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BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 2. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo Il filtro di Wiener è lo stimatore ottimo non recorsivo dal punto.

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1 BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 2

2 Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo Il filtro di Wiener è lo stimatore ottimo non recorsivo dal punto di vista dell’errore quadratico medio p e = E(e 2 ). IPOTESI: 1. y(k) = x + v(k) non essenziale 2. x e v processi stazionari 3. M  Il filtro non lavora il tempo reale. Gli m campioni di y sono tutti acquisiti Si ha un filtro lineare tempo-invariante per cui y*  x* =  i h(i) y(i) i=1...M le h(i) vanno calcolate minimizzando p e = E(e 2 ) p e = E[x -  i h(i) y(i) ] 2  p e /  h(j) = -2 E[x -  i h(i) y(i) ]y(j) = 0 j=1...M  E[e y(j)] = 0  i h(i) E[y(i) y(j)] = E[xy(j)] j=1...M  i h(i) p y (i,j) = p xy (j) p y (i,j) e p xy (j) noti, h(i) incognita p e =E(e 2 )=E{e[ x -  i h(i) y(i) ]}=[ E(x 2 ) -  i h(i) E[xy(i)] = E(x 2 ) -  i h(i) p xy (i)

3 Tenendo presente che la matrice P y è simmetrica p y (i,j) = p y (j,i) In forma matriciale si ottiene: h = P y -1 p xy EQUAZIONE DI WIENER-HOPF x*= h T y =p xy T P y -1 y p e = E(x 2 ) – p xy T P y -1 p xy Con h, y vettori colonna (M  1) P y matrice di autocorrelazione (M  M) p xy vettore di mutua correlazione (M  1) Osservazioni pratiche: Se ci si discosta dalle ipotesi di base si ha un filtro subottimo. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo

4 APPLICAZIONI – Esempio 1  v 2 se k=j y(k) = x + v(k) con: E(x) =0; E(x 2 ) =  x 2 ; E(v)=0; E[v(k)v(j)] = 0 se k  j La soluzione con la formula di Wiener-Hopf porta a: h(1) = h(2) = = h(M) = x* =  = p e = per M grande p e

5 Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo APPLICAZIONI – Esempio 2 y(k) = x ·k + v(k) rampa con coefficiente angolare x E(x) =x 0 ; E(x 2 ) = [E(x)] 2 +  x 2 =S; E(v)=0; E[v(k)v(j)] =  v 2 per i=k 0 per i  k Stimare la x* noti 2 punti per k=1 e k=2 (S+  v 2 )h(1) + 2Sh(2) = S 2Sh(1) + (4S+  v 2 )h(2) = 2S

6 Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo SVANTAGGI DELLA FORMULAZIONE NON RECORSIVA I principali svantaggi nell’applicazione della formulazione non recorsiva del filtro di Wiener sono: 1.Richiede la conoscenza a priori della P y e della p xy. 2.Il numero di campioni m viene definito a priori 3.Se m cambia per qualunque ragione (ad es. più dati disponibili) il calcolo va ripetuto 4.Richiede l’inversione di una matrice (mxm) P y che può essere laboriosa.

7 Filtro di Wiener Formulazione recorsiva Nel caso in cui: Si può ottenere una formulazione recorsiva ricordando che: h(k) = Infatti si può scrivere : T a(k) y(k+1)x*(k+1) x*(k)

8 Filtro di Wiener Segnale variabile nel tempo Consideriamo che y(k) = x(k)+v(k) con y(k) e x(k) campioni di grandezze scalari x(t) e y(t). La misura varia quindi non solo per il contributo del rumore ma anche per la variabilità nel tempo del segnale. Minimizzando l’errore quadratico medio per ogni k si otterrà un’espressione analoga al caso in cui x era costante e precisamente: p e (k) = E[x(k) -  i h(i) y(i) ] 2  p e (k) /  h(j) = -2 E[x(k) -  i h(i) y(i) ]y(j) = 0 j=1...M  i h(i) E[y(i) y(j)] = E[x(k)y(j)] j=1...M Poichè si dovrà scrivere un’equazione del tipo per ogni k si avrà:  i h(k,i) E[y(i) y(j)] = E[x(k)y(j)] j,k=1...M In forma vettoriale si avrà: HE(yy T ) = E(xy T ) h(1,1)...h(1,j)...h(1,m) E[x(1)y(1)]...E(x(1)y(m) E[y(1)y(1)]...E(y(1)y(m) con H = h(k,1)...h(k,j)...h(k,m E(xy T ) = E[x(k)y(1)]...E(x(k)y(m) E(y y T ) = E[y(k)y(1)]...E(y(k)y(m) h(m,1)...h(m,j)...h(m,m) E[x(m)y(1)]...E(x(m)y(m) E[y(m)y(1)]...E(y(m)y(m)

9 Filtro di Wiener Segnale e Osservazione vettoriale Si consideri ora il caso in cui, in k, si abbiano q segnali x: x 1 (k), x 2 (k),...x q (k) ed r osservazioni y: y 1 (k), y 2 (k),...y r (k). In tal caso si ha:H E(YY T )=E(xY T )  H Py=Pxy H(1,1) H(1,2).....H(1,m) h ki (1,1)...h ki (1,r) H = H(k,i) = H(m,1) H(m,2).....H(m,m) h ki (q,1)...h ki (q,r) Py (1,1) Py (1,2)..... Py (1,m) p y ij (1,1)... p y ij (1,r) Py = Py (i,j) = Py (m,1) Py (m,2)..... Py (m,m) p y ij (r,1)... p y ij (r,r) Pxy (1,1) Pxy (1,2)..... Pxy (1,m) p xy ij (1,1)... p xy ij (1,r) Pxy = Pxy (i,j) = Pxy (m,1) Pxy (m,2)..... Pxy (m,m) p xy ij (q,1)... p xy ij (q,r)


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