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Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME UMI, Bari 24/09/07 Simon Salamon

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Presentazione sul tema: "Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME UMI, Bari 24/09/07 Simon Salamon"— Transcript della presentazione:

1 Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME UMI, Bari 24/09/07 Simon Salamon TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A

2 Bari 24/09/07 Org TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta

3 Bari 24/09/07 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori

4 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo: dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville Il caso Euclideo: dimensione 4

5 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo: dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville Il caso Euclideo: dimensione 4

6 Bari 24/09/07 ammette una metrica Riemanniana indotta: Ogni superficie reale Superficie di Riemann

7 Bari 24/09/07 La scelta di un versore normale definisce una struttura complessa sullo spazio tangente: Superficie di Riemann anche nel senso analitico…

8 Bari 24/09/07 Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui diventa una varietà complessa e una funzione olomorfa

9 Bari 24/09/07 In dimensione (reale) 2, una struttura conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui

10 Bari 24/09/07 La curvatura Gaussiana è Teorema Esistono coordinate per cui Coordinate isoterme

11 Bari 24/09/07 La proiezione di Mercatore Se allora è la proiezione stereografica sul piano equatoriale

12 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo: dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville

13 Bari 24/09/07 Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissata Problema Dimensioni superiori Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale (SCO):

14 Bari 24/09/07 Data la scelta di determina un sottogruppo cioè un punto dello spazio è la varietà di spinori puri Scelte puntuali

15 Bari 24/09/07 Isomorfismi speciali

16 Bari 24/09/07 è lo spazio totale di un fibrato su una sfera con fibra Spazi twistor

17 Bari 24/09/07 Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl. Inoltre per Via un ottavo della curvatura è una SCO su è conformemente piatta se ammette 8 SCO indipendenti

18 Bari 24/09/07 è conformemente piatta se ammette 8 SCO indipendenti dim 4 Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana dim 6 ? determina le possibili SCO su Il tensore Via un ottavo della curvatura

19 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo: dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville

20 Bari 24/09/07 è determinata da unapplicazione Una struttura complessa ortogonale su con il seguente sistema di integrabilità è una funzione olomorfa in Deformazioni

21 Bari 24/09/07 Tre soluzioni esplicite definita su definita su tutto è una funzione olomorfa in

22 Bari 24/09/07 Su quali altri domini esistono strutture complesse ortogonali (SCO)? Problema Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su

23 Bari 24/09/07 Il grafico di una SCO è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

24 Bari 24/09/07 Il grafico di una SCO Data una SCO su la sua immagine è una superficie complessa in. Lemma ha la forma dove è una SCO su Viceversa, ogni sezione complessa in è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

25 Bari 24/09/07 Un piano contiene esattamente una fibra Le soluzioni precedenti contiene per La quadrica

26 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo in dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville

27 Bari 24/09/07 Strutture intere I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo Sia una SCO definita su. Allora (cioè ) è costante Teorema 0

28 Bari 24/09/07 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Teorema 1 Sia una SCO definita su. Allora (cioè ) è costante Teorema 0 Strutture intere

29 Bari 24/09/07 Misura di Hausdorff Strutture intere Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Teorema 1

30 Bari 24/09/07 Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico Basato su Bishop 1964, generalizzazione di Remmert-Stein 1955 Shiffman 1968 è analitico

31 Bari 24/09/07 Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico è analitico Shiffman 1968 Chow, Mumford è algebrico, di deg 1

32 Bari 24/09/07 Sia una SCO su (che non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica Teorema 2 ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta Quadriche reali con dove agisce su

33 Bari 24/09/07 Il caso Euclideo in dimensione 4 Strutture complesse ortogonali Il caso classico: dimensione 2 Classificazione di quadriche Teoremi di tipo Liouville

34 Bari 24/09/07 Superfici quadriche in CP 3 Si consideri una quadrica nondegenere è bi-olomorfa a

35 Bari 24/09/07 Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Il risultato dovrebbe dipendere da parametri reali Problema Il gruppo conforme

36 Bari 24/09/07 Diagonalizzazione SVD Basta studiare lazione del sottogruppo sullo spazio delle matrici reali 3x3 Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Problema Il gruppo conforme

37 Bari 24/09/07 Teorema 3 Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella associata a per qualche Forma canonica

38 Bari 24/09/07 …è lunione dove Il luogo discriminante in S 4

39 Bari 24/09/07 Teorema 4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: è un 2-toro liscio snodato è un 2-toro pinzato in è una circonferenza in 2-tori in S 4

40 Bari 24/09/07 Il caso generico è un 2-toro liscio snodato ha 2 componenti Esiste una SCO con dominio massimale COROLLARIO un toro solido

41 Bari 24/09/07 Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette verticali Un teorema di Liouville per basato sullarea Problemi aperti

42 Bari 24/09/07 Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/ Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv: Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

43 Bari 24/09/07 Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/ Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv: Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981


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