La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Reti Complesse seconda lezione TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA TexPoint fonts used in EMF. Read the.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Reti Complesse seconda lezione TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA TexPoint fonts used in EMF. Read the."— Transcript della presentazione:

1 Reti Complesse seconda lezione TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA

2 I. Alcuni Esempi di reti complesse II. Concetti base di teoria dei grafi e delle reti III. Modelli IV. La rete come insieme di comunità Programma

3 Bibliografia Evolution of networks S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002), cond-mat/ Statistical mechanics of complex networks Reka Albert, Albert-Laszlo Barabasi Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002), cond-mat/ The structure and function of complex networks M. E. J. Newman, SIAM Review 45, (2003), cond-mat/ Complex networks: structure and dynamics S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang Physics Reports 424, (2006)

4 Definizione di Network Network=insieme di vertici (nodi) uniti da legami (links) Rappresentazione molto astratta molto generale Utile per descrivere sistemi molto diversi

5 NodiLinks Reti socialiIndividuiRelazioni sociali InternetRouters AS Cavi + coll. wireless Accordi commerciali WWWWebpagesHyperlinks Rete di interazione tra proteine ProteineReazioni chimiche Esempi

6 Argomento interdisciplinare Reti complesse sono importanti per: -teoria dei grafi -sociologia -scienza delle comunicazioni -biologia -fisica -informatica

7 Piano della lezione 1) Breve introduzione ai concetti base di teoria dei grafi 2) Approccio statistico: Ensemble di grafi, distribuzioni di probabilità e correlazioni 3) Reti pesate.

8 Obiettivo Definire una serie di osservabili che permettano di caratterizzare un sistema complesso e che forniscano indicazioni per spiegare i meccanismi microscopici che hanno portato alla formazione del sistema

9 1) Introduzione alla teoria dei grafi -Definizioni di base -Matrice di adiacenza -Densità -Cammini e connettività -Alberi -Centralità -Clustering

10 Teoria dei grafi Grafo G=(V,E) V=insieme di vertici i=1,…,N E=insieme di links (i,j) Link ordinario: Link diretto : i j i j Bidirezionale comunicazione/ interazione

11 Numero massimo di links Non diretti: N(N-1)/2 Diretti: N(N-1) Teoria dei grafi Grafo completo: (interazione “tutti con tutti”)

12 Matrice di adiacenza N nodi i=1,…,N a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E

13 Matrice di adiacenza N nodi i=1,…,N a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E Simmetrica se i link non sono diretti.

14 Matrice di adiacenza N nodi i=1,…,N a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E Non simmetrica Se i links sono diretti

15 Densità di un grafo Densità di un grafo: D=|E|/(N(N-1)/2) Numero dei links Massimo num. di links possibile D= Grafo “sparso”: D <<1 Matrice di adiacenza con pochi 1 e molti 0 Rappresentazione: lista dei vicini di ogni nodo l(i, V (i)) V (i)= vicini di i

16 Cammini G=(V,E) Cammino di lunghezza n = lista ordinata di n+1 vertici i 0,i 1,…,i n V n links (i 0,i 1 ), (i 1,i 2 )…,(i n-1,i n ) E i2i2 i0i0 i1i1 i5i5 i4i4 i3i3 Ciclo/loop = cammino chiuso (i 0 =i n )

17 Alberi Un albero è un grafo senza cicli N nodi, N-1 links

18 Cammini e connettività G=(V,E) è connesso se e solo se esiste un cammino che connette ogni coppia di nodi di G. È connesso non è connesso è formato da due componenti

19 Cammini e connettività G=(V,E)=> distribuzione delle componenti connesse Componente gigante= componente la cui dimensione cresce in modo proporzionale al numero di vertici N Esistenza di una componente gigante Una frazione macroscopica dei nodi del grafo è connessa

20 Cammino minimo (shortest path) i j Cammino minimo tra i e j: numero minimo di links necessari a congiungere i e j distanza l(i,j)= cammino minimo tra i and j Diametro di un grafo= max(l(i,j)) Cammino minimo medio =  ij l(i,j)/(N(N-1)/2) Grafo completo: l(i,j)=1 per tutte le coppie i,j. “Piccolo mondo”(Small-world): “piccolo” diametro

21 Centralità Come quantificare l’importanza di un nodo? Grado (degree)=numero di vicini =  j a ij i k i =5 (grafi diretti: k in, k out )

22 “Betweenness centrality” Per ogni coppia di nodi (l,m), definisco:  lm numero di cammini minimi tra l e m  i lm num. di cammini minimi che passano per i b i è la somma  i lm /  lm su tutte le coppie (l,m) i j b i è grande b j è piccola NB: quantità simile: “load” l i =   i lm NB: generalizzazione: “link betweenness centrality” Importante: è una quantità basata sui cammini

23 “Clustering ” C(i) = # di links tra 1,2,…n vicini k(k-1)/ k Clustering: c’è un’alta probabilità che i miei amici si conoscano! (esempio tipico: social networks) Coefficiente di clustering di un nodo i

24 Clustering Coefficiente di clustering medio di un grafo C=  i C(i)/N

25 2) Approccio statistico - Distribuzione di probabilità dei gradi -Correlazioni a più punti -Rappresentazione spettrale -Assortatività e dissortatività

26 Distribuzione dei gradi Lista dei gradi k 1,k 2,…,k N Non molto utile! Istogramma: N k = numero dei nodi di grado k Distribuzione: P(k)=N k /N=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Distribuzione cumulativa: P > (k)=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado almeno k

27 Distribuzione dei gradi P(k)=N k /N= probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Media= =  i k i /N =  k k P(k)=2|E|/N Fluttuazioni: - 2 =  i k 2 i /N =  k k 2 P(k) =  k k n P(k) Grafo “sparso”: << N

28 Correlazioni a più punti dei gradi P(k): non è sufficiente a descrive un network Reti “assortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi con altri nodi di grado alto. Ex: social networks Reti “dissortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi a nodi di grado basso. Ex: technological networks

29 Correlazioni a più punti dei gradi Misura della correlazione: P(k’,k’’,…k (n) |k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso a nodi di grado k’, k’’,… Caso più semplice: P(k’|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso ad un nodo di grado k’

30 Correlazioni a più punti dei gradi misura “pratica” di correlazione : Grado medio dei primi vicini i k=3 k=7 k=4 k i =4 k nn,i =( )/4=4.5

31 Grado medio dei primi vicini “Spettro di correlazione”: Costruito mettendo assieme nodi con lo stesso grado Class di grado k

32 Esempio: rete casuale e scorrelata P(k’|k) indipendente da k (ricorda: P(k’|k) = prob. che un link di grado k punti ad un nodo di grado k’) proporzionale a k’ stesso P unc (k’|k)=k’P(k’)/ numero di link uscenti da un nodo di grado k’ numero di link uscenti da un nodo qualsiasi

33 Assortatività Comportamento Assortativo : k nn (k) è una funzione crescente di k Esempio: social networks Comportamento Dissortativo: k nn (k) è una funzione decresente di k Esempio: internet (struttura gerarchica)

34

35 3) Reti pesate 1) Definizioni ed esempi 2) Coefficiente di clustering pesato 3) Assortatività pesata

36 Reti pesate Nelle reti reali i links: Portano traffico (reti di trasporti, Internet…) Hanno intensità diverse (social networks…) Descrizione generale: pesi i j w ij a ij : 0 or 1 W ij : variabile continua

37 - Collaborazioni scientifiche: numero di articoli in comune ● Internet, s: numero di s scambiati ● Aereoporti: numero di passeggeri ● Reti metaboliche: flussi ● Reti economiche: numero di azioni possedute ● … Pesi: esempi In generale si pone: w ii =0 Ed il peso è simmetrico: w ij =w ji

38 Reti Pesate I pesi stanno sui link (weigths) Forza (Strength) di un nodo: s i =  j V(i) w ij =>Generalizza in modo naturale la nozione di grado alle reti pesate =>Esempio: quantifica il traffico totale che passa per un nodo.

39 Coefficiente di clustering pesato s i =16 c i w =0.625 > c i k i =4 c i =0.5 s i =8 c i w =0.25 < c i w ij =1 w ij =5 i i

40 Coefficiente di clustering pesato Se i pesi sono random: C = C w C < C w : piu pesi sui grafi completi (cliques) C > C w : meno pesi sui grafi completi (cliques) i j k (w jk ) w ij w ik Coefficiente di clustering medio C=  i C(i)/N C w =  i C w (i)/N Rappresentazione spettrale del Clustering:

41 Assortatività pesata k i =5; k nn,i = i

42 Assortatività pesata k i =5; k nn,i = i

43 Assortatività pesata k i =5; s i =21; k nn,i =1.8 ; k nn,i w =1.2: k nn,i > k nn,i w i

44 k i =5; s i =9; k nn,i =1.8 ; k nn,i w =3.2: k nn,i < k nn,i w i Assortatività pesata

45 “Participation ratio” 1/k i se tutti i pesi sono uguali vicino a 1 se alcuni pesi dominano


Scaricare ppt "Reti Complesse seconda lezione TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA TexPoint fonts used in EMF. Read the."

Presentazioni simili


Annunci Google