Reti Complesse seconda lezione

Presentazione sul tema: "Reti Complesse seconda lezione"— Transcript della presentazione:

1 Reti Complesse seconda lezione
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2 Programma Alcuni Esempi di reti complesse
Concetti base di teoria dei grafi e delle reti Modelli La rete come insieme di comunità

3 Bibliografia Evolution of networks S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002), cond-mat/ Statistical mechanics of complex networks Reka Albert, Albert-Laszlo Barabasi Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002), cond-mat/ The structure and function of complex networks M. E. J. Newman, SIAM Review 45, (2003), cond-mat/ Complex networks: structure and dynamics S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang Physics Reports 424, (2006)

4 Definizione di Network
Network=insieme di vertici (nodi) uniti da legami (links) Rappresentazione molto astratta molto generale Utile per descrivere sistemi molto diversi

5 Esempi Nodi Links Reti sociali Individui Relazioni sociali Internet
Routers AS Cavi + coll. wireless Accordi commerciali WWW Webpages Hyperlinks Rete di interazione tra proteine Proteine Reazioni chimiche

6 Argomento interdisciplinare
Reti complesse sono importanti per: -teoria dei grafi -sociologia -scienza delle comunicazioni -biologia -fisica -informatica

7 Piano della lezione 1) Breve introduzione ai concetti base di teoria dei grafi 2) Approccio statistico: Ensemble di grafi, distribuzioni di probabilità e correlazioni 3) Reti pesate.

8 Obiettivo Definire una serie di osservabili che permettano di caratterizzare un sistema complesso e che forniscano indicazioni per spiegare i meccanismi microscopici che hanno portato alla formazione del sistema

9 1) Introduzione alla teoria dei grafi
Definizioni di base Matrice di adiacenza Densità Cammini e connettività Alberi Centralità Clustering

10 Teoria dei grafi j i i j Grafo G=(V,E) V=insieme di vertici i=1,…,N
E=insieme di links (i,j) Link ordinario: Link diretto : j i Bidirezionale comunicazione/ interazione i j

11 Teoria dei grafi Grafo completo: Numero massimo di links
Non diretti: N(N-1)/2 Diretti: N(N-1) Grafo completo: (interazione “tutti con tutti”)

12 Matrice di adiacenza 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 N nodi i=1,…,N
aij= 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 1 2 3

13 Matrice di adiacenza 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E
N nodi i=1,…,N aij= 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E Simmetrica se i link non sono diretti. 1 2 3 1 2 3

14 Matrice di adiacenza Non simmetrica 1 if (i,j) E
N nodi i=1,…,N aij= Non simmetrica Se i links sono diretti 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 1 2 3

15 Densità di un grafo Numero dei links D=
Densità di un grafo: D=|E|/(N(N-1)/2) Numero dei links D= Massimo num. di links possibile Matrice di adiacenza con pochi 1 e molti 0 Grafo “sparso”: D <<1 Rappresentazione: lista dei vicini di ogni nodo l(i, V(i)) V(i)= vicini di i

16 Cammini i3 i4 i5 i0 i1 i2 Ciclo/loop = cammino chiuso (i0=in) G=(V,E)
Cammino di lunghezza n = lista ordinata di n+1 vertici i0,i1,…,in V n links (i0,i1), (i1,i2)…,(in-1,in) E i3 i4 i5 i0 i1 i2 Ciclo/loop = cammino chiuso (i0=in)

17 Alberi Un albero è un grafo senza cicli N nodi, N-1 links

18 Cammini e connettività
G=(V,E) è connesso se e solo se esiste un cammino che connette ogni coppia di nodi di G . È connesso non è connesso è formato da due componenti

19 Cammini e connettività
G=(V,E)=> distribuzione delle componenti connesse Componente gigante= componente la cui dimensione cresce in modo proporzionale al numero di vertici N Una frazione macroscopica dei nodi del grafo è connessa Esistenza di una componente gigante

20 Cammino minimo (shortest path)
Cammino minimo tra i e j: numero minimo di links necessari a congiungere i e j distanza l(i,j)= cammino minimo tra i and j j i Diametro di un grafo= max(l(i,j)) Cammino minimo medio = ij l(i,j)/(N(N-1)/2) Grafo completo: l(i,j)=1 per tutte le coppie i,j . “Piccolo mondo”(Small-world): “piccolo” diametro

21 Centralità ki=5 i (grafi diretti: kin, kout)
Come quantificare l’importanza di un nodo? Grado (degree)=numero di vicini =j aij ki=5 i (grafi diretti: kin, kout)

22 “Betweenness centrality”
Per ogni coppia di nodi (l,m) , definisco: slm numero di cammini minimi tra l e m silm num. di cammini minimi che passano per i bi è la somma silm / slm su tutte le coppie (l,m) Importante: è una quantità basata sui cammini i j bi è grande bj è piccola NB: quantità simile: “load” li= ilm NB: generalizzazione: “link betweenness centrality”

23 “Clustering” Coefficiente di clustering di un nodo i C(i) =
k Coefficiente di clustering di un nodo 3 # di links tra 1,2,…n vicini C(i) = i k(k-1)/2 2 1 Clustering: c’è un’alta probabilità che i miei amici si conoscano! (esempio tipico: social networks)

24 Clustering Coefficiente di clustering medio di un grafo C=i C(i)/N

25 2) Approccio statistico
- Distribuzione di probabilità dei gradi Correlazioni a più punti Rappresentazione spettrale Assortatività e dissortatività

26 Distribuzione dei gradi
Lista dei gradi k1,k2,…,kN Non molto utile! Istogramma: Nk= numero dei nodi di grado k Distribuzione: P(k)=Nk/N=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Distribuzione cumulativa: P>(k)=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado almeno k

27 Distribuzione dei gradi
P(k)=Nk/N= probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Media=< k > = i ki/N = k k P(k)=2|E|/N Grafo “sparso”: < k > << N Fluttuazioni: < k2 > - < k > 2 < k2 > = i k2i/N = k k2 P(k) < kn > = k kn P(k)

28 Correlazioni a più punti dei gradi
P(k): non è sufficiente a descrive un network Reti “assortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi con altri nodi di grado alto. Ex: social networks Reti “dissortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi a nodi di grado basso. Ex: technological networks

29 Correlazioni a più punti dei gradi
Misura della correlazione: P(k’,k’’,…k(n)|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso a nodi di grado k’, k’’,… Caso più semplice: P(k’|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso ad un nodo di grado k’

30 Correlazioni a più punti dei gradi
misura “pratica” di correlazione : Grado medio dei primi vicini i k=3 k=7 k=4 ki=4 knn,i=( )/4=4.5

31 “Spettro di correlazione”:
Grado medio dei primi vicini “Spettro di correlazione”: Costruito mettendo assieme nodi con lo stesso grado Class di grado k

32 P(k’|k) indipendente da k
Esempio: rete casuale e scorrelata P(k’|k) indipendente da k (ricorda: P(k’|k) = prob. che un link di grado k punti ad un nodo di grado k’) numero di link uscenti da un nodo di grado k’ numero di link uscenti da un nodo qualsiasi Punc(k’|k)=k’P(k’)/< k > proporzionale a k’ stesso

33 Assortatività Comportamento Assortativo :
knn(k) è una funzione crescente di k Esempio: social networks Comportamento Dissortativo: knn(k) è una funzione decresente di k Esempio: internet (struttura gerarchica)

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35 3) Reti pesate 1) Definizioni ed esempi
2) Coefficiente di clustering pesato 3) Assortatività pesata

36 Reti pesate Descrizione generale: pesi wij j i aij: 0 or 1
Nelle reti reali i links: Portano traffico (reti di trasporti, Internet…) Hanno intensità diverse (social networks…) Descrizione generale: pesi wij j i aij: 0 or 1 Wij: variabile continua

37 Pesi: esempi In generale si pone: wii=0
- Collaborazioni scientifiche: numero di articoli in comune Internet, s: numero di s scambiati Aereoporti: numero di passeggeri Reti metaboliche: flussi Reti economiche: numero di azioni possedute … In generale si pone: wii=0 Ed il peso è simmetrico: wij=wji

38 Reti Pesate I pesi stanno sui link (weigths)
Forza (Strength) di un nodo: si = j V(i) wij =>Generalizza in modo naturale la nozione di grado alle reti pesate =>Esempio: quantifica il traffico totale che passa per un nodo.

39 Coefficiente di clustering pesato
wij=1 wij=5 si=8 ciw=0.25 < ci si=16 ciw=0.625 > ci ki=4 ci=0.5

40 Coefficiente di clustering pesato
Coefficiente di clustering medio C=i C(i)/N Cw=i Cw(i)/N k (wjk) wik j i wij Se i pesi sono random: C = Cw C < Cw : piu pesi sui grafi completi (cliques) C > Cw : meno pesi sui grafi completi (cliques) Rappresentazione spettrale del Clustering:

41 Assortatività pesata 5 5 1 5 i 5 ki=5; knn,i=1.8

42 Assortatività pesata 1 1 5 1 i 1 ki=5; knn,i=1.8

43 Assortatività pesata i
5 5 1 5 i 5 ki=5; si=21; knn,i=1.8 ; knn,iw=1.2: knn,i > knn,iw

44 Assortatività pesata i
1 1 5 1 i 1 ki=5; si=9; knn,i=1.8 ; knn,iw=3.2: knn,i < knn,iw

45 “Participation ratio”
1/ki se tutti i pesi sono uguali vicino a 1 se alcuni pesi dominano