UMI, Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME

Presentazione sul tema: "UMI, Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME"— Transcript della presentazione:

1 Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salamon
UMI, Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME Simon Salamon TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

2 Geometria Hermitiana conformemente piatta
Org oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

3 Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori
oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

4 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

5 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

6 Superficie di Riemann Ogni superficie reale
ammette una metrica Riemanniana indotta: Ogni superficie reale

7 Superficie di Riemann La scelta di un versore normale definisce una struttura complessa sullo spazio tangente: anche nel senso analitico…

8 diventa una varietà complessa e
Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui diventa una varietà complessa e una funzione olomorfa

9 Coordinate isoterme Esistono coordinate per cui
Teorema Esistono coordinate per cui In dimensione (reale) 2, una struttura conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa

10 Coordinate isoterme Esistono coordinate per cui
Teorema Esistono coordinate per cui La curvatura Gaussiana è

11 La proiezione di Mercatore
Se allora è la proiezione stereografica sul piano equatoriale

12 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

13 Dimensioni superiori Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissata Problema Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale (SCO):

14 Scelte puntuali Data la scelta di determina un sottogruppo
cioè un punto dello spazio è la varietà di spinori “puri”

15 Isomorfismi speciali

16 è lo spazio totale di un fibrato
Spazi “twistor” è lo spazio totale di un fibrato su una sfera con fibra

17 Via un “ottavo” della curvatura
è una SCO su Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl . Inoltre per è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

18 Via un “ottavo” della curvatura
dim 4 determina le possibili SCO su Il tensore Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana dim 6 ? è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

19 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

20 Una struttura complessa ortogonale su
Deformazioni è determinata da un’applicazione Una struttura complessa ortogonale su con il seguente sistema di integrabilità è una funzione olomorfa in

21 Tre soluzioni esplicite
definita su tutto definita su definita su è una funzione olomorfa in

22 Tre soluzioni esplicite
definita su tutto definita su definita su Problema Su quali altri domini esistono strutture complesse ortogonali (SCO)?

23 è una submersione Riemanniana.
Il “grafico” di una SCO è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

24 è una submersione Riemanniana.
Il “grafico” di una SCO Lemma Data una SCO su la sua immagine è una superficie complessa in ha la forma dove è una SCO su Viceversa, ogni sezione complessa in è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

25 Le soluzioni precedenti
Un piano contiene esattamente una fibra contiene per La quadrica

26 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

27 Strutture “intere” I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo Teorema 0 Sia una SCO definita su Allora (cioè ) è costante

28 Se allora è conformemente costante (e si estende a )
Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Teorema 0 Sia una SCO definita su Allora (cioè ) è costante

29 Se allora è conformemente costante (e si estende a )
Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Misura di Hausdorff

30 Eliminazione delle singolarità
Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 Basato su Bishop 1964, generalizzazione di Remmert-Stein 1955 è analitico

31 Eliminazione delle singolarità
Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 è analitico Chow, Mumford è algebrico, di deg 1

32 ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta
Quadriche “reali” Teorema 2 Sia una SCO su (che non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica con dove agisce su ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta

33 Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

34 Superfici quadriche in CP3
Si consideri una quadrica nondegenere è bi-olomorfa a

35 Il risultato dovrebbe dipendere da
Il gruppo conforme Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Il risultato dovrebbe dipendere da parametri reali

36 Il gruppo conforme Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche
Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Basta studiare l’azione del sottogruppo sullo spazio delle matrici reali 3x3 SVD Diagonalizzazione

37 Forma canonica Teorema 3 Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella associata a per qualche

38 Il luogo discriminante in S4
…è l’unione dove

39 2-tori in S4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità:
Teorema 4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: è una circonferenza in è un 2-toro liscio snodato è un 2-toro pinzato in

40 Il caso generico ha 2 componenti è un 2-toro liscio snodato
un toro solido Esiste una SCO con dominio massimale COROLLARIO

41 Problemi aperti Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in
Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali” Un teorema di Liouville per basato sull’area

42 Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J Hitchin, arXiv:math/ Pontecorvo, Diff Geom Appl Salamon-Viaclovsky, arXiv: Schoen-Yau, Invent Math Shiffman, Mich Math J Slupinski, J Geom Phys Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

43 Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J Hitchin, arXiv:math/ Pontecorvo, Diff Geom Appl Salamon-Viaclovsky, arXiv: Schoen-Yau, Invent Math Shiffman, Mich Math J Slupinski, J Geom Phys Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981