probabilità del 99,9% che il test dia esiti positivi nei soggetti che effettivamente hanno contratto l’HIV (sensibilità del test) ed una probabilità del 99,9% che il test risulti negativo nei soggetti che non hanno l’HIV (specificità del test). Consideriamo ora una certa popolazione. Assumiamo che lo 0,3% della quantità di individui di tale popolazione abbia l’HIV (prevalenza della malattia). Il test, applicato ad un individuo scelto a caso in tale popolazione, ha dato esito positivo. Qual è la probabilità che tale individuo sia in realtà sano, cioè non abbia l’HIV? è opportuno aver prima affrontato i problemi test clinici “diretti” (slide 36 e 37 dell’incontro 3) Ancora test clinici 18 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

19 Attenzione all’evento “sapendo che l’individuo non è malato, il test ha avuto esito positivo” Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Modellizziamo il problema 99,9% di M 99,9% di M c 0,3% dei casi iniziali McMc M T - T+T+ E’ richiesta la probabilità dell’evento “l’individuo non è malato, sapendo che il test ha avuto esito positivo”, ossia 19 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 MCMC M T - T+T+ T+T+ 0,003 0,999 - la sua probabilità si denota con - l’insieme dei casi possibili è rappresentato sulla tabelladalla prima riga - si ha cella: evento intersezione cammino: evento intersezione prob. condizionata

20 Interpretiamo il risultato - : si controlla l’esito con il test Western BlotWestern Blot - è trascurabile (da calcolo analogo); questo è importante? Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Risolviamo il problema risoluzionerisoluzione completa e osservazioni 20 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

21 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Esploriamo la situazione - Il test ha sensibilità e specificità “alte”. Perchè allora non è “bassa” la probabilità che il test positivo sia errato (è circa il 25%)? - Come varia la probabilità richiesta al variare dei valori in ipotesi? proviamo proviamo La malattia ha bassa prevalenza, pertanto ci sono “molti” sani ; la probabilità di falso è “bassa” ma è applicata a “molti”: quindi ci possono essere “non pochi” falsi. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Un esempio numerico. Popolazione di di individui: a) sani; tra essi i test positivi “sono” lo 0,1%, ossia 997 falsi b) malati; tra essi i test positivi “sono” il 99,9%, ossia 2997 veri Così, tra i test positivi, i falsi non sono pochi rispetto ai veri. L’attività sviluppa le abilità di previsione e controllo dei risultati del problema.

22 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Perché preferire l’approccio mediante modelli grafici? 22 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 E se applicassimo direttamente la formula di Bayes? - per comprendere il significato del procedimento risolutivo - per controllarlo - per poter ricostruire il procedimento a lungo termine - l’espressione è uguale a quella ottenuta con il procedimento grafico - anzi, per ricavare la formula basta ripercorrerlo: - dà la probabilità (a posteriori) delle “cause” … note quelle degli “effetti” - la formula compare nelle Indicazioni nazionaliIndicazioni

23 Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività letture dal primo incontro Pb analogo all’ultimo sui test clinici. Ora M = “l’individuo è dopato”. Un modello che mostra le informazioni fornite: Qual è la probabilità che l’atleta positivo al test sia effettivamente dopato? Assumi che la probabilità di risultare positivo per il non dopato sia dell’1%, quella di essere positivo per il dopato sia del 50%, e che i dopati siano il 10% degli atleti. Test antidoping ( primo incontro slide 9 – Medici_tedeschi.pdf ) 23 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Il procedimento è analogo: Eventualmente prima risolvere il problema su atleti, usando le frequenze … MCMC M T - T+T+ T+T+ 0,10 0,

24 Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività Filtri anti-spam (primo incontro slide 13 – Antispam.pdf) a) Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è uccisa da lui b) Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è uccisa da lui Processo ad O.J. Simpson ( primo incontro slide 12 – Uomini_picchiano_donne.pdf) - Rappresenta con diagrammi di Venn le due situazioni ora descritte. - Esprimi ciascuna situazione mediante la probabilità condizionata. - Quale tra le 2 valutazioni di probabilità ti sembra adeguata? Perché? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 B C D D ={picchiate compagno e uccise} b) C B a) B ={picchiate compagno} C ={uccise da compagno}


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